控制系统结构图与信号流图.ppt

第四节 控制系统结构图与信号流图 提纲： 一 、 控制系统的 结构图 二 、 控制系统的信号流图 三 、 控制系统的传递函数 引言： 求系统的传递函数时 ， 需要对微分方程组 或经拉氏变换后的代数方程组进行消元 。 而 采用结构图或信号流图 ， 更便于求取系统的 传递函数 ， 还能直观地表明输入信号以及各 中间变量在系统中的传递过程 。 因此 ， 结构 图和信号流图作为一种数学模型 ， 在控制理 论中得到了广泛的应用 。 一 、控制系统的结构图 （ 一 ） 结构图的概念 图 2-24 RC网络的微分方程式为 : 1 d 1 d r c u R i i t C u i t C rcu u R i 1 d cu i tC 也可写为 : (2.78) (2.79) 图 2-24 RC网络 对上面二式进行拉氏变换 ， 得 : ( ) ( ) ( )rcU s U s R I s (2.78a) (2.79a) 将式 (2.78a)表示成 : 1 ( ) ( ) ( ) rcU s U s I sR 图 2-25(a)描绘了上式。图中 符号表示信号的代数和， 箭头表示信号的传递方向，称作“加减点”或“综合点”。 方程 (2.79a)用图 2-25(b)表示 。 将图 2-25(a)、 图 2-25(b) 合并如图 2-25(c)所示 ， 得 RC网络的结构图 。 图中由 Uc(s) 线段上引出的另一线段称为引出点 。 1( ) ( ) cU s I sCs 图 2-25 RC网络的结构图 结构图：根据由微分方程组得到的拉氏变换方程组 ， 对 每个子方程都用上述符号表示 ， 并将各图形正确地连接 起来 ， 即为结构图 ， 又称为方框图 。 结构图也是系统的一种数学模型 ， 它实际上是数学模型 的图解化 。 （ 二 ） 系统结构图的建立 建立系统的结构图 ， 其步骤如下： （ 1） 建立控制系统各元部件的微分方程 。 （ 2） 对各元件的微分方程进行拉氏变换 ， 并作出各元 件的结构图 。 （ 3） 按系统中各变量的传递顺序 ， 依次将各元件的结 构图连接起来 ， 置系统的输入变量于左端 ， 输出变量 于右端 ， 便得到系统的结构图 。 例 2.1 位置随动系统如图 2-26所示 ， 试建立系统的结 构图 。 图 2-26 位置随动系统原理图 解 系统各部分微分方程经拉氏变换后的关系式为式 (2.80) 然后作出每个子方程的结构图 ， 如图 2-27(a) (h)所示 : e r cs s s ( ) ( ) ( ) s s eU s K s( ) ( ) ( ) ( )a a sU s K U s ( ) ( )() ab a aa U s E sIs L s R (2.80)(a) (b) (c) (d) 图 2-27 式 (2.80)(a)(d)子方程框图 ( ) ( )d m aM s K I s dL m M s M ss s B s 2 )() ( ) ( J ( ) ( )b e mE s K s s 1( ) ( ) cmssi (e) (f) (g) (h) 图 2-27 式 (2.80)(e)(h)子方程框图 按系统中各元件的相互关系，分清各输入量和输出量， 将各结构图正确地连接起来（图 2-28）。 图 2-28 位置随动系统结构图 略去 La， 系统结构图如图 2-29所示： 图 2-29 La=0的位置随动系统结构图 例 2.2 试绘制图 2-30所示无源网络的结构图 。 图 2-30 例 2.3网络图 图 2-31 例 2.3网络的结构图 解： u r为网络输入， uc为网络输出。 一个系统的结构图不是唯一的，但经过变换求得的总 传递函数都应该是相同的。上例所示网络的结构图还可 用图 2-32表示。 图 2-32 例 2.3网络结构图的另一种形式 （ 三 ） 结构图的等效变换 结构图的运算和变换 ， 就是将结构图化为一个等效 的方框 ， 使方框中的数学表达式为总传递函数 。 结构图的变换应按等效原理进行 。 1 结构图的基本组成形式 结构图的基本组成形式可分为三种： （ 1） 串联连接 方框与方框首尾相连 。 前一个方框的 输出 ， 作为后一个方框的输入 。 （ 2） 并联连接 两个或多个方框 ， 具有同一个输入 ， 而以各方框输出的代数和作为总输出 。 （ 3） 反馈连接 一个方框的输出 ， 输入到另一个方框 ， 得到的输出再返回作用于前一个方框的输入端 。 如图 2-37所示 。 图中 A处为综合点，返回至 A处的信号取“ +”，称为 正反馈；取 “ -” ，称为负反馈。负反馈连接是控制系统 的基本结构形式。 图 2-37 反馈连接 结构图中引出信息的点 （ 位置 ） 常称为引出点 。 2 结构图的等效变换法则 （ 1） 串联方框的等效变换 图 2-38 串联结构的等效变换 由图 2-38可写出： 12( ) ( ) ( )G s G s G s (2.81) 两个传递函数串联的等效传递函数，等于该两个传递函数 的乘积。 图 2-39 n个方框串联的等效变换 如图 2-39所示 。 n个传递函数依次串联的等效传递函数 ， 等于 n个传递函数的乘积 。 （ 2） 并联连接的等效变换 G1(s)与 G2(s)两个环节并联连接 ， 其等效传递函数等于 该两个传递函数的代数和 ， 即： 等效变换结果见图 2-40(b)。 G(s)= G1(s) G2(s) (2.82) 图 2-40 n个传递函数并联其等效传递函数为该 n个传递函数的代 数和，如图 2-41所示： 图 2-41 n个方框并联的等效变换 （ 3） 反馈连接的等效变换 图 2-42(a)为反馈连接的一般形式，其等效变换结果如图 2-42(b)所示。 图 2-42 反馈连接的等效变换 由图 2-42(a) 得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C s G s E s B s H s C s E s R s B s 消去 E(s)和 B(s)， 得 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C s G s R s H s C s 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G s H s C s G s R s ( ) ( )() ( ) 1 ( ) ( )B C s G sGs R s G s H s 因此 : (2.83) 式 (2.83)为系统的闭环传递函数 。 式中分母的加号 ， 对 应于负反馈；减号对应于正反馈 。 H(s)=1， 常称作单位反馈 ， 此时 : ()() 1 ( )B GsGs Gs (2.84) （ 4） 综合点与引出点的移动 a. 综合点前移 图 2-43表示了综合点前移的等效变换 。 挪动前的结构图中 ， 信号关系为 : (a) 原始结构图 (b) 等效结构图 图 2-43 综合点前移的变换 ()C G s R Q 挪动后 ， 信号关系为 : 1( ) ( ) C G s R G s Q ()G s R b. 综合点之间的移动 图 2-44为相邻两个综合点前后移动的等效变换。 (a)原始结构图 (b) 等效结构图 图 2-44 相邻综合点的移动 挪动前 ， 总输出信号 : 挪动后 ， 总输出信号 : C R X Y C R Y X c. 引出点后移 在图 2-45中给出了引出点后移的等效变换 。 (a)原始结构图 (b) 等效结构图 图 2-45 引出点后移的变换 挪动后的支路上的信号为 : 1 () ()R G s R RGs d. 相邻引出点之间的移动 若干个引出点相邻 ， 引出点之间相互交换位置 ， 完全 不会改变引出信号的性质 。 如图 2-46所示 。 图 2-46 相邻引出点的移动 3. 结构图变换举例 例 2.3 根据图 2-29， 求位置随动系统的闭环传递函数 G B (s) 图 2-48 图 2-29结构图的等效变换过程 图 2-29系统 结构图有两个反馈回路 ， 里面的称为局 部反馈回路 ， 外面的称为主反馈回路 。 先将 局部反馈回路中的前向通路合并成一个方框， （图 2-48(a)） ; 运用反馈法则将局部反馈回路化简为一 个方框，得到图 2-48(b)；继而用串联法则可化简为图 2-48(c)，最后用单位反馈变换法则将结构图简化为一 个方框（图 2-48(d)），即求得 c(s)与 r(s)的关系式。 例 2.4 简化图 2-49所示系统的结构图 ， 并求系统传递函数 GB (s) 即 C(s)/R(s) 。 图 2-49 多回路系统结构图 解 将综合点后移 ， 然后交换综合点的位置 ， 将图 2-49 化为图 2-50(a)。 然后 ， 对图 2-50(a)中由 G2， G3， H2组成的小回路实行 串联及反馈变换 ， 进而简化为图 2-50(b)。 图 2-50 图 2-49系统结构图的变换 再对内回路再实行串联及反馈变换 ， 则只剩一个主反馈 回路 。 如图 2-50(c)。 最后 ， 再变换为一个方框 ， 如图 2-50(d)， 得系统总传递 函数： 1 2 3 4 2 3 2 3 4 3 1 2 3 4 1 ()() ( ) 1B G G G GCsGs R s G G H G G H G G G G H 思考：第一步的变换也可采用其它的移动办法 。 例 2.5 将图 2-34所示两级 RC网络串联的结构图 化简 ， 并求出此网络的传递函数 G(s) 即 Uc(s)/Ur(s) 。 解 图 2-34结构图中 ， 必须先移动综合点与引 出点 。 综合点与引出点合理移动后，消除了交叉关 系，如图 2-51(a)所示。然后化简两个内回路， 得到图 2-51(b)，最后实行反馈变换，即得网络 传递函数，见图 2-51(c)。 图 2-51 图 2-34结构图的变换 简化结构图求总传递函数的一般步骤： 1. 确定输入量与输出量 ， 如果作用在系统上的输入量 有多个 （ 分别作用在系统的不同部位 ） ， 则必须分别 对每个输入量逐个进行结构变换 ， 求得各自的传递函 数 。 对于有多个输出量的情况 ， 也应分别变换 。 2. 若 结构图中有交叉关系 ， 应运用等效变换法则 ， 首先将交叉消除 ， 化为无交叉的多回路结构 。 3. 对多回路结构 ， 可由里向外进行变换 ， 直至变换 为一个等效的方框 ， 即得到所求的传递函数 。 二、控制系统的信号流图 信号流图和结构图一样，都是控制系统中信号传递关 系的图解描述。 图 2-52 多回路系统 （ 一 ） 信号流图的定义 信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络。下 面介绍几个常用术语： （ 1） 输入节点 只有输出支路的节点称为输入节点 。 它 一般表示系统的输入变量 。 （ 2） 输出节点 只有输入支路的节点称为输出节点 。 它 一般表示系统的输出变量 。 （ 3） 混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点称为 混合节点 。 （ 4） 通路 从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连 支路到另一节点所构成的路径称为通路 。 通路中各支 路增益的乘积叫做通路增益 。 （ 5） 前向通路 是指从输入节点开始并终止于输出节点 且与其它节点相交不多于一次的通路 。 该通路的各增 益乘积称为前向通路增益 。 （ 6） 回路 通路的终点就是通路的起点 ， 并且与任何其 它节点相交不多于一次的通路称为回路 。 回路中各支 路增益的乘积称为回路增益 。 （ 7） 不接触回路 一信号流图有多个回路 ， 各回路之间 没有任何公共节点 ， 则称为不接触回路 ， 反之称为接 触回路 。 信号流图可以根据系统微分方程绘制 ， 也可以由系统 结构图按照对应关系得出 。 （ 二 ） 用梅逊 (S.J.Mason)公式求传递函数 借助于梅逊公式 ， 不经任何结构变换 ， 便可以得到 系统的传递函数 。 梅逊公式的表达式为： G(s)为待求的总传递函数 。 1() n kk k P Gs (2.85) 式中 称为特征式 ， n从输入节点到输出节点所有前向通路的条数； 1 i i j i j kL L L L L L 且 (2.86) Pk从输入节点到输出节点第 k条前向通路的增益； k在 中 ， 将与第 k条前向通路相接触的回路除去 后所余下的部分 ， 称为余子式； Li所有各回路的回路增益之和； LiLj所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和； LiLjLk所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和； 在回路增益中应包含代表反馈极性的正 、 负符号 。 图 2-52（ b） 中共有四个回路 ， 故： 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 2 4 5 3 3 4 4 i i L L L L L G G G G G G H G G H G G H G G H 四个回路中 ， 只有 、 回路互不接触 ， 没有重合的部分 。 2 3 2 3 2 4 5 3 2 3 4 5 2 3 ( ) ( ) ijL L L L G G H G G H G G G G H H 0i j kL L L 而 故可得特征式： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 2 4 5 3 3 4 4 2 3 4 5 2 3 1 1 i i jL L L G G G G G G H G G H G G H G G H G G G G H H 图 2-52（ b） 中只有一条前向通路 ， 故 P1=G1G2G3G4G5G6 由于所有回路均与前向通路相接触 ， 故余子式 1=1。 图 2-52（ b） 系统的总传递函数为： 11 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 2 4 5 3 3 4 4 2 3 4 5 2 3 () 1 pGs G G G G G G G G G G G G H G G H G G H G G H G G G G H H 例 2.6 求图 2-53所示系统的传递函数 。 解 回路有四个： L 1= G1G2H1， L2= G2G3H2， L3= G1G2G3， L4= G1G4。 回路中 L2与 L4不接触 ， L2L4=（ G2G3H2） （ G1G4） 因而特征式： 1 L1 L2 L3 L4 L2L4 1G1G2H1G2G3H2G1G2G3G1G4 G1G2G3G4H2 图 2-53 例 2.9系统结构图 有两条前向通路 ， 故 k=2。 P1=G1G2G3， 与每个回路均有接触 ， P1的余子式 1=1； P2=G1G4 ， 与回路 L2= G2G3H2不接触 ， P2的余子式 2=（ 1+ G2G3H2） 。 则由梅逊公式可得系统传递函数： 1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 3 2 1 1 2 3 2 1 2 3 1 4 1 2 3 4 2 ( ) 1 () () ( 1 ) 1 Cs PP Rs G G G G G G G H G G H G G H G G G G G G G G G H 例 2.7 图 2-54为三级 RC滤波网络 ， 试绘制其结构图 ， 并 求其传递函数 Uc/Ur。 解 将网络分为三个电流回路 ， 回路电流分别为 i1， i2， i3。 1. 绘制结构图 ， 如图 2-55所示 。 图 2-54 三级 RC滤波网络 2. 求传递函数 。 采用梅逊公式求传递函数 。 图 2-55 RC网络结构图 该结构图有五个反馈回路 ， 回路传递函数均相同 ， 即 1 2 5 1L L L RC s iL R C s 5故 五个回路中 ， 六组两两互不接触 ， 它们是 - 、 - 、 - 、 - 、 - 及 - 。 因此 ： 2 2 2ijLL R C s 6 五个回路中还有一组三个互不接触的回路 ， 即 - - ， 故： 3 3 3 1 i j kL L L R C s 则特征式 : 2 2 2 3 3 3 1 1 1 i i j i j kL L L L L L RC s R C s R C s 56 而前向通路只有一条 ， 即 : 1 3 3 3 1P R C s 前向通路与各反馈回路均有接触 ， 余子式 1 = 1 由梅逊公式可求得总传递函数 : 3 3 3 11 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 c r U P R C s U R Cs R C s R C s R C s R C s R Cs 56 56 三、控制系统的传递函数 控制系统会受到两类外作用信号的影响 。 一类是有用 信号 ， 或称为输入信号 、 给定值 、 参考输入等 ， 常用 r(t)表示；另一类则是扰动 ， 或称为干扰 ， 常用 n(t)表 示 。 一个闭环控制系统的典型结构可用图 2-56表示 。 图 2-56 闭环控制系统典型结构 下面介绍几个系统传递函数的概念： （ 一 ） 系统的开环传递函数 在 图 2-56中 ， 断开系统的主反馈通路 ， 这时前向通 路传递函数与反馈通路传递函数的乘积 ， 称为该系统 的开环传递函数 。 开环传递函数是指闭环系统在开环 时的传递函数 。 （ 二 ） r(t)作用下系统的闭环传递函数 令 n(t)=0， 这时图 2-56简化为图 2-57， 输出 c(t)对输入 r(t)之 间的传递函数： 12 12 ( ) ( ) ( )() ( ) 1 ( ) ( ) ( )B C s G s G sGs R s G s G s H s (2.87) GB(s)为在输入信号 r(t)作用下系统的闭环传递函数。 输出的拉氏变换式： 12 12 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )B G s G sC s G s R s R s G s G s H s (2.88) 当系统中只有 r(t)信号作用时 ， 系统的输出取决于 c(t) 对 r(t)的闭环传递函数及 r(t)的形式 。 图 2-57 r(t)作用下的系统结构图 图 2-58 n(t)作用下系统的结构图 （ 三 ） n(t)作用下系统的闭环传递函数 先求出 c(t)对 n(t)之间的传递函数 。 令 r(t)=0， 则图 2-56 简化为图 2-58。 由图可得： 2 12 ( ) ( )() ( ) 1 ( ) ( ) ( )n C s G sGs N s G s G s H s （ 2.89） Gn(s)为在干扰 n(t)作用下系统的闭环传递函数 。 而输出的拉氏变换式： 2 12 ()( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )n GsC s G s N s N s G s G s H s （ 2.90） 干扰 n(t)在系统中的作用位置与输入信号 r(t)的作用点不 一定是同一个地方，故两个闭环传递函数一般是不相同的。 由线性系统的迭加原理 ， 系统的总输出为各外作用引 起的输出的总和 。 将式 (2.88)与式 (2.90)相加即得总输出 量的变换式： （四）系统的总输出 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )() 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) G s G s R s G s N sCs G s G s H s G s G s H s （ 2.91） 例 2.8 图 2-28位置随动系统的结构图 ， 求系统在给定值 r(t)作用下的传递函数及在负载力矩 ML作用下的传递 函数 ， 并求两信号同时作用下 ， 系统总输出 c(t)的拉 氏变换式 。 解 （ 1） r(t)作用下系统的闭环传递函数 c(s)/r (s)。 令 ML=0， 系统结构图简化为图 2-59。 图 2-59 ML=0时系统结构图 运用串联及反馈法则 （ 或梅逊公式 ） ， 可求得： 2 ( ) /() ( ) ( / ) / c a s m a r m e a a s m a s K K K iRGs s J s B K K R s K K K iR （ 2） ML作用下系统的闭环传递函数 c(s)/ML(s)。 令 r =0， 系统结构图如图 2-60所示 。 图 2-60 r=0时系统结构图 2 1/() ( / ) / c m L m e a a s m a s iGs M s J s B K K R s K K K iR () () 经结构变换可求得： （ 3） 系统总输出 在 r及 ML同时作用下 ， 系统的总输出为两部分迭加 ， 即： c(s)=G(s)r (s)+Gm(s)ML(s) （ 五 ） 闭环系统的误差传递函数 在 图 2-56中 ， 代表被控量 c(t)的测量装置的输出 b(t) 和给定输入 r(t)之差为系统的误差 e(t)， 即： ( ) ( ) ( )e t r t b t ( ) ( ) ( )E s R s B s或 E(s)即图中综合点的输出量的拉氏变换式 。 1. r(t)作用下的误差传递函数 ， 取为 n (t)=0时的 E(s)/ R(s)。 则可通过图 2-61求得： 12 ( ) 1() ( ) 1 ( ) ( ) ( )e EsGs R s G s G s H s （ 2.92） 图 2-6 r(t)作用下误差输出的结构图 图 2-62 n(t)作用下误差输出的结构图 2. n(t)作用下系统的误差传递函数 ， 取 r(t)=0时的 E(s)/ N(s)。 则可通过图 2-62得： 2 12 ( ) ( ) ( )() ( ) 1 ( ) ( ) ( )en E s G s H sGs N s G s G s H s (2.93) 3. 系统的总误差 ， 根据迭加原理可得： E(s)= G e(s)R(s)+ Gen(s)N(s) （ 六 ） 闭环系统的特征方程 上面导出的四个传递函数表 达式 分母是一样的 ， 均为 1+G1(s)G2(s)H(s) ， 这是闭环控制系统各种传递函 数的规律性 。 令 称为闭环系统的特征方程 。 将式 (2.94)改写成如下形式： D(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)=0 (2.94) sn+an-1sn-1+ +a1s+a0 =(s+p1)(s+p2) (s+pn)=0 (2.95) -p1,-p2, -pn称为特征方程的根，或称为闭环系统的极点。 它与控制系统的瞬态响应和系统的稳定性密切相关。 当 |G1(s)G2(s)H(s)|1及 |G1(s)H(s)|1时 ， 系统的总输 出表达式 (2.91)可近似为： 1( ) ( ) ( ) ()C s R s N sHs 0 即 R(s)-H(s)C(s)= R(s)-B(s)= E(s)0 反馈控制的优点： 采用反馈控制的系统 ， 适当地匹配元 部件的结构参数 ， 可获得较高的工作精度和很强的抑制干 扰的能力 ， 同时又具备理想的复现 、 跟随指令输入的性能 。