微分方程第5章.4极限环.ppt

5.4 极限环和平面图貌 5.4.1 极限环 例 一阶非线性驻定方程组 22 22 ( 1 ) ( 1 ) dx y x x y dt dy x y x y dt 取极坐标 c os , sinx r y r 2 ( 1 ) , 1 dr rr dt d dt 方程组有两个特解 0 0 0 0( 1 ) 0 , , ; ( 2) 1 , ,r t t t t r t t t t （ 1）为奇点；（ 2）以单位圆为轨线的周期解， 2周期为 且沿顺时针方向旋转 沿圆 * 1 2 1 1 11 , ( 1 ) 0 , 1 0 rR dr dR R R R dt dt 沿圆 * 2 2 2 2 21 , ( 1 ) 0 , 1 0 rR dr dR R R R dt dt 轨线按顺时针方向从圆 1rR 上走出圆外 轨线按顺时针方向从圆 2rR 上走到圆内 注： 1r孤立的周期闭轨 称为极限环 1r ( , ) ( , ) dx f x y dt dy g x y dt 设 是系统 的一个极限环 ,如果存在 着 的一个 邻域， 使从此邻域内出发的其它解均正向 ()t 趋近于 ，则称 为 稳定的极限环 。 如果其它解均负向 趋近于 ， ()t 则称 为 不稳定的极限环。 如果从 的 邻域出发的其它轨线在 的 一侧正向趋近于 ，另一侧负向趋近于 ， 则称此 为 半稳定的极限环 。 定理 5.4.1 Poincare-Bendixson环域定理 设区域 是由两条简单闭曲线 围成的 G 12,ll环形域并且满足下面条件 : (1) 及其边界 上不含奇点 ; G 12,ll(2)从 G的边界 上各点出发的轨线都不能 12,ll离开 (或进入 ) ; G(3) 均不是闭曲线 . 12,ll则在 内至少存在一个外稳定闭轨和一个内 G稳定闭轨 (一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭 轨 )，如果闭轨是惟一的 ,则它一定是一条 稳定的 (不稳定的 )极限环 。 定理 5.4.2 设系统 ( , ) ( , ) dx f x y dt dy g x y dt 的右端函数 ， 在某个单连域 内 ( , )f x y ( , )g x y D 连续可微 ,并且 ( , ) ( , )f x y g x y xy 在 内不变号 ,且在 的任何子域内不恒为零， D D 则方程组 ( , ) ( , ) dx f x y dt dy g x y dt 在 内不存在任何闭轨线 。 D 定理 5.4.3 对于方程组 ( , ) ( , ) dx f x y dt dy g x y dt 若在某个单连域 内存在一个连续可微函数 D ( , ),B x y 使得 ( ) ( )B f B g xy 不变号。且在 的任何子域中不恒为零， D 则方程组不存在全部位于 内的闭轨线。 D Dulac函数 定理 5.4.4 如果沿着系统 ( , ) ( , ) dx f x y dt dy g x y dt 的极限环 有 0 ( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )( ) 0( 0)T f x t y t g x t y t dt xy 则 是稳定 (不稳定 )的 .其中 是 的 周期 。 T 定理 5.4.5 给定微分方程 2 2 ( ) 0 , d x d xf x x d t d t 其等价方程组为： () dx y F x dt dy x dt 其中 0 ( ) ( ) , x F x f x dx 如果 (1) 在 连续 ; ()fx ( , ) (2) ; ( 0 ) 0f (3) 在 内分别单调不减， ()fx x ( , 0 ) , ( 0 , ) 则上述方程组至多存在一个极限环，若存在它 必定为稳定的。 例 1 证明平面二次系统 2 ( 1 ) dx y mx y ny dt dy x ax dt (1) 当 时无闭轨线。 0mn 证明 由系统的第一个方程得到 2 1x m dx ny dt 故轨线与直线 相交时只能从它的一侧向 1 x m 另一侧 ,因此系统若有闭轨线 .它只能位于直线 1x m 的一侧 ,在这一侧取 Dulac函数 1( , ) 1B x y mx 容易算出 2 2( ) ( ) ( 1 ) m n yB f B g x y m x 当 时它是常号且当仅且当 时为 0mn 0y 零，当 不是系统的轨线。 0y 所以由定理 5.4.3知 : 系统 (1)当 时不存在闭轨。 0mn 例 2 用定理 5.4.4的结论判定非线性方程组 2 2 2 2 2 2 2 2 0 .0 5 ( 1 ) ( 4 ) 0 .0 5 ( 1 ) ( 4 ) dx y x x y x y dt dy x y x y x y dt 引入极坐标 c os si n xr yr 后产生的极限环 及 的稳定性。 1 :1r 2 :2r 解 由 可以算出 ( , ) , ( , )f x y g x y 2 2 2 20 . 1 ( 1 ) ( 4 )fg x y x y xy 2 2 2 20 . 1 ( ) ( 2 2 5 )x y x y 对 有 1 c o s , s in , xt yt 2T 2 00 ( ) 0.1 1 ( 2 5 ) 0.6 0 T fg dt dt xy 故由定理 5.4.4知 是 不稳定的 。 1 对 有 2 2 c o s , 2 sin , xt yt 2T 2 00 ( ) 0.1 4 ( 8 5 ) T fg dt dt xy 2 .4 0 故由定理 5.4.4知 是 稳定的 。 2 5.4.2 平面图貌 ( , ) ( , ) dx X x y dt dy Y x y dt ( , ) 0X x y 垂直等倾线 ( , ) 0Y x y 水平等倾线 交点为奇点 两曲线划分区域内的 ( , )dx dydt dt 为 ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) 例 考虑两种群的 Volterra模型： ( 1 ) , , , , 0 ( 1 ) dx rx ax by dt r a s d dy sy c x dy dt （ 1） 0 , 0bc竞争模型 （ 2） 0 , 0 0 , 0b c b c 或捕食者 -食饵模型 （ 3） 0 , 0bc共存模型 垂直等倾线 0 , 1x ax by 水平等倾线 0 , 1y c x dy ( + , + ) ( + , - ) ( - , - ) A0 D x y ( 1 ) ,a c b d X种群趋于定量， y种群趋于灭绝 ( + , + ) ( - , + ) ( - , - ) A0 D x y ( 2 ) ,a c b d y种群趋于定量 ， x种群趋于灭绝 ( + , + ) ( + , - ) A0 D x y ( 4 ) ,a c b d ( - , + ) E ( - , - ) X， y 种群或以一定量共存，或有一灭绝 ( + , + ) ( - , + ) ( - , - ) A0 D x y ( 3 ) ,a c b d ( + , - ) X种群和 y种群以一定量共存 E