3.3.3点到直线的距离公式

仓库仓库铁路铁路仓库仓库l.P点到直线的距离点到直线的距离llP.oxy:Ax+By+C=0(x0,y0)点到直线的距离点到直线的距离 点到直线的距离点到直线的距离xyOlP（x0,y0)Q点到直线的距离的定义点到直线的距离的定义 过点过点 作直线作直线 的的垂线，垂足为垂线，垂足为 点，线点，线段段 的长度叫做点的长度叫做点 到直线到直线 的距离的距离PlQPQPl 已知点已知点P P（x x0 0,y,y0 0）和直线）和直线l l Ax+By+C=0,(Ax+By+C=0,(假设假设A A、B B 0)0)求点求点P P到直线到直线l l 的距离的距离.xyOlP（x0,y0)QxyOlP（x0,y0)Q思路思路.依据定义求距离依据定义求距离,其步骤为：其步骤为：求求l 的垂线的垂线l 1的方程的方程解方程组，得交点解方程组，得交点Q的坐标的坐标求求P QxyO思路思路利用直角三角形的面积利用直角三角形的面积公式的算法公式的算法:0l AxByC00,P xyQRSd思路思路：P(P(x x0 0,y,y0 0),),l l:AxAx+ByBy+C C=0,=0,设设ABAB0,0,O Oy yx xl ld dQ QP PR R100,;ABlxypxlR x y这时 与 轴轴都相交,过 作 轴的平行线 交 与点S S02,ylSxy作轴 的 平 行 线 交 与 点10020,0AxByCAxByC0012,ByCAxCxyAB00000102,AxByCAxByCxxyyAPRSBP222200ABPRPSAxBCRABSyO Oy yx xl ld dQ QP PR RS S0022AxByCdAB22000000.ABdAxByCABAxByCAxByCAB由三角形面积公式可得：由三角形面积公式可得：d RSPRPS公式结构特点公式结构特点2200|BACByAxPQ（1）分子是）分子是P点坐标（点坐标（,）代入直线方程；）代入直线方程；（2）分母是直线未知数）分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根系数平方和的算术根0 x0yl l:AxAx+ByBy+C C=0=0 前面我们是在前面我们是在A,B均不为零的假设下推均不为零的假设下推导出公式的，导出公式的，若若A,B中有一个为零，公式中有一个为零，公式是否仍然成立？是否仍然成立？思考：思考：1.当当A=0，即，即Ly轴时轴时PQxyoL2002|BACByAxPQ 2.当当B=0，即，即Lx轴时轴时PQxyoL3.当当P点在点在L上时，上时，000CByAx公式成立公式成立公式明显成立公式明显成立公式成立公式成立例例1:1:求点求点P(-1,2)P(-1,2)到直线到直线2 2x+yx+y-10=0-10=0；3 3x=x=2 2的距离。的距离。解：解：根据点到直线的距离公式，得根据点到直线的距离公式，得 521210211222 d如图，直线如图，直线3 3x=x=2 2平行于平行于y y轴，轴，O Oy yx xl l:3:3x=x=2 2P P(-1,2)(-1,2)35)1(32 d用公式验证，结果怎样？用公式验证，结果怎样？1.求下列点到相应直线的距离求下列点到相应直线的距离d:(1)P(0,0)l:3x2y+4=0(2)P(1,2)l:x y=33(3)P(3,5)l:x=1课堂练习课堂练习直线直线的方的方程应程应化为化为一般一般式式！4 13(1)13(2)1(3)42 2.点点A(A(a,6),6)到直线到直线3x-4y=23x-4y=2的距的距离等于离等于4,4,求求a的值的值.463a a=2 或或练习反馈题练习反馈题（1）P（2，3）到直线）到直线y=2的距离是的距离是_（2）P（1，1）到直线）到直线3x=2的距离是的距离是_（3）P（2，3）到直线）到直线x+2y+4=0的距离是的距离是_（4）P（1，1）到直线）到直线2x+y10=0的距离是的距离是_（5）P（2，0）到直线）到直线y=2x的距离是的距离是_55115545530例例2.求过点求过点A A（1 1，2 2）且与原点距离）且与原点距离为为1 1的直线方程的直线方程变：求过点变：求过点A A（1 1，2 2）且与原点距离最大）且与原点距离最大的直线方程的直线方程例例3.3.已知实数已知实数x x，y y满足满足3x3x4y4y5 50 0，求求 的最小值的最小值22yx 例例4 4：求平行线求平行线2 2x x-7y+8=0-7y+8=0与与2 2x x-7y-6=0-7y-6=0的距离。的距离。O Oy yx xl l2 2:2:2x x-7y-6=0-7y-6=0l l1 1:2:2x x-7y+8=0-7y+8=0 P P(3,0)(3,0)两平行线间的两平行线间的距离处处相等距离处处相等在在l l2 2上任取一点，例如上任取一点，例如P(3,0)P(3,0)P P到到l l1 1的距离等于的距离等于l l1 1与与l l2 2的距离的距离5353145314)7(28073222 d任意两条平行直线都可任意两条平行直线都可以写成如下形式：以写成如下形式：l l1 1:Ax+By+Ax+By+C C1 1=0 0l l2 2:Ax+By+Ax+By+C C2 2=0 0O Oy yx xl l2 2l l1 1P PQ Q1002,lP x yPl在直线 上任取一点,过点 作直线 的垂线,垂足为Q002222AxByCPlAB则点 到直线 的距离为:PQ10010PlAxByC点 在直线 上，001AxByC 2122CCABPQ（两平行线间两平行线间 的距离公式的距离公式）反馈练习：反馈练习：等于则，的距离等于：）到直线，点（myxlm10433.13.A3.B33.C333.或D（）的最小值是则是原点，上，）在直线，（若点OPOyxyxP04.210.A22.B6.C2.D（）D DB B的取值范围则，的距离不大于）到直线，若点（ayxa31344.310,0.A10,0.B133,31.C,100,.D离等于平行，则它们之间的距互相与已知两直线0160323.4myxyx4.A1332.B2635.C26137.D（）（）D DA A点点 到到 直直 线线 的的 距距 离离2200BACByAxd 1.1.此公式的作用是求点到直线的距离；此公式的作用是求点到直线的距离；2.2.此公式是在此公式是在A A、B B00的前提下推导的；的前提下推导的；3.3.如果如果A A=0=0或或B B=0=0，此公式恰好也成立；，此公式恰好也成立；4.4.如果如果A A=0=0或或B B=0=0，一般不用此公式；，一般不用此公式；5.5.用此公式时直线要先化成一般式。用此公式时直线要先化成一般式。