6.6方向导数与梯度

第六节第六节 方向导数与梯度方向导数与梯度二、方向导数的定义二、方向导数的定义三、梯度的概念三、梯度的概念一、问题的提出一、问题的提出实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、问题的提出一、问题的提出二、方向导数的定义二、方向导数的定义回顾函数回顾函数 在点在点 处关于处关于的偏导数定义：的偏导数定义：),(yxfz ),(000yxPyx,xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0000000 yyxfyyxfyxfyy ),(),(lim),(0000000 .),(,),(轴正向的变化率及轴正向沿是yxyxfyxfyx内有定义内有定义的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数)(),(),(000PUyxPyxfz （如图）（如图）)cos,cos(00 txtxP oyxl),(000yxP),(bael 讨论函数讨论函数 在一点在一点 沿任意方沿任意方向的变化率问题就是方向导数问题向的变化率问题就是方向导数问题),(yxfz 0P.coscos,coscos000 ttyytxxePxOyljie，参数方程为：参数方程为：则它的则它的，为方向向量的直线为方向向量的直线且以且以面上过点面上过点是是向量向量为一单位为一单位设设 ,)cos,cos(00上任意一点上任意一点为为设设ltytxP ),(000yyxxPP ,)cos,cos(e ttt|,|0te tPP 表示表示t.0的有向距离的有向距离到点到点点点PP0000(cos,cos)(,),zf xtytf xy,tz 考虑考虑当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，P0Pl00000(cos,cos)(,)limtf xtytf xyt是否存在？是否存在？1、方向导数的定义、方向导数的定义即即记记为为的的方方向向导导数数方方向向沿沿在在点点则则称称这这极极限限为为函函数数存存在在如如果果极极限限同同方方向向的的单单位位向向量量是是与与是是一一非非零零向向量量域域内内有有定定义义的的某某个个邻邻在在点点设设函函数数定定义义，,),(,),()cos,cos(lim,)cos,(cos,),(),()(000000000yxtllflPyxfztyxftytxflelyxPyxfz tyxftytxflftyx),()cos,cos(lim00000)(00 ，依定义，函数依定义，函数 在点在点 沿着沿着 轴正向轴正向 、轴正向轴正向 的方向导数分别的方向导数分别为为 .),(yxfPx)0,1(iy)1,0(jyxff,沿着沿着 轴负向、轴负向、轴负向的方向导数轴负向的方向导数分别是：分别是：.xyyxff ,.,的的推推广广是是方方向向导导数数yxfflf 2、方向导数的计算、方向导数的计算.,.cos),(cos),(0000),(00的方向角的方向角为方向为方向其中其中或或lyxfyxflfyxyx 证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为)(),(),(oyfxfyxfyyxxfzyx ,tbytax 取取ttbaofbfatyxftbytaxfyx|)|(),(),(220000 则则yxyxfbfalft ),(00,0 得得令令注：注：(1)仅由函数在一点可偏导，未必可推出函数在仅由函数在一点可偏导，未必可推出函数在该点处沿各方向的方向导数存在该点处沿各方向的方向导数存在.,)(),(31yxyxf 例例如如：(0,0)0,(0,0)0,xyff则时，时，但但0 ab.)(lim)0,0(),(lim31200)0,0(tabttftbtaflftt 此例同时也说明函数在一点连续也未必能推此例同时也说明函数在一点连续也未必能推出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在.(2)函数在一点处沿各方向的方向导数都存在，函数在一点处沿各方向的方向导数都存在，也未必在该点处连续也未必在该点处连续.000),(2222422yxyxyxyxyxf例例如如：.0,)sin,(cos)0,0()0,0(lfel方向导数都存在方向导数都存在的的处沿任一方向处沿任一方向在点在点 .)0,0(),(处不连续处不连续在点在点但但yxf 此例同时也说明函数可微并不是函数沿任一此例同时也说明函数可微并不是函数沿任一方向的方向导数存在的必要条件方向的方向导数存在的必要条件.解解),21,21(lel同方向的单位向量为同方向的单位向量为与与l)1,1(PQ这里方向这里方向 即为即为 ,;1)0,1(2)0,1(yexz,22)0,1(2)0,1(yxeyz所求方向导数所求方向导数.21)0,0(lz解解),sin,(cos lel同方向的单位向量为同方向的单位向量为与与 sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyx sincos),4sin(2 故故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2;（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0.3、方向导函数方向导函数),(yxfz Dlelf D若若 在区域在区域 内任何一点方向内任何一点方向 的的方向导数都存在，则方向导数都存在，则 是是 上的一个函数，上的一个函数，称为称为方向导函数方向导函数.4、推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义,),(),(lim0000000tzyxftcztbytaxft :,),(,),(),(000的方向导数为的方向导数为处沿方向处沿方向点点在在同方向的单位向量同方向的单位向量是与是与是一非零向量是一非零向量的某个邻域中有定义的某个邻域中有定义在点在点设函数设函数lPulcbaelzyxPzyxful 同同理理：当当函函数数在在此此点点可可微微时时，那那末末函函数数在在该该点点沿沿任任意意方方向向l的的方方向向导导数数都都存存在在,且且),(cbael 则则有有：.),(),(),(000000000),(000czyxfbzyxfazyxflfzyxzyx .,.coscoscos),(000的方向角的方向角为方向为方向其中其中或或lffflfzyxzyx 223ln()(1,0,1)(3,2,2).uxyzAAB例：求在点处沿 指向方向的方向导数21122 AAzyxxu解：解：012222 AAzyyzyxyu2112222 AAzyzzyxzu的方向导数：的方向导数：沿沿故在故在ABAAB),31,32,32(0 213121)32(03221 Alu*5、方向导数的几何意义：方向导数的几何意义：lf ),(yxfz l是函数是函数 沿方向沿方向 的变化率的变化率,),(00yxlf 0)()(),(:00yyaxxbyxfzl 表示曲线表示曲线.tan),(,(0000 斜率斜率的的处的切线相对于处的切线相对于在点在点leyxfyx),(bael*6、二阶方向导数二阶方向导数lf ),(00yx),(00yxlfl ),(yxf),(00yx22lf 如果如果 在在 沿沿 仍有方向导数仍有方向导数 ,就把它称为就把它称为 在在 沿沿 的的二阶方向二阶方向导数导数并记作并记作 .lele沿方向沿方向le的二阶方向导数的二阶方向导数:),(),(220000yxyxlfllf 例例 4 设函数设函数),(yxf在区域在区域 D 内有连续的二阶偏内有连续的二阶偏导数导数,方向方向),(bael 证明证明:.22222bfabfaflfyyxyxx 若在点若在点),(00yx的近旁的近旁022 lf,这在几何上这在几何上有何意义有何意义?二阶方向导数几何二阶方向导数几何意义：意义：，则说明在，则说明在 的近旁的近旁 的的切线斜率沿切线斜率沿 方向单调增加，曲线为下凸；方向单调增加，曲线为下凸；，的切线斜率沿的切线斜率沿 方向单调减少，曲线方向单调减少，曲线为上凸为上凸.022 lf),(,(0000yxfyxl le022 lfl le定义定义 设函数设函数),(yxfz 在在点点),(00yx可微可微分分，称称向量向量jyxfiyxfyx),(),(0000 为函数为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处处的的梯度梯度(gradient)，记为，记为 三、梯度的概念三、梯度的概念1、定义、定义?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题P),(),(grad0000yxfyxf 或或.),(),(),(grad000000jyxfiyxfyxfyx 即即 coscosyxfflf )cos,(cos),(yxffleyxf ),(grad,cos|),(grad|yxf lf 有有最最大大值值.设设)cos,(cos le是方向是方向l上的单位向量，上的单位向量，.),(grad的夹角的夹角与与为为其中其中leyxf,1cos时时当当 方向：方向：f(x,y)变化率最大的方向变化率最大的方向模模 :f(x,y)的最大变化率之值的最大变化率之值),(gradyxf2、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf1)函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22|),(grad|yxffyxf .fgradfgrad P当当xf不为零时，不为零时，x轴到轴到 梯度的转角的正切为：梯度的转角的正切为：xyff tan 2、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系1)函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22|),(grad|yxffyxf .),(yxfz 0P),(grad00yxf2)在点在点 处沿与梯度处沿与梯度 垂直方向的方向导数等于零垂直方向的方向导数等于零.),(yxfz 0Pll3)在点在点 沿方向沿方向 的方向导数等的方向导数等于梯度在方向于梯度在方向 上的投影上的投影.),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),(czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高线等高线),(gradyxf梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量P3、梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数若若三元函数三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP可微，可微，.),(),(),(),(grad000000000000kzyxfjzyxfizyxfzyxfzyx 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值数的最大值.例例 5 5 求求函函数数 yxzyxu2332222 在在点点 )2,1,1(处处的的梯梯度度，并并问问在在哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零？解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kujuiuzyxuzyx ),(grad,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2,1,1(gradkjiu 在在)0,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.4、梯度应用实例、梯度应用实例?,),(,22100500022方方向向可可最最快快到到达达山山顶顶问问沿沿哪哪个个处处往往上上爬爬山山若若从从点点表表示示函函数数：设设一一座座山山峰峰高高度度可可由由例例zyxPyxz?,),(000到到达达山山底底问问沿沿哪哪个个方方向向可可最最快快处处下下山山若若从从点点zyxP*四、物理意义四、物理意义函数函数(物理量的分布物理量的分布)数量场数量场 (数量值函数数量值函数)场场向量场向量场(向量值函数向量值函数)可微函数可微函数 f(P)梯度场梯度场 grad f(P)(势势 )如如:温度场温度场,电位场等电位场等如如:力场力场,速度场等速度场等(向量场向量场)注意注意:任意一个向量场不一定是梯度场任意一个向量场不一定是梯度场.1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）五、小结五、小结.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf1、方向导数的概念方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）五、小结五、小结二元函数二元函数 f(x,y)在点在点 P(x,y)沿方向沿方向 (方向角方向角为为 )的方向导数为的方向导数为:,l coscosyxfflf 三元函数三元函数 f(x,y,z)在点在点 P(x,y,z)沿方向沿方向 (方向方向角为角为 )的方向导数为的方向导数为:,l coscoscoszyxffflf 2、梯度的概念梯度的概念（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf二元函数二元函数 f(x,y)在点在点 P(x,y)的梯度为的梯度为:),(,),(gradyxfyxffyx 三元函数三元函数 f(x,y,z)在点在点 P(x,y,z)的梯度为的梯度为:),(gradzyxffff 3.关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在可微可微leflf grad.),(的方向的方向在这点增长最快在这点增长最快梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf梯度在方向梯度在方向 上的投影上的投影 .l讨讨论论函函数数22),(yxyxfz 在在)0,0(点点处处的的偏偏导导数数是是否否存存在在？方方向向导导数数是是否否存存在在？思考题思考题xfxfxzx )0,0()0,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy|lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.思考题解答思考题解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数,)0,0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.一、一、填空题填空题:1 1、函数函数22yxz 在点在点)2,1(处沿从点处沿从点)2,1(到点到点 )32,2(的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 ,则则)0,0,0(gradf_._.3 3、已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向导数是_._.4 4、称向量场称向量场a为有势场为有势场,是指向量是指向量a与某个函数与某个函数 ),(zyxu的梯度有关系的梯度有关系_._.练练 习习 题题三三、设设vu,都都是是zyx,的的函函数数,vu,的的各各偏偏导导数数都都存存在在且且连连续续,证证明明:ugradvvgraduuvgrad )(四四、求求222222czbyaxu 在在点点),(000zyxM处处沿沿点点的的向向径径0r的的方方向向导导数数,问问cba,具具有有什什么么关关系系时时此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的模模?二、求函数二、求函数)(12222byaxz 在点在点)2,2(ba处沿曲线处沿曲线 12222 byax在这点的内法线方向的方向导数在这点的内法线方向的方向导数.一、一、1 1、321；2 2、kji623；3 3、graduczbyax 222222)2()2()2(；4 4、gradua .二、二、)(2122baab.四、四、cbazyxzyxuruM ;),(22020200000.练习题答案练习题答案