1531等腰三角形

15.3 等腰三角形等腰三角形 张集中学张集中学 魏俊廷魏俊廷下载图片 回顾：回顾：等腰三角形等腰三角形一一.基本概念基本概念 1.定义定义:两条边相等的两条边相等的三角形三角形叫做等腰三角形叫做等腰三角形.如图如图AB=AC，就是等腰三角形就是等腰三角形 ABC2.等腰三角形的基本要素等腰三角形的基本要素:ABC腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角做一做做一做1：（1）把准备的等腰三角形纸片拿出来；）把准备的等腰三角形纸片拿出来；（2）把三角形的顶角顶点记为）把三角形的顶角顶点记为A，底角顶点记为，底角顶点记为B，C。（3）把三角形对折，让两腰）把三角形对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为重叠在一起，折痕为AD。二二.等腰三角形性质的探索等腰三角形性质的探索BACDABCDAB(C)D 通过折叠通过折叠你发现图形中你发现图形中有哪些相等的有哪些相等的线段或角？线段或角？（1 1）、等腰三角形是轴对称图形）、等腰三角形是轴对称图形（2 2）、）、B=C,B=C,（3 3）、）、BD=CD,BD=CD,（4 4）、）、ADB=ADC=90ADB=ADC=90,（5 5）、）、BAD=CAD BAD=CAD，CABD问题问题1:上述结论上述结论（2 2）用文字如何表述？）用文字如何表述？等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等.问题问题2:上述上述结论（结论（3 3）、（）、（4 4）、（）、（5 5）用一句话可以归纳为什么？）用一句话可以归纳为什么？等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合重合.即即两底角相等两底角相等即即AD 为底边上的中线为底边上的中线即即AD为底边上的高为底边上的高即即AD为顶角平分线为顶角平分线CABD如何证明：等腰三角形的两个底角相等？如何证明：等腰三角形的两个底角相等？已知：如图已知：如图ABC中中AB=AC求证：求证：B=C证明：证明：作作 ABC的中线的中线AD 在 ABD和ACD 中中 ABD ACD(SSS)B=C思考思考1：还有其他的证明方法吗？还有其他的证明方法吗？思考思考2：通过刚才的探索，通过刚才的探索，ADAD在在ABCABC中充当几种角色？中充当几种角色？BDCDABACADAD等腰三角形的性质等腰三角形的性质定理1、等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）即：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。底边上的中线互相重合。（简称“三线合一三线合一”）一般的三角一般的三角形有这种性形有这种性质吗？质吗？要注意是指顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线这三线重合。定理2、等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 受性质受性质1的证明的启发，你能证明性质的证明的启发，你能证明性质2（等腰三角形顶角平分线、底边上的中线，底等腰三角形顶角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合边上的高相互重合）吗？）吗？提示：需要表示出三个命题提示：需要表示出三个命题！1已知：已知：ABC中，中，AB=AC，BAD=CAD求证：求证：BD=CD，ADBC2已知：已知：ABC中，中，AB=AC，BD=CD求证：求证：ADBC，BAD=CAD3已知：已知：ABC中，中，AB=AC，ADBC求证：求证：BAD=CAD，BD=CDABCDCDBA1、（1）在在ABC中，中，AB=AC，B=C（）等边对等角等边对等角 ADBC，_=_，_=_ AD是中线，是中线，_ _，_=_=_AD是角平分线，是角平分线，_ _，_=_BAD CADBD CD AD BC AD BCBAD CADBD CD（2）在在ABC中，中，AB=AC时，时，课堂练习：课堂练习：（三线合一三线合一）2、在在 ABC中，若中，若AB=BC=CA，则则 A=_ B=_ C=_推论推论：等边三角形三个内角都相等，每等边三角形三个内角都相等，每一个角都等于一个角都等于 。ABC课堂练习：课堂练习：60 60 60 60解：解：AB=AC（已知）（已知）B=C（等边对等角）（等边对等角）B=C=30 又又BD=AD(已知已知)BAD=B=30（等边对等角）（等边对等角）同理同理 CAE=C=30 DAE=BACBADCAE =1203030 =60 p133例例1：如图在如图在ABC中，中，AB=AC，BAC=120，点，点D、E是底边的两点，且是底边的两点，且BD=AD，CE=AE，求求DAE的度数。的度数。ABCDE能力拓展：能力拓展：已知，如图已知，如图AB=AC，AD=AE。求证：。求证：BD=CE。EDCBA方法一：证明：AB=AC B=C（等边对等角）同理：ADE=AED 又 ADE+ADB=180 AED+AEC=180 ADB=AEC（等角的补角相等）在ABD与 ACD中 B=C ADB=AEC AD=AE ABD ACE（AAS）BD=CE方法二：过A作AFBC垂足为F点，AB=ACBF=FC（三线合一）同理：DF=EFBF-DF=FC-EF即BD=CEF方法三：证明 ABE ACDADCBp134例例2 如图，在如图，在ABC中，点中，点D在在AC边上，边上，且且BDBC=AD，求，求ABC各角的度数各角的度数解：解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC,A=ABD(等边对等角等边对等角)。设设A=x,则则 BDC=A+ABD=2x,从而从而ABC=C=BDC=2x.于是在于是在 ABC中，有中，有 A+ABC+C=x+2x+2x=180。解得解得 x=36，在在 ABC中，中，A=36，ABC=C=72。学学以以致致用用等腰三角形一个底角为等腰三角形一个底角为4040,它的顶角为它的顶角为_._.等腰三角形一顶角为等腰三角形一顶角为4040,它的另外两个底角为它的另外两个底角为 _._.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为4040,它的另外两个角为它的另外两个角为_._.100 100，40 或或70 70，70 70 70,70 4.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为它的另外两个角为 .30301、等腰三角形的性质：、等腰三角形的性质：等边对等角等边对等角2、等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边（三（三线合一）线合一）4、有时利用、有时利用等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”性质作辅性质作辅助线（助线（顶角的平分线、底边上的高、底边上的中顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线线），可帮助我们解决实际问题。），可帮助我们解决实际问题。3、等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于、等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60等腰三角形的性质等腰三角形的性质文字叙述文字叙述几何语言几何语言等腰三角形的两底角相等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）等（简称等边对等角）AB=ACB=C等腰三角形顶角的平分等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于线平分底边并且垂直于底边（简称三线合一）底边（简称三线合一）AB=AC，1=2 ADBC，BD=CDACBD12ABC挑战题：挑战题：已知，如图已知，如图ABC是等边三角形，是等边三角形，AE平分平分BAC交交BC于于E，以，以BE为边向为边向ABC的外部作等边的外部作等边BED。求证：求证：BDCDA AB BC CD DE E 再 见！布置作业布置作业1.课本课本P139习题习题15.3第第1.2题题2.同步训练：同步训练：p104基础练习基础练习15.3（一）（一）