第2章函数的极限

大学数学课程教学策略教学要求教学要求:p理解函数极限、连续函数概念理解函数极限、连续函数概念p掌握极限四则运算法则，会求函数的极限掌握极限四则运算法则，会求函数的极限p掌握无穷小性质（无穷小与有极限量的关系叙述，无穷小掌握无穷小性质（无穷小与有极限量的关系叙述，无穷小与有界变量乘积）与有界变量乘积）p会用两个重要极限求相应函数的极限掌握函数在一点连续会用两个重要极限求相应函数的极限掌握函数在一点连续概念，会判断函数的连续性概念，会判断函数的连续性大学数学课程教学策略Nnnfyn),(:,1Nnnyn,1,31,21,1n1 2 3 4 501xyRxxxf,1)(Nnnyn,1距离越来越短(动点到定直线的距离）|0)(|,0|xfyn注意：x轴的方程为 y=001limnn01limxx观察：观察：大学数学课程教学策略大学数学课程教学策略xxxxx1sinlim|lim00不存在不存在大学数学课程教学策略性性质质基本性质基本性质（唯一性、夹逼定理、单调数列极限存在定理）唯一性、夹逼定理、单调数列极限存在定理）运算性质：运算性质：exenxxnn)11(lim)11(lim)0(,/)(lim/)(lim)(/)(lim)(lim)(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim,)(limBBAngnfngnfCAnfCnCfBAngnfngnfBAngnfngnfBngAnfnnnnnnnnnnnnn适用其它适用其它函数极限函数极限性质性质大学数学课程教学策略计算函数的极限计算函数的极限746153lim22nnnnn746153lim22xxxxx122lim2nnnn122lim2xxxx122lim2nnn122lim2xxx4444)13()5()1()12(limnnnnn20164)5()1()12(limxxxxexenxxnn)11(lim)11(lim2)11(limxxxx型型1注意注意方法方法函数极限类型函数极限类型1 1大学数学课程教学策略例题讲解例题讲解 例1746153lim22nnnnn22222222746153limnnnnnnnnnnn22746153limnnnnn2101limnn大学数学课程教学策略例题2122lim2nnnn22222122limnnnnnnnn01212lim2nnnn122lim2nnnnnn122limnnnnnn122lim2大学数学课程教学策略例题3nnn31913112141211lim)31311(311)21211(211lim11nnn343/113/113112/112/11211limnnnqaqaaqaqaqann112大学数学课程教学策略例题4-54444)13()5()1()12(limnnnnn444444)13()5()1()12(limnnnnnnn4444)13()11()11()12(limnnnnn8215一般不要展开202016164420164)5()1()12(lim)5()1()12(limxxxxxxxxxxx16)51()11()12(lim20164xxxx大学数学课程教学策略例题6-72)11(limxxxx)11()11(lim1xxxxxx)121()121(lim1xxxx2221)121(limexxx)11()121(lim1xxxxxx11)11(lim)1(lim)1(limexxxxxxnxnxn大学数学课程教学策略)1(15lim221fxxxx00limxxxx)2(5)2(2)2(2)522(lim222fxxx11lim21xxx4586lim224xxxxx1sinlim0 xxx20cos1limxxx)1sin(1lim31xxx型00)()(lim00 xfxfxx下一页下一页230sinlimxxx函数极限类型函数极限类型2 2大学数学课程教学策略例题讲解例题讲解 例例1-211lim21xxx1)1)(1(lim1xxxx2)1(lim1xx011xx4586lim224xxxxx)1)(4()2)(4(lim4xxxxx3212lim4xxx大学数学课程教学策略例例3-43-421)sin(lim21sinlim21cos11cos1lim)cos1()cos1)(cos1(limcos1lim202202202020 xxxxxxxxxxxxxxxxxx3)1(lim)1sin()1)(1(lim)1sin(1lim212131xxxxxxxxxxx大学数学课程教学策略例例543)3sin(lim43)3sin(lim4)21)(21()21()3sin(lim21)3sin(lim0limsinlimsinlim33330220230 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx本单元结束本单元结束大学数学课程教学策略无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无无穷穷小小量量极限为零的变量称为无穷小量极限为零的变量称为无穷小量0)(lim)(0 xfxxx无穷小量的运算性质（无穷小量的运算性质（有限个无穷小量的和（积）仍为无穷小量；无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量）无穷小量的比较无穷小量的比较高阶等价；同阶；,0)()(lim,1)()(lim),10()()(lim,0)(lim,0)(limxgxfxgxf，Axgxfxgxf无穷小量的倒数为无穷大量无穷小量的倒数为无穷大量无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量大学数学课程教学策略1 1、下列变量中，属于无穷小量的有（、下列变量中，属于无穷小量的有（）。）。)0(),1ln(.)0(,ln.)(,.)1(),1cos(.1xxDxxCxeBxxAx2 2、当、当x0 时时，变量变量 与（与（）是同阶无穷小量。）是同阶无穷小量。11x432.xDxCxBxADA思考题思考题大学数学课程教学策略函数的连续性函数的连续性)()(lim)(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxxxy12o1,5.01,1)(xxxxf1xyo12)1(1)(xxfxy12o11)(2xxxf1无穷间无穷间断点断点不可去不可去可去可去函数的连续性函数的连续性大学数学课程教学策略间间断断点点的的判判断断第第1 1类间断点类间断点第第2 2类间断点类间断点)(lim)(lim00 xfxfxxxx)()(lim00 xfxfxx可去间断点可去间断点不可去间断点不可去间断点连续函数在闭区间上的性质连续函数在闭区间上的性质初等函数在其定义域区间内连续。初等函数在其定义域区间内连续。间断点的判断间断点的判断大学数学课程教学策略003sin)(xkxxxxf1、若函数、若函数则当则当k=()时时f(x)是连续函数是连续函数.32 2、计算下列极限、计算下列极限xxxxxxxxx)1ln(lim),4421(lim,sin11lim02220思考题思考题