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4.2 向量组的线性相关性,一、向量组的线性组合,二、向量组的线性相关性,返回,向量组：同维数的向量所组成的集合.,向量组与矩阵：,例如,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,一、向量组的线性组合,L(1,2, , m) : 1, 2, , m 线性组合的全体.,例1 零向量是任一向量组的线性组合.,例2 向量组1, 2, , m中任一向量都可由这个向量组线性表出.,例3,设1, 2, , m Rn, 则L(1,2, , m)为Rn的一个子空间由1, 2, , m 生成的子空间.,定理1 设 A =(1, 2, , n), 则下列命题等价：,1o bL(1, 2, , n);,2o AX = b有解;,证,有数 x1, x2, , xn 使得,bL(1, 2, , n),1o 2o：,3o,设 R(A) = r,2o 3o：,AX = b与BX = d 同解. 所以,AX = b有解 ,dr+1 = 0, R(B, d) = R(B) = r,例1 将 = (1,0,-4)T 用1 =(0,1,1)T, 2 =(1,0,1)T,3 =(1,1,0)T 线性表出.,解,定义2 (): 1, 2, , r , (): 1, 2, , s ,若组() 中每一个向量都可由()中的向量线性表出，则称组()可由()线性表出.若组()与组()可以互相线性表出，则称组()与组()等价.,等价关系有性质：,(1) 反身性：每一向量组都与自身等价；(2) 对称性： ()与()等价，则()与()等价；(3) 传递性： ()与()等价，()与()等价,则 ()与()等价.,二、向量组的线性相关性,定义 若存在不全为零的数x1, x2, , xm使得 x11+ x22+ + xmm = 0 (*)则称1, 2, , m 线性相关；否则，称1, 2, , m线性无关.,特殊情形： (1) 一个向量： 线性相关 = 0 (线性无关 0 )；,(2) 两个向量1, 2 ：1, 2线性相关(无关) 它们的对应分量(不)成比例.,证,例2 含有零向量的向量组线性相关.,证,1 0 + 01+ + 0m = 0,定理2 设有m维向量组1, 2, , n, A =(1, 2, , n), 则下列命题等价：,1o 1, 2, , n线性相关;,2o AX = 0有非零解;,有不全为零的数 x1, x2, , xn使,1o 2o：,1, 2, , n线性相关,证,3o,设 R(A) = r,2o 3o：,AX = 0与BX = 0 同解.,故，AX = 0有非零解 r n.,BX = 0有非零解 r n,推论1 设有n维向量组1, 2, , n , A =(1, 2, , n), 则下列命题等价：,1o 1, 2, , n 线性相关;,2o AX = 0有非零解;,3o det A = 0.,向量个数 = 向量维数：,几何意义:,在R2, R3中， 1, 2线性相关 1/2 (或共线).,在 R3中，1, 2 ，3线性相关 1, 2 ，3 共面.,推论2 向量个数 向量维数 的向量组必线性相关.,证 设 A =(1, 2, , n) mn, n m, 则,R( A) m n,所以 1, 2, , n 线性相关.,在Rn中，任 n + 1个向量必线性相关.,例3 判断向量组1 =(0,1,1), 2 =(1,0,1), 3 =(1,1,0)的线性相关性：,解1,所以,1, 2 ，3线性无关.,解2,R( A) = 3, 所以，1, 2 ，3线性无关.,例4 设1, 2 ，3 线性无关，证 1 = 1+2 ，2 = 2 +3 , 3 = 3+ 1线性无关.,证 设 x1 1 + x22 +x33 = 0,即 x1 (1+2 ) + x2 (2 +3 ) + x3 (3+ 1) =0.,即 (x1+x3 ) 1 + (x1 +x2 ) 2 + (x2+ x3) 3 =0.,因为1, 2 ，3 线性无关，所以只有,所以(*)只有零解. 故 1, 2 , 3 线性无关.,线性相关性的基本定理,定理3 若1, 2, , m线性相关，则1, 2, , m , m +1 , , n 线性相关.,证 由1, 2 , , m线性相关，知有不全为零的数 x1, x2, , xn 使 x11+ x22+ + xmm = 0.,x11+ x22+ + xmm + 0m+1+ + 0n = 0.,x1, x2, , xm, 0, , 0 不全为零，故1 , 2 , n 线性相关.,“部分相关，则整体相关.”,“整体无关，则部分无关.”,定理4 1, 2 , , m (m2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m - 1个向量线性表出.,证 充分性 不妨设1可由 2 , , m线性表出，,即有数 x2, , xm 使得,因 -1, x2, , xm 不全为零，故1 , 2 , m 线性相关.,必要性 有不全为零的数 k1, k2, , km 使 k11+ k22+ + kmm = 0.,1可由 2 , , m线性表出.,因 k1, k2, , km不全为零，不妨设 k10，则,即“1, 2 , , m 线性无关 其中任一向量都不能由其余向量线性表出.”,定理5 若1, 2 , , m 线性无关， 1, 2 , , m， 线性相关，则 可由1, 2 , , m 线性表出，且表式惟一.,有不全为零的数 k1, k2, , km ,k 使 k11+ k22+ + kmm + k = 0.,若k = 0，则 k11+ k22+ + kmm = 0.,而 k1, k2, , km 不全为零,与1, 2 , , m 线性无关矛盾.,所以k 0，,证,下证 由1, 2 , , m 线性表出的表式惟一：,设,所以,因 1, 2 , , m 线性无关，所以,故表式惟一.,
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