机械振动学复习精彩试题

（一）一、填空题（本题15 分，每空1分）1、不同情况进行分类，振动（系统）大致可分成，（ ）和非线性振动；确定振动和（ ）； （ ）和强迫振动；周期振动和（ ）；（ ）和离散系统。2、在离散系统中，弹性元件储存（ ），惯性元件储存（ ），（ ）元件耗散能量。3、周期运动的最简单形式是（ ），它是时间的单一（ ）或（ ）函数。4、叠加原理是分析（ ）的振动性质的基础。5、系统的固有频率是系统（ ）的频率，它只与系统的（ ）和（ ）有关，与系统受 到的激励无关。二、简答题（本题40 分，每小题10分）1、简述机械振动的定义和系统发生振动的原因。（10 分）2、简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10 分）3、共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？（10 分）4、多自由系统振动的振型指的是什么？（10 分）三、计算题（本题30 分）1、 求图 1 系统固有频率。（10 分）图12、图 2所示为3 自由度无阻尼振动系统。（1）列写系统自由振动微分方程式（含质量矩阵、刚度矩阵）（10 分）；设k = k = k = k = k , I = I / 5 = I = I，求系统固有频率（10分） t1 t 2 t3 t 41 2 32 图Z 77 Z0 70寸z T4+443 - SEKISSK431 oo1oso1oo1、II1 oo1r、oc、7。、1I。o1II3004U4+4-1e寸z e e TOH H4 + (H H) 4 + 逐7 e e T i e 皂 e e 0 Ho H) 4 + (0 H) 4 + 毬 1e II-I 0 H ( H H) 4 + H 4 +毬7e e i e e i e e iZSIB、!g制哄L3 3 OBS、amawzk&ramttWC04Z 4OH 4 i伎貞04 23喩归|8WCO4Z脏同(e)Yar Z3SOO;J ITcotJz T Z IT -J Zz H 腐 + z( H 腐 + z( H 十 + zp 3解得:o 2 = (6526) k 和o 2 = 2 k所以： o =1(牛)| o =5 I(56 +、26)k2 om 3(c)将（c）代入（b）可得:2k-(5-kk2k - 2g-k解得：-k2k - (6；26)k-k-k2k - (6衣u1 u ? = 02u3k2k - 2-gd-k-kk2k - 2 -gu1 u2u3:u11 21 31:u 沁 1:1.82 :1；-1u : u : u 沁 -1:0:1；12 22 32u : u : u 沁 1: 一022:1 ；13 23 33，得到系统的三阶振型如图：四、证明题（本题15 分）对振动系统的任一位移 x ，证明Rayleigh商 R( x) =xT K xxT M x满足o2 R（x） o2。这里，K和M分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，o和o分别是1 n 1 n系统的最低和最高固有频率。.MEU ISR s、世 sots世器ss;gssliDR2一sg、期M IzcovlooyVIsK二 JVVK)SSSHSffi M6_AeM、玄还早甲&镶决-1; a e e ii、(；)+:+;)+(5亠 HKa屮骰十咚旺-版黑)抑仪旺体00I 0 00 00o丄0 0 00 0 Hsss0 IMK国？三13国Is 三二乂53玄乂3-8:MSHSKlu- ssfis - smshs冷才 3床因此：R （x）=y t u k u y y t u m u y 200yT010000 2n1 0 0yt 0 00 y001y 2 2 + y 2 2 + y 2 21122n ny2 + y2 + y212n由于： 2 2 212n2y 22 y 2J所以：1inii1 R (X ) i1乙y 2乙y 2ii i1i1即： 2 R(x) 21n证毕。二）一、填空题（本题15 分，1空 1分）1、机械振动是指机械或结构在（静平衡）附近的（弹性往复）运动。2、按不同情况进行分类，振动系统大致可分成，线性振动和（非线性振动）；确定性 振动和随机振动；自由振动和和（强迫振动）；周期振动和（非周期振动）；（连续系统）和 离散系统。3、（惯性 ）元件、（弹性 ）元件、（阻尼 ）元件是离散振动系统的三个最基本元素。4、叠加原理是分析（线性振动系统 ）的振动性质的基础。5、研究随机振动的方法是（统计方法），工程上常见的随机过程的数字特征有：（均值）， （方差），（自相关）和互相关函数。6、系统的无阻尼固有频率只与系统的（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。二、简答题（本题40 分，每小题5分）1、简述确定性振动和随机振动的区别，并举例说明。 答：确定性振动的物理描述量可以预测；随机振动的物理描述量不能预测。比如： 单摆振动是确定性振动，汽车在路面行驶时的上下振动是随机振动。2、简述简谐振动周期、频率和角频率（圆频率）之间的关系。2兀1答：T =，其中T是周期、是角频率（圆频率），f是频率。 f3简述无阻尼固有频率和阻尼固有频率的联系，最好用关系式说明。答：=w Jl-g2，其中是阻尼固有频率，是无阻尼固有频率，E是阻dndn尼比。4、简述非周期强迫振动的处理方法。答：1）先求系统的脉冲响应函数，然后采用卷积积分方法，求得系统在外加激励下 的响应；2）如果系统的激励满足傅里叶变换条件，且初始条件为0，可以采用傅里叶变 换的方法，求得系统的频响函数，求得系统在频域的响应，然后再做傅里叶逆 变换，求得系统的时域响应；3）如果系统的激励满足拉普拉斯变换条件，且初始条件不为0，可以采用拉普 拉斯变换的方法，求得系统的频响函数，求得系统在频域的响应，然后再做拉 普拉斯逆变换，求得系统的时域响应；5、什么是共振，并从能量角度简述共振的形成过程。答：当系统的外加激励与系统的固有频率接近时候，系统发生共振；共振过程中， 外加激励的能量被系统吸收，系统的振幅逐渐加大。6、简述刚度矩阵K的元素k的意义。答：如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的 位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i 个自由度上施加的外力就是kij。7、简述线性变换U矩阵的意义，并说明振型和U的关系。答：线性变换U矩阵是系统解藕的变换矩阵；U矩阵的每列是对应阶的振型。8、简述线性系统在振动过程中动能和势能之间的关系。答：线性系统在振动过程中动能和势能相互转换，如果没有阻尼，系统的动能和势 能之和为常数。三、计算题（本题45 分）1设有两个刚度分别为ki , k2的线性弹簧如图,计算它们并联时和串联时的总刚度keq（5分）ssssss图1图2图32、一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受至1一弹簧k约束，如图 2 所示，求系统的固有频率。（15 分）3、求如图 3 所示的三自由度弹簧质量系统的固有频率和振型。 （25 分）（设m = m = m; m = 2m; k = k = k; k = k = 2k; k = k = 3k;）1321423561解：1）对系统施加力P，则两个弹簧的变形相同为x，但受力不同，分别为：P=kx11P = k x22由力的平衡有：P = P + P = （k + k ）x1 2 1 2P故等效刚度为：k = k + keq X 122）对系统施加力P，则两个弹簧的变形为：Px =1 k111 ，弹簧的总变形为：Pi 2k kX =122 k2故等效刚度为：k = P =出=丄+丄eq x k + k k k2 1 1 22. 解：取圆柱体的转角&为坐标，逆时针为正，静平衡位置时P二0，则当m有0转角时， 系统有：E = 1102 + mr 2 )0&2t 222U = 1 k 0 r )22由 d 忙 + U)= 0 可知：(+ mr 2)0&+ kr 20 = 0即： =:kr2 / ( + mr2)( rad/s)n-3 解：以静平衡位置为原点，设m , m , m的位移x , x , x为广义坐标，系统的动能和势1 2 3 1 2 3能分别为E = 1 m 玻2 + 1 m x&2 + 1 m 玻2 t 21 122 22U = k x 2 + k (x x2112U = 1 (k + k )x2 12212133)2 + 1 k (x2232+ k + k + k )x3262x )23+ 1 k x 2 + 1 ( + k )x 22 4 32562+ k )x42 k x x k x x3求偏导得到m =K=k + k12k20kk3=k221022u得到系统的广义特征值问题方程：(Ko 2 M ) L1 = 0 2u3和频率方程：3k 2 m2k0V ( 2)=2k10k 22m2k=002k3k 2 m即：V2） = （3k 一2m）（2m24 一 16km2 + 22k2） = 0 解得： 2 = （4 *；5） 土 和 2 = 3 mm所以： = t：（4 J5） 土 = 3 =、（4 + J5）1m 2 m 3m将频率代入广义特征值问题方程解得：u : u : u 1: 0.618:1 ；11 2131u : u : u 沁 一1: 0:1 ；12 2232u : u : u q0.618:1: 0.618 ；13 23 33（三）一、填空题（本题15分，每空1分）1、机械振动大致可分成为：（）和非线性振动；确定性振动和（）；（）和强迫振动。2、在离散系统中，弹性元件储存（ ），惯性元件储存（），（）元件耗散能量。3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。4、叠加原理是分析（ ）系统的基础。5、系统固有频率主要与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。6、系统的脉冲响应函数和（）函数是一对傅里叶变换对，和（）函数是一对拉普拉斯变换对。7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（ ）运动。答案：1、线性振动；随机振动；自由振动；2、势能；动能；阻尼3、简谐运动；正弦；余弦4、线性5、刚度；质量6、频响函数；传递函数7、往复弹性二、简答题（本题40 分，每小题10分）1、简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10 分）答：实际阻尼是度量系统消耗能量的能力的物理量，阻尼系数c是度量阻尼的量；临 界阻尼是c = 2mo ;阻尼比是g =c / ce n e2、共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？（10 分）答：共振是指系统的外加激励与系统的固有频率接近时发生的振动；共振过程中，外加 激励的能量被系统吸收，系统的振幅逐渐加大。3、简述刚度矩阵K中元素kj的意义。（10 分）答：如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移 保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第个自由度 上施加的外力就是k.o4、简述随机振动问题的求解方法，以及与周期振动问题求解的区别。（10 分）答：随机振动的振动规律只能用概率统计方法描述，因此，只能通过统计的方法了解激励和响应统计值之间的关系。而周期振动可以通过方程的求解，由初始条件确定未来任意时刻系统的状态。三、计算题（45 分）3.1、（14分）如图所示中，两个摩擦轮可分别绕水平轴O , O2 转动，无相对滑动；摩擦轮的半径、质量、转动惯量分别为J ITI、 I和r2、m2、12。轮2的轮缘上连接一刚度为k的弹簧，轮1的轮缘kmr2。1rlmi I1%上有软绳悬挂质量为 m 的物体，求：1）系统微振的固有频率；（10 分）2）系统微振的周期；（4 分）。3.2、（16分）如图所示扭转系统。设转动惯量I二12，扭转刚度心二Kr2。1）写出系统的动能函数和势能函数； （4 分）2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵； （4 分）3）求出系统的固有频率；（4 分）4）求出系统振型矩阵，画出振型图。（4 分）图23.3、（15分）根据如图所示微振系统，1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程； （5 分）2）求出固有频率；5 分）3）求系统的振型，并做图。5 分）图3计算题答案：3.1 （ 1）系统微振的固有频率；（10 分）；（2）系统微振的周期；（4 分）。选取广义坐标x或e ；确定m的位移与摩擦轮转角的关系（质量m的位移与摩擦轮转动的弧长及弹簧的变形量相等）；，写出系统得动能函数Et、势能函数U；令d（Et+U）=Q求出广义质量和刚度1 k求出 =亍一厂，进一步求出TnIIm + +r 2 r 21 23.2. （1）写出系统的动能函数和势能函数（4 分）；（2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵（ 4分）；（ 3）求出系统的固有频率（ 4分）；（ 4）求出系统振型矩阵，画出振型图（ 4分）。令 I = I = I, k = k = k12r1r 2 r1）略2 ）L k-2 -1,m L i1 or-1 10 13)频率：O 2 = 3 f5仝n12 I3 +p5 kO 2=rn 22 IJ5-14）振型矩阵：LL 2i0.618 11 0.6182振型图（略）3.3 （1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程（5 分）；（2）求出固有频率（5 分）；（3）求系统的振型，并做图（5 分）频率方程：A(o 2) = k2 2o 2 k固有频率：即：(3 o2m)2(2 kkO21o 2) 2(3k3 kO 2 = 3 mO 2 = (2 + 迈)3m振型矩阵：1111 -0.41411 _101-辽=100.414V辽1110.41411振型图（略）（四）一、填空题（本题15 分，每空1 分）1机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（余弦）函数。3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。4简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括 均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶 变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。二、简答题（本题40 分）1、什么是机械振动？振动发生的内在原因是什么？外在原因是什么？（7 分）答：机械振动是指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。 （ 3分） 振动发生的内在原因是机械或结构具有在振动时储存动能和势能，而且释放动能和势能 并能使动能和势能相互转换的能力。（2 分）外在原因是由于外界对系统的激励或者作用。（2分）2、从能量、运动、共振等角度简述阻尼对单自由度系统振动的影响。（12 分）答：从能量角度看，阻尼消耗系统的能力，使得单自由度系统的总机械能越来越小；（2 分）从运动角度看，当阻尼比大于等于1 时，系统不会产生振动，其中阻尼比为1 的时候振 幅衰减最快（ 4分）；当阻尼比小于1时，阻尼使得单自由度系统的振幅越来越小，固有频 率降低，阻尼固有频率=w fl-g 2 ；（2分）dn共振的角度看，随着系统能力的增加、增幅和速度增加，阻尼消耗的能量也增加，当阻 尼消耗能力与系统输入能量平衡时，系统的振幅不会再增加，因此在有阻尼系统的振幅并 不会无限增加。（4 分）3、简述无阻尼多自由度系统振型的正交性。（7 分） 答：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量和刚度矩阵为权正交。其数学表达为：u tMu = 0如果当心S时，r丰s ,则必然有lUsTKur = 0。4、用数学变换方法求解振动问题的方法包括哪几种？有什么区别？（7 分）答：有傅里叶变换方法和拉普拉斯变换方法两种。（3 分） 前者要求系统初始时刻是静止的，即初始条件为零；后者则可以计入初始条件。（4 分）5、简述刚度矩阵K中元素kjj的意义。（7 分）答：如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移 保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第个自由度上施 加的外力就是kij。三、计算题（45分）3.1、（12分）如图1所示的扭转系统。系统由转动惯量I、扭转刚度由、K2、K3组成。1）求串联刚度与K2的总刚度（3分）2）求扭转系统的总刚度（3 分）3）求扭转系统的固有频率（6 分）。/UZ1W/3.2、（14分）如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下 端挂有重量为P的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R与 a 均已知。1）写出系统的动能函数和势能函数；（5 分）2）求系统的运动方程；（4 分）2）求出系统的固有频率。（5 分）3.3、（19分）图2所示为3自由度无阻尼振动系统，k I = I /5 = I = I。1 2 31）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程；2）求出固有频率；3）求系统的振型，并做图。k =4k =3k =2k =1t3.1 解：1）串联刚度K与K2的总刚度:K12KK1_2K + K122) 系统总刚度：KKI 2 K + K123) 系统固有频率：iK7KKIK + KI2(也可用能量法，求得系统运动方程，即可得其固有频率)3.2解：取轮的转角e为坐标，顺时针为正，系统平衡时P二0，则当轮子有转角时，系统有:E = -1P2 + 1 P&R )2 =-( + R 2)匪T 2t 22 It3I0&+k (0-0 )+k 022 g2 gU = 1 k Pa )22由d(ET + U)= 0 可知：Q + PR 2)(&2 + ka20 = 0Tg即：(rad/s)，故+ R 2n I & + k (0 -0 ) + k (0 -0 ) = 0230I100I00I0I20=I04000I300IM所以：t 4 33.3解：1)以静平衡位置为原点，设I, I , I的位移0 ,0 ,0为广义坐标，画出I, I , I隔I 23I 23I 23离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：I徽 + k 0 + k (0-0 ) = 0I ItI It 2 I 2k =k + k-k0 一2-I0 _tIt 2t2-kk + k-k=k-I2-I12t2t3130-kk + k0-I21t3t3t410 1系统运动微分方程可写为：mUI+k”,=0(a)OH(q)a运LTC27r2IIaT CCD7 ro,COZCOJ Z I ZJcotCOJZ ZCOJ T Z I ZJ U Z ee 4ee 4z0( 4+ OT + ze(d+ OT+ze(d+ 0TH e T Z zmjz z i E Z - -J Z zeyT + z(e yT+z(e yf + zeyTHa抑仪旺体OHOH7、 寸，&1()14Z4+!40寸 二 启二三 n吟I-二程I二运0寸)奋二”祭)孑(0二S- 10垮+IIJ 4Z应丘(q )星(。)壇T$ E+0 - $ _古*3启十(7雪-10H(z+z3IOQs(M3yz)H(z3)A 二mlu : u : u 沁 1:0:1 ;12 22 32u : u : u 沁 1: 0.28:1 ；13 23 33或 oru : u11 21:u . 1: :1)31系统的三阶振型如图：