竞赛课件7曲线运动曲直谈

一、曲线运动的发生条件一、曲线运动的发生条件F合外力方向与速度方向不在一直线合外力方向与速度方向不在一直线二、曲线运动的特点二、曲线运动的特点速度方向一定变化速度方向一定变化切向力改变速度大小切向力改变速度大小法向力改变速度方向法向力改变速度方向vFnFt三、求解曲线运动问题的运动学基本方法三、求解曲线运动问题的运动学基本方法矢量的合成与分解矢量的合成与分解微元法微元法 曲线运动的加速度曲线运动的加速度质点的瞬时加速度定义为质点的瞬时加速度定义为 0limtvat AvAvBv nv tv 0limnntvat 0limtttvat 为求一般的做曲线运动质点在任一为求一般的做曲线运动质点在任一点的瞬时加速度，通常将其分解为点的瞬时加速度，通常将其分解为法向加速度法向加速度an与切向加速度与切向加速度atOA点曲率圆点曲率圆 nAvvAB nAvvABtt 0limAnta 0limAtvABt 2nva A点曲率圆半径点曲率圆半径0limtttvat aB 在离水面高度为在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳的速率恒为的速率恒为v0，试求船在离岸边，试求船在离岸边s距离处时的速度与加速度的大小各为多少？距离处时的速度与加速度的大小各为多少？依据实际运动效果分解船的运动：依据实际运动效果分解船的运动：v0Avvnhs vt船及与船相系的绳端船及与船相系的绳端A的实际运动的实际运动是水平向左的，这可看作是绳之是水平向左的，这可看作是绳之A端一方面沿绳方向向端一方面沿绳方向向“前方前方”滑滑轮处轮处“收短收短”，同时以滑轮为圆，同时以滑轮为圆心转动而成，即将实际速度心转动而成，即将实际速度v分解分解成沿绳方向成沿绳方向“收短收短”的分速度的分速度vn和和垂直于绳方向的转动分速度垂直于绳方向的转动分速度vt;注意到绳子是不可伸长的，人收绳的速注意到绳子是不可伸长的，人收绳的速率率v0也就是绳端也就是绳端A点沿绳方向移动速率点沿绳方向移动速率vn:由图示由图示v、vt、vn矢量关系及位置的几何关系易得：矢量关系及位置的几何关系易得：0nvv 00cotthvvvs 0sinvv 则则220hsvs 求船的速度求船的速度续解续解 求船的加速度求船的加速度在一小段时间在一小段时间t内内,船头位置船头位置从从A移移A，绳绕滑轮转过一小，绳绕滑轮转过一小角度角度0:Avv0 vtA v v0tv 0sinvv 读题读题 011sinsinvv 由加速度定义得：由加速度定义得：0limtvat 0costancosthhtvv 由几何关系得：由几何关系得：cosh 00011sinsinlimtancosvahv 则则 200sinsincoslimtansinsinvh 200cossincos22limtansinsin2vh 230cotvh 2203v hs 320vhhs 质点沿圆周做速度大小、方向均变化质点沿圆周做速度大小、方向均变化的运动每个瞬时的加速度均可分解为的运动每个瞬时的加速度均可分解为切向加速度切向加速度at与法向加速度与法向加速度an，前者反映，前者反映质点速率变化快慢，后者反映质点速度质点速率变化快慢，后者反映质点速度方向变化快慢方向变化快慢 如图所示，质点从如图所示，质点从O点由静止开始沿半径为点由静止开始沿半径为R的圆周做速率的圆周做速率均匀增大的运动，到达均匀增大的运动，到达A点时质点的加速度与速度方向夹角为点时质点的加速度与速度方向夹角为，质点通过的弧，质点通过的弧s所对的圆心角为所对的圆心角为，试确定，试确定与与间的关系间的关系vAaAOs atan由题给条件由题给条件2 2tna taR 则则222,AntaasvRt 而而 22,Atva tsR 2nttaa taR 222stt R 2 tanntaa 又又tan2 如图所示，质点沿一圆周运动，过如图所示，质点沿一圆周运动，过M点时速度大小为点时速度大小为v，作加速度矢量与圆相交成弦，作加速度矢量与圆相交成弦MA=l，试求此加速度的大小，试求此加速度的大小 将将M点加速度沿切向与法向进行分解点加速度沿切向与法向进行分解!vaMAlOatan法向加速度法向加速度2sinnvaaR 22avl sin=2而而lR 2sinvaR 如图所示，曲柄如图所示，曲柄OA长长40 cm,以等角速度以等角速度=0.5rad/s绕绕O轴反时针方向转动由于曲柄的轴反时针方向转动由于曲柄的A端推动水平板端推动水平板B而使滑杆而使滑杆C沿竖直沿竖直方向上升，求当曲柄与水平线夹角方向上升，求当曲柄与水平线夹角=30时，滑杆时，滑杆C的加速度的加速度 杆杆A与与B板接触点有相同沿竖直方向的加速度板接触点有相同沿竖直方向的加速度!杆上杆上A点加速度点加速度2Aal OABCaAaAyaC20.05m/sBa 21sin2AyAaal 此即滑杆此即滑杆C的加速度的加速度CAyaa 代入数据得滑杆代入数据得滑杆C的加速度的加速度 有一只狐狸以不变的速度有一只狐狸以不变的速度v1沿着直线沿着直线AB逃跑，一猎逃跑，一猎犬以不变的速率犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸某时刻狐狸在追击，其运动方向始终对准狐狸某时刻狐狸在F处，猎犬在处，猎犬在D处，处，FDAB，且，且FDL，如图试求此时猎犬的加速，如图试求此时猎犬的加速度的大小度的大小 设设t时间内，时间内，v2方向变化方向变化,0时时:FLABDA B v1v2v2v v21vt v21tanvtL 由加速度定义，猎犬由加速度定义，猎犬 加速度加速度 0limtvat 20limtvt 1 2av vL 赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶，在赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶，在0.1 s内内速度由速度由10.0ms加大到加大到10.5 ms，那么该赛车在半径为，那么该赛车在半径为30 m的环形公路段行驶中，的环形公路段行驶中，要达到同样大的速度需要多少时间？当环形公路段的半径为多少时，赛车的速度要达到同样大的速度需要多少时间？当环形公路段的半径为多少时，赛车的速度就不可能增大到超过就不可能增大到超过10 m/s？（公路的路面是水平的）？（公路的路面是水平的）直线加速时车的加速度直线加速时车的加速度:20005m/stvvat 在环形公路上，法向加速度在环形公路上，法向加速度 2tnvaR 0ttvvat 切向加速度切向加速度 2220ntaaa 代入数据代入数据4210.50.2525900t 0.15t 200mvaR 当轨道半径令法向加速度大小等于当轨道半径令法向加速度大小等于a0:无切向加速度，赛车速率不会增加无切向加速度，赛车速率不会增加 m20mR 质点沿半径为质点沿半径为R的圆周运动，初速度的大小为的圆周运动，初速度的大小为v0在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间时间T质点的速度质点的速度v 设速率从设速率从v0增加增加,取运动过程中第取运动过程中第i个极短时间个极短时间t，由题意有，由题意有本题用微元法本题用微元法210limiiiitivvvtR 1201limliminiiitniivvTtRv 则则1111limnniiiRvv 01121111111nRvvvvvv 111limniiniiivvRv v 011Rvv 00RvRvv T 若速率从若速率从v0减小减小,有有00RvRvv T y 质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起转动两者之合运动转动两者之合运动 如图所示，圆盘半径为如图所示，圆盘半径为R，以角速度，以角速度绕盘心绕盘心O转动，一质转动，一质点沿径向槽以恒定速度点沿径向槽以恒定速度u自盘心向外运动，试求质点的加速度自盘心向外运动，试求质点的加速度 AO本题讨论中介参考系以本题讨论中介参考系以匀速转动时，质点加速度的构成匀速转动时，质点加速度的构成 u 设某一瞬时质点沿槽运动到与设某一瞬时质点沿槽运动到与O相距相距r的位置的位置AyBxOAurB u rut t 经经t时间，质点沿槽运动到与盘心时间，质点沿槽运动到与盘心O相距相距r+ut 的的位置位置B，盘转过了角度，盘转过了角度t，故质点实际应在位置，故质点实际应在位置B 在在t时间内，质点沿时间内，质点沿y方向速度增量为方向速度增量为 cossinyvutru ttu 在在t时间内，质点沿时间内，质点沿x方向速度增量为方向速度增量为 sincosxvutru ttr 注意到注意到t0时时 cos1t sintt 20t 续解续解0limyAytvat 读题读题 0limturu ttut 2r 0limxAxtvat 0limtru tutrt 2 u 224Arau 方向与方向与x成成1tan2ru 2r 2 u 牵连加速度牵连加速度Aa 相对中介参考系的加速度相对中介参考系的加速度 a相相对对牵连加速度牵连加速度 牵牵连连2ar 2au 科科yxOA 由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而产生的，方向指向产生的，方向指向u沿沿方向方向转过转过9090的方向的方向返回返回试手试手 如图所示如图所示,一等腰直角三角形一等腰直角三角形OAB在其自身平面内在其自身平面内以等角速度以等角速度绕顶点绕顶点O转动，某一点转动，某一点M以等相对速度沿以等相对速度沿AB边运动，当边运动，当三角形转了一周时，三角形转了一周时，M点走过了点走过了AB，如已知，如已知ABb，试求，试求M点在点在A时时的速度与加速度的速度与加速度 求质点的速度求质点的速度OABM引入引入中介参照系中介参照系-三角形三角形OAB质点对轴质点对轴O的速度（相对速度的速度（相对速度）三角形三角形A点对轴的速度（牵连速度）点对轴的速度（牵连速度）质点对轴质点对轴O的速度（绝对速度）的速度（绝对速度）vM2Avb 2MAbv vMAvA?MAMAvvv三速度关系为三速度关系为vM22222222cos4524Mbbvbb 45 28412b 方向与方向与AB夹角夹角12tan21 续解续解求质点的加速度求质点的加速度aaaaMMAA科科相对中介参考系的加速度相对中介参考系的加速度 0MAa 牵连加速度牵连加速度22ba 科科22Aab OABMaAa科科aM 222222222cos4522Mbbabb 22221b 方向与方向与AO夹角夹角11tan21 规律规律 曲线运动轨迹的曲率曲线运动轨迹的曲率曲线的弯曲程度用曲率描述曲线的弯曲程度用曲率描述 曲线上某点的曲率定义为曲线上某点的曲率定义为s 0limtKs 圆周上各点曲率相同圆周上各点曲率相同:R 1KRR 曲线上各点对应的半径为该点曲线上各点对应的半径为该点曲率倒数曲率倒数1/1/K K的圆称为曲率圆的圆称为曲率圆,该该圆圆心称曲线该点的曲率中心圆圆心称曲线该点的曲率中心!M1 用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径,已知长半轴与短半轴为已知长半轴与短半轴为a和和b.设质点在设质点在M平面内沿椭圆轨道以速率平面内沿椭圆轨道以速率v运动，这个运动在运动，这个运动在M1平面的一个分运动轨道恰成半径为平面的一个分运动轨道恰成半径为b的圆，则两平面间的圆，则两平面间夹角夹角1cosba 对椭圆长轴端的对椭圆长轴端的A点点:A1aA12AAva 对对A点投影点投影A1点点:21Avab 1cosAAAbaaaa 又又2Aba 椭圆短轴端椭圆短轴端B点的曲率半径由点的曲率半径由B1vvMAaABvaBaB 22cosBBvvab 2Bab 用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径.yxOp2p22ypx 设质点以速度设质点以速度v0做平抛运动做平抛运动平抛规平抛规律律0212xv tygt 在在中中消去消去t得得2202vshg shO22yp x v0v2hvgh Pg 对轨迹上的对轨迹上的P点点:2cosvg 式中式中2202vvgh 020cos2vvgh 2200022vghvggvh 2200,2vvgg 322002vghgv 32202021ghvvg 3221xppg 2 2Pp 抛物线上抛物线上x=p/2点点P试手试手 旋转半径为旋转半径为r、螺距为、螺距为h的等距螺旋线，曲率半径处的等距螺旋线，曲率半径处处相同试用运动学方法求解曲率半径处相同试用运动学方法求解曲率半径值值 设物体以设物体以v0做匀速率的圆周运动、同时做匀速率的圆周运动、同时以以vh沿垂直于沿垂直于v0方向做匀速直线运动，每方向做匀速直线运动，每前进一个螺距，完成一次圆周，即有前进一个螺距，完成一次圆周，即有 02hrhvv 设螺旋线上任一点的曲率半径为设螺旋线上任一点的曲率半径为则则20nvar 22020hvvrv 22214hrr 0vhv220hvv hr受恒力作用受恒力作用力与初速度垂直力与初速度垂直轨迹为半支抛物线轨迹为半支抛物线匀变速曲线运动匀变速曲线运动vx物体在时刻物体在时刻t的位置的位置 20222100121,tan22ssv thgtgtxv tgtsv 方方向向与与 成成shs 物体在时刻物体在时刻t的速度的速度 0221000,tanshvvvvgtgtvvgtvv 方方向向与与成成0vhv0vv 水平方向匀速运动与竖直水平方向匀速运动与竖直方向自由落体运动的合成方向自由落体运动的合成返回返回0sin2cosvtg 220sin2cosHvg 平抛初速大小不同平抛初速大小不同,落在斜面上时速度方向相同落在斜面上时速度方向相同!H xyv0g02tanvg 空中飞行时间空中飞行时间距斜面最大高度距斜面最大高度沿斜面方向的匀加速运动与垂沿斜面方向的匀加速运动与垂直斜面方向的上抛运动之合成直斜面方向的上抛运动之合成!如图所示，小冰球从高为如图所示，小冰球从高为H的光滑坡顶由静止开始的光滑坡顶由静止开始下滑，这个坡的末端形如水平跳板当跳板高下滑，这个坡的末端形如水平跳板当跳板高h为何值时，冰球飞过为何值时，冰球飞过的距离的距离s最远？它等于多少？最远？它等于多少？HhAB 222.hSg HhHh hg 物体从坡末端物体从坡末端B水平飞出后做平抛运动水平飞出后做平抛运动:由基本不等式性质由基本不等式性质,2HhhHh 当当时时maxSH 两个质点以加速度两个质点以加速度g在均匀重力场中运动开始时在均匀重力场中运动开始时两个质点位于同一点，且其中一个质点具有水平速度两个质点位于同一点，且其中一个质点具有水平速度v13.0 ms；另一个质点水平速度另一个质点水平速度v24.0 ms，方向与前者相反求当两个质点，方向与前者相反求当两个质点的速度矢量相互垂直时，它们之间的距离的速度矢量相互垂直时，它们之间的距离 当两质点速度互相垂直时，当两质点速度互相垂直时，速度矢量关系如图示速度矢量关系如图示:v1vyv1tv2tv2vy 122tancottan3vv 由矢量图得由矢量图得1tan2 3yvv 而而m m/s s1ta0.3n2vtg s s 12Svvt则则m7 35 如图，一仓库高如图，一仓库高25 m，宽，宽40 m今在仓库前今在仓库前l m、高高5 m的的A处抛一石块，使石块抛过屋顶，问距离处抛一石块，使石块抛过屋顶，问距离l为多大时，初速度为多大时，初速度v0之值最小？（之值最小？（g取取10 m/s2）hSv0lvB A HB45 过过B点时速度方向与水点时速度方向与水平成平成45时，可以最时，可以最小的小的vB越过越过40m仓库顶仓库顶!2sin45cos45BBvSvg 由由BvgS 220sinsin452Bvvg Hh 从从A到到B竖直方向分运动有竖直方向分运动有0sinsin45cos45BBvvlvg 从从A到到B水平方向分运动有水平方向分运动有 203 1l m m14.6 m mx岸岸 木排停泊在河上，到岸的距离木排停泊在河上，到岸的距离L60 m流水速度流水速度同离岸的距离成比例地增大，在岸边同离岸的距离成比例地增大，在岸边u0=0，而在木排边流速，而在木排边流速uL=2 m/s小汽船离开岸驶向木排船对水的速度小汽船离开岸驶向木排船对水的速度v=7.2 km/h问驾驶员问驾驶员在起航前应该使船指向何方，使以后无须校正船速就能靠上与起航在起航前应该使船指向何方，使以后无须校正船速就能靠上与起航处正对面的木排？这时船航行多少时间？处正对面的木排？这时船航行多少时间？V0=v 流水速度为流水速度为ukx 船的合速度为船的合速度为LV Vu uv v在岸边船的合速度大小在岸边船的合速度大小 V0=v方向如示方向如示!122Lvuk 中中m m/s s=2LukL m m/s s中间时刻船合速度沿中间时刻船合速度沿x方向方向,航线如航线如 示示30 vu中中VVvuLcosLtv 通过通过L的时间的时间30 602cos30 20 3 s s 如图所示，一个完全弹性小球自由下落，经如图所示，一个完全弹性小球自由下落，经5m碰碰到斜面上的到斜面上的A点同时斜面正以点同时斜面正以V10ms在水平面上做匀速运动，在水平面上做匀速运动，斜面与水平面的倾角为斜面与水平面的倾角为45问在离问在离A点多远处，小球将与斜面发生点多远处，小球将与斜面发生第二次碰撞？第二次碰撞？球以球以v=10 m/s入射，与斜面的入射，与斜面的接近速度接近速度 vAVv 球球2v 球球=1 10 0m m/s s球与斜面的球与斜面的分离速度分离速度 v 球球2v 球球=1 10 0m m/s s球从与斜面分离到再次碰撞历时球从与斜面分离到再次碰撞历时g45 20 22cos4545 2vtg 球球=s ss s注意到球沿斜面体方向初速度为零，加速度注意到球沿斜面体方向初速度为零，加速度gsin45 21sin452AAgt 球再与斜面碰撞处距球再与斜面碰撞处距A A40 2 m m 如图所示，一人站在一平滑的山坡上，山坡与水平面成角度如图所示，一人站在一平滑的山坡上，山坡与水平面成角度他与水平成他与水平成仰角扔出的石子落在斜坡上距离为仰角扔出的石子落在斜坡上距离为L，求其抛出时初速度，求其抛出时初速度v0及以此及以此大小初速度抛出的石子在斜坡上可以达到的最大距离大小初速度抛出的石子在斜坡上可以达到的最大距离 xyv0g L石子沿山坡方向做匀加速运动石子沿山坡方向做匀加速运动 201cossin2Lvtgt 石子沿垂直山坡方向做匀加速运动石子沿垂直山坡方向做匀加速运动 0sin2cosvtg 0cos2cos sinvgL 得得设抛出石子的仰角为设抛出石子的仰角为 2022cossincosvLg 202sin 2sincosvg 2022cossincosvLg 22 当当 2max021sincosvLg 小球以恒定速度小球以恒定速度v沿水平面运动，在沿水平面运动，在A点坠落于半径为点坠落于半径为r和深为和深为的竖直圆柱形井中小球速度的竖直圆柱形井中小球速度v与过与过点井的直径成点井的直径成，俯视如图问，俯视如图问v、H、r、之间关系如何，才能使小球与井壁和井底弹性碰撞后，能够从井里之间关系如何，才能使小球与井壁和井底弹性碰撞后，能够从井里“跳出来跳出来”（不计摩擦）（不计摩擦）vAr 小球运动轨迹的俯视图如示小球运动轨迹的俯视图如示 小球两次与壁相碰点间水平射程为小球两次与壁相碰点间水平射程为 2 cosr 12 cosrtv 历时历时 从进入至与底碰撞历时从进入至与底碰撞历时 22Htg 为使小球与井壁和井底弹性碰撞后，能够从井里为使小球与井壁和井底弹性碰撞后，能够从井里“跳出来跳出来”122ntkt cos2rHnkvg 即即(n、k均为正整数均为正整数)小球在竖直方向做自由下小球在竖直方向做自由下落或碰底上抛至速度为零落或碰底上抛至速度为零小球在水平方向以小球在水平方向以v匀速运动匀速运动,碰壁碰壁“反射反射”如图，一位网球运动员用拍朝水平方向击球，第一只球落在如图，一位网球运动员用拍朝水平方向击球，第一只球落在自己一方场地上后弹跳起来刚好擦网而过，落在对方场地自己一方场地上后弹跳起来刚好擦网而过，落在对方场地处第二只球直接擦处第二只球直接擦网而过，也落在网而过，也落在处球与地面的碰撞是完全弹性的，且空气阻力不计，试求运处球与地面的碰撞是完全弹性的，且空气阻力不计，试求运动员击球高度为网高的多少倍？动员击球高度为网高的多少倍？BACOH设设C点高度为点高度为h，由题意球，由题意球1运动时间为运动时间为123Htg 由题意球由题意球2运动时间为运动时间为22Htg 水平射程相同水平射程相同1221223vtvvvt x 212222HhHhHvvgggx 2 HhH 34hH 初速度为初速度为v0 的炮弹向空中射击，不考虑空气的炮弹向空中射击，不考虑空气阻力，试求出空间安全区域的边界的方程阻力，试求出空间安全区域的边界的方程 这个问题可抽象为一个求射出炮弹在空中可能轨这个问题可抽象为一个求射出炮弹在空中可能轨迹的包络线方程问题，包络线以外即为安全区域迹的包络线方程问题，包络线以外即为安全区域 如图，在空间三维坐标中，设初速度方向与如图，在空间三维坐标中，设初速度方向与xy平面平面成成 角，由抛体运动规律可建立时间角，由抛体运动规律可建立时间t的三个参数方程的三个参数方程 xzyOv0vxvyvz xxv t 201sin2zvtgt yyv t 22220cosxyvt 且且22222201tan2cosxyzxygv 2222222220011tantan22xyxyxyggvv 续解续解这是发射角这是发射角各不相同的炮弹的空间轨迹方程各不相同的炮弹的空间轨迹方程 22222222200tantan022g xyg xyxyzvv 即即此方程式有解时，必满足此方程式有解时，必满足 22222222004022g xyg xyxyzvv 242200220vvxyzgg 包络线方程为包络线方程为 2222002102g xygzvv 这里我们运用了曲线簇的包络线的数学模这里我们运用了曲线簇的包络线的数学模型处理了一个有实际应用背景的物理问题型处理了一个有实际应用背景的物理问题 整理该包络线方程为所求安全区域的边界方程整理该包络线方程为所求安全区域的边界方程 读题读题 机车以等速率机车以等速率v0沿直线轨道行驶机车车轮半径为沿直线轨道行驶机车车轮半径为r如车轮如车轮只滚动不滑动，将轮缘上的点只滚动不滑动，将轮缘上的点M在轨道上的起点位置取为坐标原点，并将轨道取在轨道上的起点位置取为坐标原点，并将轨道取为为x轴，如图所示，求轴，如图所示，求M点的运动轨迹方程以及轨迹的曲率半径，并求当点的运动轨迹方程以及轨迹的曲率半径，并求当M点所在点所在的车轮直径在水平位置时，该点的速度与加速度的车轮直径在水平位置时，该点的速度与加速度 yxOMAMM点的两个分运动点的两个分运动与轮心相同的匀速运动与轮心相同的匀速运动对轮心的匀速圆周运动对轮心的匀速圆周运动Oyx2r0v T0vtr00sinvxv trtr 0cosvyrrtr0v t 2220rv txry 2221cosr yrrxr yr 00sinvrtv txr0cosvrtryr续解续解MM点的轨迹方程为点的轨迹方程为求轨迹方程：求轨迹方程：M 读题读题MM点速度矢量与加速度矢量关系如示点速度矢量与加速度矢量关系如示 求轨迹的曲率半径求轨迹的曲率半径：vMaMatv0v0 2v M点加速度即点加速度即20Mvar 法向分量法向分量2Mnva 20sin2vr 02sin2Mvv 而而20202sin2sin2vvr 4 sin2r 续解续解M90 求求当当MM点所在的车轮直径在水平位置时，点所在的车轮直径在水平位置时，该点的速度与加速度：该点的速度与加速度：vMaMatv0v02v 0sin 45Mvv 02v 方向与方向与x轴成轴成4545 20avr 方向方向+x