小学奥数举一反三三年级

按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：自然数列：1 1，2 2，3 3，4 4，双数列：双数列：2 2，4 4，6 6，8 8，我们研究数列，目的就是为了发现数列中数我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。的关键。【例题【例题1】在括号内填上合适的数。在括号内填上合适的数。（1 1）3 3，6 6，9 9，1212，（，（），（），（）（2 2）1 1，2 2，4 4，7 7，1111，（，（），（），（）（3 3）2 2，6 6，1818，5454，（，（），（），（）【思路导航】【思路导航】在（在（1 1）列数中，相邻的两个数的差都是）列数中，相邻的两个数的差都是3 3，即每一个数加，即每一个数加上上3 3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：12+3=1512+3=15、15+3=1815+3=18。在（在（2 2）列数中，第）列数中，第2 2个数比第个数比第1 1个数增加个数增加1 1，第，第3 3个数比第个数比第2 2个数增加个数增加2 2，第，第4 4个数比第个数比第3 3个数增加个数增加33故空格里面的两个数故空格里面的两个数分别为：分别为：11+5=1611+5=16，16+6=2216+6=22。在（在（3 3）列数中，相邻的两个数的积都是）列数中，相邻的两个数的积都是3 3，即每一个数乘，即每一个数乘以以3 3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：54543=1623=162、1621623=4863=486。【练习【练习1】在括号内填上合适的数。在括号内填上合适的数。（1 1）2 2，4 4，6 6，8 8，1010，（，（），（），（）（2 2）1 1，2 2，5 5，1010，1717，（，（），（），（）（3 3）2 2，8 8，3232，128128，（，（），（），（）（4 4）1 1，5 5，2525，125125，（，（），（），（）【例题【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。先找出规律，再在括号里填上合适的数。（1 1）1515，2 2，1212，2 2，9 9，2 2，（，（），（），（）（2 2）2121，4 4，1818，5 5，1515，6 6，（，（），（），（）【思路导航】【思路导航】在（在（1 1）列数中，通过观察可以发现这是分为单数和双数）列数中，通过观察可以发现这是分为单数和双数两个不同的数列。其中双数列都为两个不同的数列。其中双数列都为2 2，而单数列是前数比后数，而单数列是前数比后数大大3 3，根据这一规律，括号里应填的数为：，根据这一规律，括号里应填的数为：9-3=69-3=6、2 2。在（在（2 2）列数中，通过观察可以发现这也是分为单数和双）列数中，通过观察可以发现这也是分为单数和双数两个不同的数列。其中单数列是前数比后数大数两个不同的数列。其中单数列是前数比后数大3 3，双数列都，双数列都是后数比前数大是后数比前数大1 1，根据这一规律，括号里应填的数为：，根据这一规律，括号里应填的数为：15-15-3=123=12、6+1=76+1=7。【练习【练习2】按规律填数。按规律填数。（1）2，1，4，1，6，1，（，（），（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（，（），（），（）（3）18，3，15，4，12，5，（，（），（），（）（4）1，15，3，13，5，11，（，（），（），（）（5）12，1，10，1，8，1，（，（），（），（）【例题【例题3】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。1、2、510914712111691413？9437148428164【思路导航】【思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：经仔细观察、分析表格中的数可以发现：1 1、每一列下面的数与上面的数的差均为、每一列下面的数与上面的数的差均为4 4，即，即9-5=49-5=4，14-14-10=410=4；11-7=411-7=4，16-12=416-12=4；13-9=413-9=4。依此规律，空格中应填的。依此规律，空格中应填的数为：数为：14+4=1814+4=18。2 2、左下角数与右上角数的商与上面数的乘积即为中间数。、左下角数与右上角数的商与上面数的乘积即为中间数。如如8 82 24=164=16；8 84 47=147=14。依此规律，空格中应填的数为：。依此规律，空格中应填的数为：4 43 39=129=12。【练习【练习3】找出排列规律，在空缺处填上适当的数。找出排列规律，在空缺处填上适当的数。1、2、4892768287375981210 1412 1614 把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的。是有余数除法计算中特别要注意的。解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。除数。在有余数的除法中，要记住：（在有余数的除法中，要记住：（1 1）余数必须小于除数；）余数必须小于除数；（2 2）被除数商）被除数商除数余数。除数余数。【例题【例题1】6 68 8 ，括号内被除数最大是几？最小，括号内被除数最大是几？最小是几？是几？【思路导航】【思路导航】已知商为已知商为8 8、除数为、除数为6 6，则余数最大为，则余数最大为5 5、最小为、最小为1 1，即可求，即可求出最大的被除数为出最大的被除数为6 68 85 55353，最小的被除数为，最小的被除数为6 68 81 14949答：被除数最大是答：被除数最大是5353，最小是，最小是4949。【练习【练习1】(1)(1)下面题中被除数最大可填下面题中被除数最大可填_，最小可填，最小可填_。8 83 3 (2)(2)下面题中被除数最大可填下面题中被除数最大可填_，最小可填，最小可填_。4 47 7 (3)(3)下题中要使除数最小，被除数应为下题中要使除数最小，被除数应为_。124 124【例题【例题2】算式算式 8 中，被除数最小是几？中，被除数最小是几？【思路导航】【思路导航】题中只告诉我们商是题中只告诉我们商是8 8，要使被除数最小，那么只要除数和，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。除数最小为余数小就行。除数最小为2 2，余数最小为，余数最小为1 1，那么被除数则为，那么被除数则为8 82 21 11717。【练习【练习2】(1)(1)下面算式中，被除数最小是几？下面算式中，被除数最小是几？44 77 99 (2)(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？33 66 【例题【例题3】算式算式28 4中，除数和商分别是中，除数和商分别是_和和_。【思路导航】【思路导航】根据根据“被除数商被除数商除数余数除数余数”，可以得知，可以得知“商商除数除数被除数余数被除数余数”，所以本题中商，所以本题中商除数除数28284 42424。这两。这两个数可能是个数可能是1 1和和2424，2 2和和1212，3 3和和8 8，4 4和和6 6，又因为余数为，又因为余数为4 4，则，则除数不得小于除数不得小于4 4，因此除数可以是，因此除数可以是2424，1212，8 8，6,6,商分别为商分别为1 1，2 2，3 3，4 4。答：除数和商分别是答：除数和商分别是2424，1 1；1212，2 2；8 8，3 3；6 6，4 4。【练习【练习3】（1 1）下面算式中，除数和商各是几？）下面算式中，除数和商各是几？2222 4 4 6565 22 3737 77 4848 66 （2 2）149149除以一个两位数，余数是除以一个两位数，余数是5,5,请写出所有这样的两请写出所有这样的两位数。位数。【例题【例题4】算式算式 7 7 中，商和余数相等，被中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？除数可以是哪些数？【思路导航】【思路导航】题目中告诉我们除数是题目中告诉我们除数是7 7，商和余数相等，因为余数必须，商和余数相等，因为余数必须比除数小，所以余数和商可为比除数小，所以余数和商可为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6。这样被除数。这样被除数就可以求出来了。就可以求出来了。7 71 11 18 78 72 22 216 716 73 33 32424 7 74 44 432 732 75 55 540 740 76 66 64848 答：被除数可以是答：被除数可以是8 8，1616，2424，3232，4040，4848。【练习【练习4】(1)(1)下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？6 6 5 5 4 4 (2)(2)算式算式 9 9 中，商和余数相等，中，商和余数相等，被除数最大是被除数最大是_。(3)(3)算式算式 44中，除数和商相等，中，除数和商相等，被除数最小是几？被除数最小是几？被人称为被人称为“数学王子数学王子”的高斯在年仅的高斯在年仅8 8岁时，就以一种非岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+99+1001+2+3+4+99+100的结果。的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。方法：先配对再求和。数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。数则称为这个数列的公差。计算等差数列的和，可以用以下关系式：计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和（首项末项）等差数列的和（首项末项）项数项数2 2 末项首项公差末项首项公差（项数（项数1 1）项数（末项首项）项数（末项首项）公差公差1 1【例题【例题1】你有好办法算一算吗？你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（）（）【思路导航】【思路导航】很容易看出这是一个等差数列，公差为很容易看出这是一个等差数列，公差为1 1，首项是，首项是1 1，末项，末项是是1010。依据前面的公式：。依据前面的公式：项数（末项首项）公差项数（末项首项）公差1 1 （10101 1）1 11 11010 等差数列的和（首项末项）项数等差数列的和（首项末项）项数2 2 （1+101+10）10 10 2 2 5555 答：答：1+2+3+4+5+6+7+8+9+101+2+3+4+5+6+7+8+9+10（5555）【练习【练习1】速算。速算。（1 1）1+2+3+4+5+20 1+2+3+4+5+20 （2 2）1+2+3+4+99+1001+2+3+4+99+100 （3 3）21+22+23+24+10021+22+23+24+100 （4 4）21+23+25+27+29+31+3321+23+25+27+29+31+33 （5 5）312+315+318+321+324 312+315+318+321+324【例题【例题2】有一堆木材叠堆在一起，一共是有一堆木材叠堆在一起，一共是1010层，第层，第1 1层有层有1616根，第根，第2 2层有层有1717根，根，下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？根？【思路导航】【思路导航】这也是一个等差数列，公差为这也是一个等差数列，公差为1 1，首项是，首项是1616，项数是，项数是1010。依据前面的公式：依据前面的公式：项数项数（末项首项）（末项首项）公差公差1 1 末项（项数末项（项数1 1）公差首项公差首项 末项（末项（10 10 1 1）1 1 16162525 等差数列的和等差数列的和（首项末项）（首项末项）项数项数2 2 （1616 2525）10 10 2 2 205205 答：这堆木材共有答：这堆木材共有205205根。根。【练习【练习2】（1 1）体育馆的东区共有）体育馆的东区共有3030排座位，呈梯形，第排座位，呈梯形，第1 1排有排有1010个个座位，第座位，第2 2排有排有1111个座位，个座位，这个体育馆东区共有多少个这个体育馆东区共有多少个座位？座位？（2 2）有一串数，第）有一串数，第1 1个数是个数是1010，以后每个数比前一个数大，以后每个数比前一个数大4,4,最后一个数是最后一个数是9090，这串数连加的和是多少？，这串数连加的和是多少？（3 3）有一个钟，一点钟敲）有一个钟，一点钟敲1 1下，两点钟敲下，两点钟敲2 2下，下，十二点十二点钟敲钟敲1212下，分钟指向下，分钟指向6 6敲敲1 1下，这个钟一昼夜敲多少下？下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题【例题3】计算计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-8183-18-82-19-81【思路导航】【思路导航】这题相对较复杂些。仔细观察，上列可以变成如下：这题相对较复杂些。仔细观察，上列可以变成如下：1000 1000 （11 11 1212 13 141515 1616 1717 1818 19 818282 83 84 85 86 87 88）括号里有两个等差数列。一个数列的首项是括号里有两个等差数列。一个数列的首项是1111，末项是，末项是1919；另一数列的首项是另一数列的首项是8181，末项是，末项是8888，公差均为，公差均为1 1。项数分别为。项数分别为9 9，8 8。依据前面的公式：等差数列的和。依据前面的公式：等差数列的和（首项末项）（首项末项）项数项数2 2 两列数的和分别为：（两列数的和分别为：（1111 1919）9 9 2 2 135135 （8181 8888）8 8 2 2 676676 则则1000 1000（135 135 676676）189189 【练习【练习3】（1 1）1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-11000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1 （2 2）1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-1917-88-18-89-19 （3 3）2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+162001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16 在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算的方法。加减法的巧算主要是算法则外，还需要掌握一些巧算的方法。加减法的巧算主要是运用运用“凑整凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。近的数进行简算。进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千千相差的数，要根据相差的数，要根据“多加要减去，少加要再加，多减要多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减加上，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加法交的原则进行处理。另外，可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。【例题】【例题】你有好办法迅速算出结果吗？你有好办法迅速算出结果吗？502+799-298-98502+799-298-98【思路导航】【思路导航】按照按照“凑整凑整”的方法，的方法，502+799-298-98502+799-298-98可变为：可变为：500+2+800-1-500+2+800-1-（300-2300-2）-（100-2100-2）=500+800-300-100+2-1+2+2=500+800-300-100+2-1+2+2 =900+6-1 =900+6-1 =905 =905【练习】【练习】（1 1）308+203-399-97 308+203-399-97 （2 2）99999+9999+999+99+999999+9999+999+99+9 （3 3）1999+199+19 1999+199+19 （4 4）375+483+525+617375+483+525+617 同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形地数出线段、角、三角形、长方形那就必须要有次序、有那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。【例题【例题1】数出下图中有多少条线段？数出下图中有多少条线段？_ D_ A_ B_ C【思路导航】【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A A点为左端点的线段有：点为左端点的线段有：ABAB、ACAC、AD 3AD 3条；以条；以B B点为左端点的线点为左端点的线段有：段有：BCBC、BD 2BD 2条；以条；以C C点为左端点的线段有：点为左端点的线段有：CD 1CD 1条。所以，条。所以，图中共有线段图中共有线段3+2+1=63+2+1=6（条）。（条）。方法二：把图中线段方法二：把图中线段 ABAB、BCBC、CDCD看做基本线段来数，那看做基本线段来数，那么，由么，由1 1条基本线段构成的线段有：条基本线段构成的线段有：ABAB、BCBC、CD 3CD 3条；由条；由2 2条基条基本线段构成的线段有本线段构成的线段有:AC:AC、BD 2BD 2条；由条；由3 3条基本线段构成的线段条基本线段构成的线段有：有：AD 1AD 1条。所以，图中一共有条。所以，图中一共有3+2+1=63+2+1=6（条）线段。（条）线段。【练习【练习1】（1 1）数出下图中有多少条线段？数出下图中有多少条线段？（2 2）数出下图中有几个长方形？数出下图中有几个长方形？_ E_ A_ B_ C_ D【例题【例题2】数出图中有几个角？数出图中有几个角？_ O_ D_ C_ B_ A【思路导航】【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。方法一：以方法一：以OAOA为一边的角有：为一边的角有：AOBAOB、AOCAOC、AOD 3AOD 3个；个；以以OBOB为一边的角还有：为一边的角还有：BOCBOC、BOD 2BOD 2个；以个；以OCOC为一边的角还为一边的角还有：有：COD 1COD 1个。所以，图中共有角个。所以，图中共有角3+2+1=63+2+1=6（个）。（个）。方法二：把图中方法二：把图中AOBAOB、BOCBOC、CODCOD看做基本角来数，看做基本角来数，那么，由那么，由1 1个基本角构成的角有：个基本角构成的角有：AOBAOB、BOCBOC、COD 3COD 3个；个；由由2 2个基本角构成的角有个基本角构成的角有:AOC:AOC、BOD 2BOD 2个；由个；由3 3个基本角构个基本角构成的角有：成的角有：AOD 1AOD 1个。所以，图中一共有个。所以，图中一共有3+2+1=63+2+1=6（个）角。（个）角。【练习【练习2】数出图中有几个角？数出图中有几个角？（1 1）（2 2）_ O_ C_ B_ A_ E_ D_ O_ C_ B_ A【例题【例题3】数出下图中有几个三角形？数出下图中有几个三角形？_ P_ D_ C_ B_ A【思路导航】【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PAPA为边的三为边的三角形有：角形有：PABPAB、PACPAC、PADPAD、3 3个；以个；以PBPB为边的三角形还有：为边的三角形还有：PBCPBC、PBD 2PBD 2个；以个；以PCPC为边的三角形还有：为边的三角形还有：PCD 1PCD 1个。所个。所以，图中共有三角形以，图中共有三角形3+2+1=63+2+1=6（个）。（个）。方法二：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出方法二：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段线段 ADAD中包含几条线段就可以了，即中包含几条线段就可以了，即3+2+1=63+2+1=6（个）。所以图（个）。所以图中共有中共有6 6个三角形。个三角形。【练习【练习3】数出图中共有多少个三角形？数出图中共有多少个三角形？（1 1）（2 2）_ F_ E_ D_ C_ B_ A_ K_ G_ I_ H_ G_ F_ E_ D_ C_ B_ A【例题【例题4】数出下图中有多少个长方形？数出下图中有多少个长方形？_ D_ C_ B_ A【思路导航】【思路导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段由长、宽两对线段围成，线段 CDCD上有上有3+2+1=63+2+1=6（条）线段，其（条）线段，其中每一条与中每一条与ACAC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有里共有6 61=61=6（个）长方形，而（个）长方形，而ACAC上共有上共有2+1=32+1=3（条）线段也（条）线段也就有就有6 63=183=18（个）长方形。（个）长方形。它的计算公式为：它的计算公式为：长方形的总数长方形的总数=长边线段的总数长边线段的总数宽边线段的总数宽边线段的总数 （3+2+13+2+1）（2+12+1）=18=18（个）（个）答：图中共有答：图中共有1818个长方形。个长方形。【练习【练习4】（1 1）数出下图中有多少个长方形？）数出下图中有多少个长方形？（2 2）数出右图中有多少个正方形？）数出右图中有多少个正方形？_ D_ C_ B_ A【例题【例题5】有有5 5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？【思路导航】【思路导航】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端点代表一个同学。图，每一个端点代表一个同学。从上图可以看出，第从上图可以看出，第1 1个同学要与其余个同学要与其余4 4个同学握手共握手个同学握手共握手4 4次；第次；第2 2个同学还要与其余个同学还要与其余3 3个同学握手共握手个同学握手共握手3 3次，第次，第3 3个同个同学要与其余学要与其余2 2个同学握手共握手个同学握手共握手2 2次；第次；第4 4个同学还要与最后个同学还要与最后1 1个个同学握手共握手同学握手共握手1 1次。次。所以，一共要握手所以，一共要握手4+3+2+1=104+3+2+1=10（次）（次）_ 5_ 4_ 3_ 2_ 1【练习【练习5】（1 1）银海学校三年级有）银海学校三年级有9 9个班，每两个班要比赛拔河一次，个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？这样一共要拔河几次？（2 2）有）有1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8等等8 8个数字，能组成多少个个数字，能组成多少个不同的两位数？不同的两位数？爸爸给晶晶出了一道题：爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们植树，先植一棵树，小朋友们植树，先植一棵树，以后每隔以后每隔3 3米植一棵，已经植了米植一棵，已经植了9 9棵，问第一棵和第九棵树相距棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？多少米？”晶晶随口答道：晶晶随口答道：“2727米。米。”同学们，晶晶答对了吗？同学们，晶晶答对了吗？这一类应用题我们通常称为这一类应用题我们通常称为“植树问题植树问题”。解答这类问题。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，棵数总距离棵数总距离间隔长间隔长1 1；在封闭的线路上植树，棵数总；在封闭的线路上植树，棵数总距离距离间隔长。间隔长。另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题答。比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的目中的条件和问题与植树问题中的“总距离总距离”、“间隔长间隔长”、“棵数棵数”对应起来。对应起来。【例题【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3 3米植米植一棵，已经植了一棵，已经植了9 9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？【思路导航】【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：根据根据“已经植了已经植了9 9棵棵”，从图中可以看出，第一棵树和第，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是九棵树之间的间隔是9-1=89-1=8（个），每个间隔是（个），每个间隔是3 3米，所以第一米，所以第一棵和第九棵相距棵和第九棵相距3 38=248=24（米），具体列式如下：（米），具体列式如下：3 3（9-19-1）=3=38=248=24（米）（米）答：第一棵和第九棵树相距答：第一棵和第九棵树相距2424米。米。_ 0_ 3?_ 6?_ 9?_ 12?_ 15?_ 18?_ 21?_ 24?_ 9?_ 8?_ 7?_ 6?_ 5?_ 4?_ 3?_ 2?_ 1?【练习【练习1】（1 1）在路的一侧插彩旗，每隔）在路的一侧插彩旗，每隔5 5米插一面，从起点到终点米插一面，从起点到终点共插了共插了2020面，这条道路有多长？面，这条道路有多长？（2 2）在学校的走廊两边，每隔）在学校的走廊两边，每隔4 4米放一盆菊花，从起点到米放一盆菊花，从起点到终点一共放了终点一共放了2020盆，这条走廊长多少米？盆，这条走廊长多少米？【例题【例题2】在一条长在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？的距离是多少米？【思路导航】【思路导航】根据根据“在路的两侧共栽了在路的两侧共栽了1414棵树棵树”这个条件，我们可以先这个条件，我们可以先求出每一侧栽了求出每一侧栽了14142=72=7（棵）树，那么从第（棵）树，那么从第1 1棵树到第棵树到第7 7棵树棵树之间的间隔是之间的间隔是7-1=67-1=6（个）。（个）。4242米长的大路平均分成米长的大路平均分成6 6段，每段段，每段是是42426=76=7（米）。（米）。列式如下：列式如下：4242（14142-12-1）=42=42（7-17-1）=42=426=76=7（米）（米）答：相邻两棵树之间的距离是答：相邻两棵树之间的距离是7 7米。米。【练习【练习2】在公园一条长在公园一条长3030米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了了1212把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？相距多少米？【例题【例题3】在一条长在一条长4242米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了1414棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？的距离是多少米？【思路导航】【思路导航】我们先求出钢管被锯开了我们先求出钢管被锯开了28284=74=7（处），因而被锯开的（处），因而被锯开的段数有段数有7+1=87+1=8（段）。（段）。列式如下：列式如下：28284+1=7+1=84+1=7+1=8（段）（段）答：这根钢管被锯成了答：这根钢管被锯成了8 8段。段。【练习【练习3】一根圆木锯成一根圆木锯成2 2米长的小段，一共花了米长的小段，一共花了1212分钟。已知每锯分钟。已知每锯下一段要下一段要3 3分钟，这根圆木长多少米？分钟，这根圆木长多少米？【例题【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4 4楼时，乙恰好跑到楼时，乙恰好跑到3 3楼，楼，照这样计算，甲跑到照这样计算，甲跑到1616楼时，乙跑到了多少楼？楼时，乙跑到了多少楼？【思路导航】【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算，因为第一层楼是不用爬的，数进行计算，因为第一层楼是不用爬的，“楼层数楼层数-1”-1”才是要才是要走的走的“楼梯段数楼梯段数”，根据题意，根据题意“甲跑到甲跑到4 4楼时，乙恰好跑到楼时，乙恰好跑到3 3楼楼”，实际上是说，实际上是说“甲跑甲跑3 3段楼梯与乙跑段楼梯与乙跑2 2段楼梯所用的时间相段楼梯所用的时间相同。同。”照这样计算，甲跑到照这样计算，甲跑到1616楼，也就是跑了楼，也就是跑了1515段楼梯，应是段楼梯，应是甲跑甲跑3 3段楼梯所用的时间的段楼梯所用的时间的5 5倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也是他跑数也是他跑2 2段楼梯的段楼梯的5 5倍，也就是这时乙跑了倍，也就是这时乙跑了1010段楼梯，即他段楼梯，即他跑到了第跑到了第10+1=1110+1=11（楼）。列式如下：（楼）。列式如下：（3-13-1）（16-116-1）（4-14-1）+1=2+1=25+1=115+1=11（楼）（楼）答：甲跑到答：甲跑到1616楼时，乙跑到了楼时，乙跑到了1111楼。楼。【练习【练习4】小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4 4层时，小红跑层时，小红跑到第到第5 5层，照这样计算，当小明跑到第层，照这样计算，当小明跑到第1616层时，小红跑到了层时，小红跑到了第几层？第几层？【例题【例题5】一个圆形跑道长一个圆形跑道长300300米，沿跑道周围每隔米，沿跑道周围每隔6 6米插一面红旗，米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？旗？【思路导航】【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以插了在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以插了红旗红旗3003006=506=50（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是5050面。面。3003006=506=50（面）（面）答：跑道周围插了答：跑道周围插了5050面红旗和面红旗和5050面黄旗。面黄旗。【练习【练习5】（1 1）有一个正方形水池，周长是）有一个正方形水池，周长是200200米。如果沿着水池周米。如果沿着水池周围每隔围每隔1010米装一盏红灯，再在相邻的两盏红灯中间等距离地米装一盏红灯，再在相邻的两盏红灯中间等距离地装装4 4盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？（2 2）一条公路长）一条公路长480480米，在两旁植树，两端都植。每隔米，在两旁植树，两端都植。每隔1212米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3 3棵柳树。问棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？樟树和柳树各栽了多少棵？数学课上，老师布置了一道题：数学课上，老师布置了一道题：=28 =28 =（）=（）要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。疑难问题的解决都离不开推理。解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。代换、消去等方法来进行解答。【例题【例题1】下式中，下式中，和和各代表几？各代表几？=28 =28 =（）=（）【思路导航】【思路导航】根据根据=28=28，我们可以得出，我们可以得出=28=28；由；由=得到得到=28-=28-，即，即=28=28。则则等于等于28284=74=7；由；由=可求出可求出=7=77 77=217=21。【练习【练习1】（1 1）=18 =18 =（）=（）（2 2）=25 =25 =（）=（）（3 3）=36 =36 =（）=（）【例题【例题2】下式中，下式中，和和各代表几？各代表几？=36 =36 =4=4 =（）=（）【思路导航】【思路导航】根据根据=4=4可知：如可知：如为为1 1份，则份，则是是4 4份，即份，即=4=4；又根据又根据=36=36，可以得到，可以得到4 4=36=36，即，即=9=9，进一，进一步得到步得到=3=3，=4=4=4=43=123=12。【练习【练习2】（1 1）和和各表示几？各表示几？=16 =16 =4=4 =（）=（）（2 2）想想，填填。）想想，填填。=20 =20 =（）=（）（3 3）和和各代表几？各代表几？=16=16 =（）=（）【例题【例题3】下式中，下式中，和和各代表几？各代表几？=16 =16 =14=14 =（）=（）【思路导航】【思路导航】方法一：方法一：我们知道等式两边加上相同的数等式仍然成立。我们知道等式两边加上相同的数等式仍然成立。故故=16=16可变为：可变为：=16 =16 把把=14=14代入上式可得到：代入上式可得到：141414=16 14=16 则则=28-16=12=28-16=12，=12=123=43=4 =14=14，=14-4-4=6=14-4-4=6【思路导航】【思路导航】方法二：方法二：=16=16、=14=14两式左右分别相减，两式左右分别相减，即即=2=2。那么如果把那么如果把换成了换成了，则，则1616需要加上需要加上2 2，即，即=16=162 2，那么，那么=（16162 2）3=63=6，=16=166 62=42=4。【练习【练习3】（1 1）=38 =38 =22=22 =（）=（）（2 2）=52 =52 =48=48 =（）=（）（3 3）=10 =10 =12 =12 =12=12 =（）=（）=（）【例题【例题4】下式中，下式中，和和各代表几？各代表几？=34=34 =48=48 =（）=（）【思路导航】【思路导航】按前题思路，下式和上式左右分别相减可得：按前题思路，下式和上式左右分别相减可得：=14=14。=34=34，即（即（）（）（）=34=34，14+14+14+14+=34=34 =34-14-14=6=34-14-14=6；=14=14，则，则=14-6=8=14-6=8 答：答：=8=8，=6=6【练习【练习4】（1 1）=24=24 =36=36 =（）=（）（2 2）=54 =54 =76=76 =（）=（）（3 3）=96=96 =123=123 =（）=（）【例题【例题5】下式中，下式中，、和、和各代表几？各代表几？=80=80 =（）=（）=（）【思路导航】【思路导航】因为因为2 2个等于个等于3 3个个，3 3个个又等于又等于4 4个个，所以，所以2 2个等个等于于4 4个个，那么，那么1 1个等于个等于2 2个个。在在=80=80中，中，2 2个个可以用可以用1 1个替代，就变个替代，就变为为=80=80，而，而2 2个又可以用个又可以用3 3个个替代，也就是替代，也就是=80=80，所以：，所以：=20=20，=20=203 32=302=30，=20=203 34=154=15。【练习【练习5】（1 1）=100=100 =（）=（）=（）（2 2）=40=40 =（）=（）=（）（3 3）=320=320 =（）=（）=（）一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。道完整的算式。解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几种情式特征，由推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几种情况，逐一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，况，逐一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，抓准解题的突破口。抓准解题的突破口。【例题【例题1】在下面算式的在下面算式的内，填上适当的数字，使算式成立。内，填上适当的数字，使算式成立。8792【思路导航】【思路导航】已知被乘数个位是已知被乘数个位是8 8，积的个位是，积的个位是2 2，可推出乘数可能是，可推出乘数可能是4 4或或9 9，但积的百位上是，但积的百位上是7 7，因而乘数只能是，因而乘数只能是4 4，被乘数百位是，被乘数百位是1 1，那么十位上只能是那么十位上只能是9 9。19 48792【练习【练习1】在在里填上适当的数，使算式成立。里填上适当的数，使算式成立。?1?(3)?(2)?(1)?9?8?3?2?4?5?3?6?9?8?8?7【例题【例题2】里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？式？?0?6?5【思路导航】【思路导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除数相乘的积，可知被除数个位为位上的数与除数相乘的积，可知被除数个位为0 0，再想商十位，再想商十位上的数与上的数与6 6的乘积为一位数，这个数只能是的乘积为一位数，这个数只能是1 1，这样确定商的十，这样确定商的十位为位为1 1，最后被除数十位上的数为，最后被除数十位上的数为9 9。【练习【练习2】在在里填上适当的数，使算式成立。里填上适当的数，使算式成立。?7?5?0?（2）?（1）?0?4?8【例题【例题3】在下面在下面中填入适当的数，使算式成立。中填入适当的数，使算式成立。?4?8?8?0?2?2?1【思路导航】【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位通过观察，我们发现，商的个位8 8与与除数的乘积是除数的乘积是4848，由此可求出除数为，由此可求出除数为6 6。再根据商的千位与再根据商的千位与6 6的乘积是二十几，于的乘积是二十几，于是可求出商的千位是是可求出商的千位是4 4，因而被除数的万，因而被除数的万位是位是2 2，千位是，千位是4 4，然后可求出商的百位是，然后可求出商的百位是0 0，十位是，十位是2 2，被除数的百位是，被除数的百位是1 1，十位是，十位是6 6，个位是个位是8 8。（填法见右）。（填法见右）?2?0?4?4?8?1?6?4?6?8?6?1?4?2?4?8?8?0?2?2?1【练习【练习3】在下面在下面中填入适当的数，使算式成立。中填入适当的数，使算式成立。?5?3?5?4?1?5?2?（2）?（1）?2?1?1?0?9?3?6 根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏需要动脑筋找规律，成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：两种：1 1如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；2 2如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。【例题【例题1】在下面各题中添上、在下面各题中添上、（、（），使等式成立。），使等式成立。1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=101 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10【思路导航】【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果1010想想起，最后一个数是起，最后一个数是5 5，可以从下面几种情况中想：，可以从下面几种情况中想：5=105=10，5=105=10，5=105=10，5=105=10。（1 1）从）从5=105=10考虑，考虑，=5=5，前，前4 4个数必须组成得数是个数必须组成得数是5 5的算的算式有：（式有：（1 12 2）3 34 45=10 5=10 （1 12 2）3 34 45=105=10（2 2）从）从5=105=10考虑，考虑，=15=15，前，前4 4个数必须组成得数是个数必须组成得数是1515的的算式有：算式有：1 12 23 34 45=105=10（3 3）从）从5=105=10考虑，考虑，=2=2，前，前4 4个数必须组成得数是个数必须组成得数是2 2的算的算式有：（式有：（1 12 23 34 4）5=10 5=10 （1 12 23 34 4）5=105=10（4 4）从）从5=105=10考虑，考虑，=50=50，前面，前面4 4个数必须组成得数是个数必须组成得数是5050的算式，而前面的算式，而前面4 4个数无法组成得数是个数无法组成得数是5050的算式。的算式。【练习【练习1】1 1你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？（1 1）4 1 2 5=10 4 1 2 5=10 （2 2）4 1 2 5=104 1 2 5=10 2 2在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。（1 1）3 4 5 6 8=8 3 4 5 6 8=8 （2 2）3 4 5 6 8=83 4 5 6 8=8 3 3巧添运算符号，使等式成立。巧添运算符号，使等式成立。（1 1）3 3 3 3=1 3 3 3 3=1 （2 2）3 3 3 3=2 3 3 3 3=2 （3 3）3 3 3 3=33 3 3 3=3【例题【例题2】拿出都是拿出都是8 8的四张牌，添上、的四张牌，添上、或（或（），使等），使等式成立。你能试一试吗？式成立。你能试一试吗？8 8 8 8=0 8 8 8 8=18 8 8 8=0 8 8 8 8=1 8 8 8 8=2 8 8 8 8=3 8 8 8 8=2 8 8 8 8=3【思路导航】【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：（1 1）等于）等于0 0的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这两组的和、差、积、商应该相等，有：分成两组，这两组的和、差、积、商应该相等，有：8 88 8（8 88 8）=0 8=0 88 88 88=0 8=0 8 88 8（8 88 8）=0 8=0 88 88 88=08=0 （2 2）等于）等于1 1的思考方法：假设最后一步是除法，那么四个数分成两组，的思考方法：假设最后一步是除法，那么四个数分成两组，这两组的和、积、商分别相等，相同的数相除也可得到这两组的和、积、商分别相等，相同的数相除也可得到1 1，有：，有：（8 88 8）（8 88 8）=1 8=1 88 8（8 88 8）=1 8=1 88 8（8 88 8）=1=1 8 88 88 88=1 88=1 88 88 88=1 88=1 8（8 88 88 8）=1=1 （3 3）等于）等于2 2的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为1 1，有：，有：8 88 88 88=28=2 （4 4）等于）等于3 3的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3 3个个8 8，有：有：（8 88 88 8）8=38=3【练习【练习2】1.1.在各数中添上、在各数中添上、或（或（），使算式相等。），使算式相等。4 4 4 4=0 4 4 4 4=14 4 4 4=0 4 4 4 4=1 4 4 4 4=2 4 4 4 4=3 4 4 4 4=2 4 4 4 4=3 4 4 4 4=4 4 4 4 4=5 4 4 4 4=4 4 4 4 4=5 2.2.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。巧添各种运算符号和括号，使等式成立。5 5 5 5 5=0 5 5 5 5 5=15 5 5 5 5=0 5 5 5 5 5=1 5 5 5 5 5=2 5 5 5 5 5=3 5 5