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第三讲逆变换与逆矩阵,一逆变换与逆矩阵,1.通过具体变换,了解逆变换的定义,理解逆矩阵的意义;通过具体的投影变换,体会逆矩阵可能不存在. 2.会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质,并了解其在变换中的意义. 3.会求逆矩阵,并能用其性质解决简单的问题.,1,2,3,1.逆变换 设是一个线性变换,如果存在线性变换,使得=I,则称变换可逆,并且称是的逆变换. 名师点拨不是每个变换都存在逆变换,有些变换存在逆变换,而有些变换就不存在逆变换,如投影变换不可逆.,1,2,3,1,2,3,1,2,3,2.逆矩阵 设A是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B,使得BA=AB=E2,则称矩阵A可逆,或称矩阵A是可逆矩阵,并且称B是A的逆矩阵.,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,3.逆矩阵的性质 性质1设A是一个二阶矩阵,如果A是可逆的,则A的逆矩阵是 唯一的.把A的逆矩阵记为A-1,读作A的逆矩阵或A的逆,从而A-1A=AA-1=E2. 名师点拨性质1用线性变换的语言可叙述为:如果二阶矩阵A所对应的线性变换是可逆的,则其逆变换是唯一的,并记的逆变换为-1,读作的逆变换或的逆. 性质2设A,B是二阶矩阵,如果A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1. 名师点拨因为矩阵的乘法不满足交换律,所以(AB)-1不一定等于(BA)-1,而且B-1A-1不一定等于A-1B-1,所以书写时,顺序不可颠倒.,1,2,3,1,2,3,如果一个线性变换是可逆的,那么它的逆变换是唯一的吗?如果一个矩阵是可逆的,那么它的逆矩阵唯一吗? 剖析:若线性变换是可逆的,对应的逆变换为,则=I. 如果还有一个变换也是的逆变换,则=I. 这样对平面内的任一向量来说就会有: =I()=()()=()=(I)=(I)=. 因为是任意的,从而=,所以如果是可逆的,则对应的逆变换是唯一的. 如果B1,B2都是A的逆矩阵,则B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2,从而B1=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1)=B2E2=B2,即B1=B2.所以如果矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵也是唯一的.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思旋转、切变、伸缩、反射等这四种变换都是可逆的,可按沿“原路返回”的方法找到其逆变换.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思除利用AA-1=E2求A-1外,也可利用线性变换的逆变换求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思若矩阵A,B都可逆,则AB,BA也可逆,且(AB)-1=B-1A-1,(BA)-1=A-1B-1.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析:没有正确地应用逆矩阵的性质(AB)-1=B-1A-1,而是错误地按照(AB)-1=A-1B-1进行运算的.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,
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