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第1章 直角三角形 小结与复习,一、直角三角形的性质 1.直角三角形的两个锐角_. 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_. 3.在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的_. 4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜 边长为c，那么_.,互余,一半,一半,a2+b2=c2,二、直角三角形的判定 1.有一个角是_的三角形是直角三角形. 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 _，那么这个三角形是直角三角形.,直角,a2+b2=c2,【思维诊断】(打“”或“”) 1.有两个角互余的三角形是直角三角形.( ) 2.任何一个三角形都具有两条边长的平方和等于第三条边长的平方.( ) 3.一个三角形中，30角所对的边等于最长边的一半.( ),热点考向一 直角三角形的性质 【例1】如图，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于F，若F=30，DE=1，则BE的长是.,【思路点拨】根据直角三角形的两个锐角互余，求得DBF，从而求得A的度数.在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，求得AE的长；再由线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，即可求得BE的长.,【自主解答】在RtFDB中，F=30，DBF=60. 在RtABC中，ACB=90，ABC=60，A=30. 在RtAED中，A=30，DE=1，AE=2. DE垂直平分AB，BE=AE=2. 答案：2,【规律方法】直角三角形斜边上中线的作用 1.直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系是研究线段倍、分问题的重要依据之一. 2.联想到直角三角形斜边上的中线，可以沟通角与角或线段与线段之间的关系，把题设与结论有机地结合起来，使问题得以圆满的解决. 3.重要辅助线(1)遇直角三角形斜边的中点，添加斜边上的中线为辅助线.(2)构造直角三角形，凸显斜边上的中线.,【真题专练】 1.如图，一副分别含有30角和45角 的两个直角三角板，拼成如图所示图形， 其中C=90，B=45，E=30， 则BFD的度数是() A.15B.25C.30D.10,2.如图，在ABC中，AB=AC=10，BC=8， AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中 点，连接DE，则CDE的周长为() A.20B.18C.14D.13,【知识拓展】直角三角形的两个结论 (1)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30. (2)如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.,热点考向二 勾股定理 【例2】如图，在RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，点E在BC上，将ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B处，则BE的长为.,【思路点拨】利用勾股定理求出BC=4，设BE=x，则CE=4-x，在RtBEC中，利用勾股定理解出x的值即可.,【自主解答】 ， 由折叠的性质得BE=BE，AB=AB， 设BE=x，则BE=x，CE=4-x，BC=AC-AB=AC-AB=2， 在RtBEC中，BE2+BC2=EC2， 即x2+22=(4-x)2， 解得：x= . 答案：,【规律方法】勾股定理的应用 1.在直角三角形中，已知一边长和另外两边的关系时，常借助勾股定理列出方程求解，在解决折叠问题时，边长的计算经常用到上述方法. 2.作长度 为(n为正整数)的线段. 注意：在直角三角形中，已知两边利用勾股定理求第三边时，必须分清直角边和斜边，在条件不明确的条件下，要分类讨论.,【真题专练】 1.如图，点E在正方形ABCD内， 满足AEB=90，AE=6，BE=8， 则阴影部分的面积是() A.48B.60C.76D.80,2.如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行m.,热点考向三 勾股定理的逆定理 【例3】如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将ABE绕点B顺时针旋转90到CBE的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则BEC=度.,【解题探究】(1)BE是由BE旋转多少度得到？BE与BE什么关系？ 提示：BE是由BE旋转90得到的，BEBE且BE=BE. (2)若连接EE，得到的EBE是一个什么特殊的三角形？ 提示：EBE是等腰直角三角形. (3)EEC是直角三角形吗？若是，是怎样得到的？ 提示：EEC是直角三角形，根据勾股定理的逆定理得之.,【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤 1.确定三角形的最长边. 2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和. 3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等，则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.,【知识归纳】判定直角三角形的两种方法 (1)当已知条件是“三条边”或三边的比时，利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形. (2)如果三角形某一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.,命题新视角 用勾股定理解展开与折叠问题 【例】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A处，则AE的长为.,【审题视点】,【规律方法】解图形折叠问题的思路 1.寻找出折叠前后的不变量(即相等线段，相等角). 2.发现图形中直角三角形，并能灵活应用勾股定理. 3.利用勾股定理建立方程求解.,【巧思妙解】巧用面积，事半功倍 【典例】在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是() A. B. C. D.,【解法对比】本题的“常规解法”既证明相似三角形，又两次用到勾股定理，并且在求CD时计算比较复杂，容易出错；“巧妙解法”巧用两种不同的形式表示同一个三角形的面积，非常轻巧地求出了点C到AB的距离.,【技巧点拨】面积法是一种重要的处理几何问题方法，用不同形式表示同一个图形的面积，把已知量与未知量有机结合起来，轻松求出未知量，解题思路清晰，起到了事半功倍的效果.,课后作业,见学练优本章小结与复习,
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