抛物线的简单几何性质学案苏教版

学科：数学学科：数学教学内容：抛物线的简单几何性质教学内容：抛物线的简单几何性质【基础知识精讲】【基础知识精讲】抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程范围y=2px(p0)2y=-2px(p0)2x=2py(p0)2x=-2py(p0)2p,0)2px=-2(x0p,0)2px=2(-x0 x 轴(0，0)e=1p)2py=-2(0,y0y 轴(0，0)e=1(0，-y=p)2p2y0y 轴(0，0)e=1对称轴x 轴顶点(0，0)离心率e=1焦半径PF=x0+p2PF=p-x02PF=p+y02PF=p-y02参数 p的几何参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.意义本节学习要求：本节学习要求：1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.【重点难点解析】【重点难点解析】1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于 1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.例例 1 1已知抛物线顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点(x0，-8)到焦点的距离等于 17，求抛物线方程.22分析分析设方程为 y=2px(p0)或 y=-2px(p0)pp=17 或-x0=1722pp即 x0=17-或 x0=-1722p2将(17-，-8)代入 y=2px2则 x0+解得 p=2 或 p=32将(p2-17，-8)代入 y=-2px2解得 p=2 或 p=3222所求抛物线方程为 y=4x 或 y=64x.2例例 2 2求抛物线 y=4x 中斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程.分析分析本例可设平行弦的纵截距为参数、运用判别式及韦达定理、中点坐标公式来求，也可设点参数运用点差法求解.设 AB 是抛物线中斜率为 2 的平行弦中任一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB 中点 M(x,y)y2 4x112 4x2y2由x1 x2 2xy y 2y21y1 y2x x 221得：y=12代入 y=4x得 x=141)42轨迹方程为 y=1(x例例 3 3设点 A 和 B 为抛物线 y=4px(p0)上原点以外的两个动点.已知 OAOB，OMAB 于 M，求点 M的轨迹方程，并说明表示什么曲线.22分析分析设 A(4pt1,4pt1)，B(4pt2,4pt2)，OA、OB 的斜率分别为 kOA、kOB则 kOA=11,kOB=t2t1由 OAOB，得kOAkOB=1=-1t1t2=-1t1t2点 A 在 AB 上，得直线 AB 的方程为y-4pt1=12(x-4pt1)t1t2由 OMAB，得直线 OM 方程为y=-(t1+t2)x设点 M(x,y),则 x,y 满足两式将化为：y(t1+t2)=x+4pt1t2=x-4p22由得：x+y-4px=0A、B 是原点以外的两点x0点 M 的轨迹是以(2p,0)为圆心，以 2p 为半径的圆(去掉原点).【难题巧解点拨】【难题巧解点拨】2例例 1 1已知抛物线 y=2px 上两点 A、B，BCx 轴交抛物线于 C，AC 交 x 轴于 E，BA 延长交 x 轴于 D，求证：O 为 DE 中点.22分析分析只需证出 D、E 两点的横坐标互为相反数即可，设A(2pt1,2pt1)，B(2pt2,2pt2)则2C(2pt2,-2pt2)AC：y-2pt1=12(x-2pt1)t1t2令 y=0,得 xD=2pt1t2BA：y-2pt1=12(x-2pt1)t1t2令 y=0,得 xE=-2pt1t2xD+xE=0即 O 为 DE 中点.例例 2 2设抛物线过定点 A(0，2)且以 x 轴为准线.()试求抛物线顶点 M 的轨迹 C 的方程；()如果点 P(a,1)不在线段 y=1(-2x2)上，那么当 a 取何值时，过 P 点存在一对互相垂直的直线同时与曲线 C 各有两个交点?分析分析 ()设抛物线顶点 M(x,y)，y0，则其焦点为 F(x,2y).据抛物线定义有x2(2y 2)2=2x22即+(y-1)=1(y0)4抛物线顶点 M 的轨迹 C 的方程是x22+(y-1)=1(y0)4()过 P 点的直线可设为 l:y-1=k(x-a).由已知 P(a,1)不在曲线 C 上，则222y k(x a)1x 4(y 1)422消去 y，得 x+4k(x-a)=422222即(1+4k)x-8k ax+4(k a-1)=022=16k(4-a)+1过点 P 存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个不同的交点的充要条件是关于斜率k 的不等式组k2(4a)21 0有解 122(4a)1 0k点 P 不在直线 y=1(-2x2)上，a2，4-a 0.212k,上不等式组可化为a2 4k2 a2 4a-4212解 a 52a 4又a2,2a5即 a(-5,-2)(2,5)【命题趋势分析】【命题趋势分析】本节与椭圆、双曲线的相同内容相似，都是高考的重要内容.圆锥曲线的基础知识；直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦及弦的中点的轨迹问题；圆锥曲线中的有关最值问题等等.本章内容为高考压轴题的高频题.【典型热点考题】【典型热点考题】222例例 1 1抛物线 y=x 的弦 AB 保持与圆 x+y=1 相切移动，求过 A、B 的抛物线的切线交点的轨迹方程.22分析一分析一如图，设抛物线弦 AB 与圆 x+y=1 相切于 P(x0,y0),则过 P 点的圆的切线方程为 x0 x+y0y=1.x0 x y0y 12由得 y0 x+x0 x-1=02y x设 A 的坐标为(x1,x1),B(x2,x2)，由韦达定理，得x1+x2=-22x01,x1x2=-y0y0又过 A、B 两点的抛物线的切线方程分别为22y+x1=2x1x,y+x2=2x2x，则两切线交点 Q(x,y)是方程组2y x1 2x1x2y x2 2x2x-得 x1-x2=2(x1-x2)x.2x=x1+x2=-22x0y0 x2-x1得(x2-x1)y+x1x2(x1-x2)=0y=x1x2=-1y02x122,y0=-P(x0,y0)在圆 x+y=1 上，yy由、得 x0=(2x212)+(-)=1yy22即 y-4x=1,这是双曲线.由条件知，所求轨迹是焦点在y 轴上，a=1、b=1的双曲线的下支的一部分.2分析二分析二设抛物线的弦 AB 与圆切于点 P(x0,y0)，则过 P 点的圆的切线 AB 的方程为 x0 x+y0y=1设过 A、B 两点的抛物线切线交点为Q(，)则 AB 为抛物线的切点弦，其方程为 y+=2x由、表示同一直线，于是有x0y01=21x0=21 y0=-22P(x0,y0)在圆 x+y=1 上，(22222212)+(-)=1,即-4=1,故 y-4x=1(xR,y0)例例 2 2某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用如图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如图乙所示的抛物线段表示.(1)写出如图甲所示市场售价与时间的函数关系式Pf(t)；写出如图乙所示种植成本与时间的函数关系式 Qg(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?2(注：市场售价和种植成本的单位：元/10 kg，时间单位：天)解：解：(1)f(t)g(t)300t,0 t 200,2t 300,200 t 300.12(t-150)+100,0t300.200(2)设 t 时刻的纯收益为 h(t)，则由题意得h(t)f(t)-g(t),121175t t,0 t 200,20022即 h(t)1t27t 1025,200 t 300.22200当 0t200 时，配方整理得h(t)-12(t-50)+100,200所以，当 t50 时，h(t)取得区间0，200上的最大值 100；当 20087.5 可知，h(t)在区间0，300上可以取得最大值 100，此时 t50，即从 2 月 1 日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大.【同步达纲练习】【同步达纲练习】A A 级级一、选择题一、选择题1.若 A 是定直线 l 外的一定点，则过 A 且与 l 相切圆的圆心轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线2.抛物线 y=10 x 的焦点到准线的距离是()A.2.5B.5C.7.5D.103.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0 上，则此抛物线的方程是()2222A.y=11xB.y=-11xC.y=22xD.y=-22x24.过抛物线 y=2px(p0)的焦点且垂直于 x 轴的弦 AB，O 为抛物线顶点，则AOB()A.小于 90B.等于 90C.大于 90D.不能确定25.以抛物线 y=2px(p0)的焦半径PF为直径的圆与 y 轴位置关系为()A.相交B.相离C.相切D.不确定二、填空题二、填空题26.圆心在抛物线 y=2x 上，且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .2x2y27.若以曲线+=1 的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A、B 两点，则2516AB=.8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线 y=2x+1 所得的弦长为15，则此抛物线的方程是 .三、解答题三、解答题29.抛物线 x=4y 的焦点为 F，过点(0，-1)作直线 l 交抛物线 A、B 两点，再以 AF、BF 为邻边作平行四边形 FABR，试求动点 R 的轨迹方程.210.是否存在正方形 ABCD，它的对角线 AC 在直线 x+y-2=0 上，顶点 B、D 在抛物线 y=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.AAAA 级级一、选择题一、选择题21.经过抛物线 y=2px(p0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为()A.pB.2pC.4pD.不确定22.直线 y=kx-2 交抛物线 y=8x 于 A、B 两点，若 AB 的中点横坐标为 2，则AB为()A.152B.4152C.215D.423.曲线 2x-5xy+2y=1()A.关于 x 轴对称B.关于 y 轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x 对称D.关于直线 y=x 对称也关于直线 y=-x 对称24.若抛物线 y=2px(p0)的弦 PQ 的中点为(x0,y0)(y0)，则弦 PQ 的斜率为()A.-px0B.py0C.px-D.-px05.已知抛物线 y=2px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则于()A.4二、填空题二、填空题22y1y2的值一定等x1x2B.-4C.p2D.-p26.抛物线 y=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 43，则焦点到 AB 的距离为 .x227.以椭圆+y=1 的右焦点 F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A，则5AF=.28.若OAB为正三角形，O为坐标原点，A、B两点在抛物线y=2px上，则OAB的周长为 .三、解答题三、解答题9.抛物线 y=-x22与过点 M(0，-1)的直线 l 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA 和 OB 斜率之和为 1，求直线 l 的方程.10.已知半圆的直径为 2r，AB 为直径，半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直，垂足为 T，且TA=2a(2ar),半圆上有 M、N 两点，它们与直线 l 的距离MP、NQ满足条件MP=AM,NQ=AN，2求证：AM+AN=AB.【素质优化训练】【素质优化训练】一、选择题一、选择题21.过点 A(0，1)且与抛物线 y=4x 有唯一公共点的直线的条数为()A.1B.2C.3D.422.设抛物线 y=ax(a0)与直线 y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为 x1,x2,而 x3是直线与 x 轴交点的横坐标，那么 x1、x2、x3的关系是()A.x3=x1+x2B.x3=11+x1x2C.x1x2=x2x3+x3x1D.x1x3=x2x3+x1x23.当 0k1时，关于 x 的方程2x=kx 的实根的个数是()3A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个24.已知点 A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线 y=4x 交于另外两点 B、C，则ABC 是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定25.将直线 x-2y+b=0 左移 1 个单位，再下移 2 个单位后，它与抛物线y=4x 仅有一个公共点，则实数b的值等于()A.-1B.1C.7D.9二、填空题二、填空题26.抛物线 y=-8x 被点 P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为 .27.已知抛物线 y=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是 .8.已知过抛物线 y=2px 的焦点 F 的弦 AB 被 F 分成长度为 m、n 的两部分，则211+=.mn三、解答题三、解答题29.已知圆 C 过定点 A(0，p)(p0)，圆心 C 在抛物线 x=2py 上运动，若 MN 为圆 C 在 x 轴上截得的弦，设AM=m,AN=n，MAN=.(1)当点 C 运动时，MN是否变化?写出并证明你的结论?(2)求nm+mn的最大值，并求取得最大值时的值和此时圆C 的方程.210.已知抛物线 y=4ax(0a1)的焦点为 F，以 A(a+4,0)为圆心，AF为半径在 x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点 M 和 N，设 P 为线段 MN 的中点，()求MF+NF的值；()是否存在这样的 a 值，使MF、PF、NF成等差数列?如存在，求出 a 的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】【生活实际运用】21.已知点 P(x0,y0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点 P 为中点的抛物线 y=2px(p0)的中点弦方程为2yy0-p(x+x0)=y0-2px02注：注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y=2px 上点的切线方程有什么联系?x2y2x2y2若 P(x0,y0)为非对称中心，将抛物线 y=2px 换成椭圆2+2=1 或双曲线2-2=1，它们的中点弦abab2存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现.2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子 OA，O 恰在圆形水面中心，OA=1.25 米.安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过 OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA 距离 1 米处达到距水面最大高度 2.25 米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析分析根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径.以 OA 所在直线为 y 轴，过 O 点作 oy 轴的垂直线 ox 轴，建立直角坐标系如图依题意 A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x 轴正向交点为 C，OC 即圆型水池的半径.设抛物线 ABC 的方程为2(x-1)=-2p(y-2.25)将 A(0，1.25)代入求得 p=212抛物线方程为(x-1)=-(y-2.25)22令 y=0，(x-1)=1.5,x=2.5(米)即水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】【知识验证实验】1.求函数 y=x43x26x 13-x4 x21的最大值.解：解：将函数变形为 y=(x 3)(x 2)-x(x 1)，由几何意义知，y 可以看成在抛物线f(x)=x 上的点 P(x,x)到两定点 A(3，2)和 B(0，1)的距离之差，PA-PBAB，当 P、A、B 三点共线，且 P 在 B 的左方时取等号，此时 P 点为 AB 与抛物线的交点，即 P 为(222222221371937，)618时，ymax=AB=10.2.参与设计小花园的喷水池活动.要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】【知识探究学习】1.如图，设F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上任意一点，MT 是抛物线在 M 的切线，MN 是法线，ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线 MN 必平分FME，即1=2.2解：解：取坐标系如图，这时抛物线方程为 y=2px.(p0)，因为 ME 平行 x 轴(抛物线的轴)，1=2,只要证明1=3，也就是FMN 的两边 FM 和 FN 相等.设点 M 的坐标为(x0,y0)，则法线 MN 的方程是y-y0=-y0pp(x-x0),令 y=0，便得到法线与 x 轴的交点 N 的坐标(x0+p,0)，所以FN=x0+p-=x0+,p22又由抛物线的定义可知，MF=x0+线为 x 轴，结论仍然成立.2.课本第 124 页阅读材料：圆锥曲线的光学性质及其应用p,FN=FM,由此得到1=2=3，若 M 与顶点 O 重合，则法2参考答案参考答案:【同步达纲练习】【同步达纲练习】A A 级级12100222)+(y1)=1 7.8.y=12x 或 y=-4x23xy 19.解：设 R(x,y),F(0,1),平行四边形 FARB 的中心为 C(,),l:y=kx-1,代入抛物线方程，221.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.(x-得 x-4kx+4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=4，且=16k-160，即|k|1，y1+y2=2x12 x2422=(x1 x2)2 2x1x24=4k-2,2C为AB的中点.xx1 x2 2kx 4k222消去 k 得 x=4(y+3),由得，x4，故动点 R 的轨迹方2y yy 1212y 4k 3 2k 12 2程为 x=4(y+3)(x4).2210.解：设存在满足题意的正方形.则 BD：y=x+b,代入抛物线方程得 x+(2b-4)x+b=0,22=(2b-4)-4b=16-16b0,b1,，设 B(x1,y1),D(x2,y2),BD 中点 M(x0,y0),则 x1+x2=4-2b,x0=2-b,y0=x0+b=2,M 在 AC 直线上，(2-b)+2-2=0，b=2 与相矛盾，故不存在满足要求的正方形.AAAA 级级1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.2 7.95-18 8.123p2x229.解：解：设 l:y=kx-1,代入 y=-,得 x+2kx-2=0，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 x1+x2=-2k,x1x2=-2,又2y1y2kx11kx21x x22k+=+=2k-1=2k-=k=1，直线 l 的方程为 y=x-1.x1x2x1x2x1x2210.证明：由MP=AM,NQ=AN知 M、N 在以 l 准，A 为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，22222设抛物线方程为 y=2px，又TA=2a=p,抛物线方程为 y=4ax，又圆的方程为(x-a-r)+y=r，将两方程22相减可得：x+2(a-r)x+a+2ar=0，设 M(x1,y1),N(x2,y2)，则 x1+x2=2r-2a,AM+AN=PM+QN=x1+x2+2a=2r,即AM+AN=AB【素质优化训练】【素质优化训练】1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.4x+y+3=0 7.y=x+2(在已知抛物线内部的部分)8.9.解解：(1)设圆心 C(x0,y0),则 x0=2py0，圆 C 的半径CA=2222222222p22x0(y0 p)2，其方程为(x-x0)+(y-y0)=x0+(y0-p),令 y=0，并将 x0=2py0，代入，得 x-2x0 x+x0-p=0，解得 xm=x0-p,xN=x0+p,MN=xN-xM=2p(定值)(2)m=AM=(x0 p)p,n=AN=(x0 p)p,m+n=4p+2x0,mn=4p x0，222222224424p(p y0)nmm2 n24p2 2x0+=4422mnmn4p x02pp y02(p y0)2p2 y0=212py022，当且仅当 y0=p 时等号成立，x0=2p，此时MCN 为等腰直角三角22p y01222MCN=45，故当=45时，圆的方程为(x-2 p)+(y-p)=2p 或2形，且 MCN=90，MAN=(x+2p)+(y-p)=2p22210.解：解：(1)由已知得 F(a,0),半圆为x-(a+4)+y=16(y0)，设 M(x1,y1),N(x2,y2)，则MF+NF=x1+x2+2a=2(4-a)+2a=8(2)若MF、PF、NF成等成数列，则有 2PF=MF+NF,另一方面，设 M、P、N 在抛物线的准线上的射影为M、P、N，则在直角梯形MMNN中，PP 是中位线，又有2PP=MM+NN=MF+FN,因而PF=PP,P 点应在抛物线上，但 P 点是线段 MN 的中点，即 P 并不在抛物线上，故不存在使MF、PF、NF成等差数列的 a 值.22