2.1级多项式方程求根ppt课件

存在唯一的多项存在唯一的多项多项式方程求根多项式方程求根两种特殊方法两种特殊方法,0)(xd1.牛顿法求多项式方程的根牛顿法求多项式方程的根2.劈因子法劈因子法预备知识预备知识引理引理 对于任意多项式对于任意多项式c(x)和和d(x),其中其中 式式Q(x)、r(x)满足满足 c(x)=Q(x)d(x)+r(x)且且 r(x)次数小于次数小于d(x)的次数的次数,Q(x)称商多项式称商多项式,r(x)称余多项式称余多项式.1.牛顿法求多项式方程的根牛顿法求多项式方程的根问题问题 求解方程求解方程 f(x)a0 xn+a1xn-1+an-1x+an=0 其中系数其中系数a0,a1,an-1,an 是实数是实数.思想方法思想方法(1)建立多项式系数与建立多项式系数与 f(xk)的关系的关系,即即f(xk)的计算格式的计算格式;(2)建立建立f (xk)的计算格式的计算格式;(3)得出牛顿法求多项式方程的根的计算方法得出牛顿法求多项式方程的根的计算方法.(1)理论依据理论依据 多项式相等多项式相等,其对应项系数分别相等其对应项系数分别相等.N-公式公式)()(1kkkkxfxfxx )0)(kxf推导公式推导公式f(x)a0 xn+a1xn-1+an-1x+an=0 多项式多项式f(x)除以除以(x-xk),设商为设商为Q(x)=b0 xn-1+b1xn-2+bn-2x+bn-1余数为余数为 bn,那么那么 f(x)=(x-xk)Q(x)+bn将将 f(x)和和Q(x)代入上式代入上式,有有a0 xn+a1xn-1+an-1x+an=(x-xk)(b0 xn-1+b1xn-2+bn-2x+bn-1)+bn=b0 xn+(b1-xkb0)xn-1+(b2-xkb1)xn-2+bn-xkbn-1由两个多项式相等的充要条件由两个多项式相等的充要条件,得得 b0=a0b1=a1+xkb0b2=a2+xkb1bn=an+xkbn-1 递推关系式递推关系式 nibxababikii,2,1,100nkbxf)(2)(1)f(xk)的计算格式的计算格式 设设xk是方程是方程 f(x)=0的近似解的近似解说明说明 实际上是用秦九韶计算顺序计算实际上是用秦九韶计算顺序计算f(xk)=bn.多项式多项式Q(x)除以除以(x-xk),设商为设商为H(x)=c0 xn-2+c1xn-3+cn-3x+cn-2余数为余数为 cn-1,那么那么 Q(x)=(x-xk)H(x)+cn-1将将Q(x)和和H(x)代入上式代入上式,有有b0 xn-1+b1xn-2+bn-2x+bn-1=(x-xk)(c0 xn-2+c1xn-3+cn-3x+cn-2)+cn-1=c0 xn-1+(c1-xkc0)xn-2+(c2-xkc1)xn-3+cn-1-xkcn-2由两个多项式相等的充要条件由两个多项式相等的充要条件,得得 c0=b0c1=b1+xkc0cn-1=bn-1+xkcn-2 递推关系式递推关系式 1,2,1,100nicxbcbcikii对对f(x)=(x-xk)Q(x)+bn求导求导,得得)()()()(xQxQxxxfk 并考虑到式并考虑到式(3)式式,有有)()(kkxQxf (3)(2)f(xk)的计算格式的计算格式 1 ncQ(x)=b0 xn-1+b1xn-2+bn-2x+bn-1(3)牛顿法求多项式方程的根的计算步骤牛顿法求多项式方程的根的计算步骤 取取x0=0,或找出初始值或找出初始值 x0.对对 k=0,1,2,计算计算 nibxabikii,2,1,1 1,2,1,1 nicxbcikii11 nnkkcbxx 误差判断误差判断.1 nncb，或用，或用|xk+1-xk|nb例例1设设f(x)=x3 x2+2x+5,若取若取x0=-1,用递推公式计算用递推公式计算f(xk),f (xk),并按牛顿迭代过程计算并按牛顿迭代过程计算xk+1,k=0,1,.计算结果如表计算结果如表1所示所示.0-11-241 1-37 0.142857 1-1.142857 1-2.1428574.448979-0.084546 1-3.2857149.141426-0.010305 2-1.129807 1-2.1298074.406241-0.021764 1-3.2596148.089006 0.0026913-1.132498 1-2.1324984.415050-0.000035 1-3.2649968.089006-0.000004 4-1.132494 1-2.1324944.415037-0.000003 kkx表表1ibic1 nncb2.劈因子法劈因子法(牛顿法的推广牛顿法的推广)使用范围使用范围 求实多项式的复根求实多项式的复根 思想方法思想方法从多项式的某个近似二次因式出发从多项式的某个近似二次因式出发,用迭代的方法用迭代的方法,使之逐步精确使之逐步精确,求出满足精度要求的数值解求出满足精度要求的数值解.vuxxx 2)(1)推导公式推导公式f(x)a0 xn+a1xn-1+an-1x+an=0f(x)除以除以x2+ux+v,设商为设商为p(x)=b0 xn-2+b1xn-3+bn-3x+bn-2余数为余数为r0 x+r1,因而因而,有有 f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0 x+r1r0,r1都是都是u,v的函数的函数,即即 ),(00vurr),(11vurr 若若r0,r1越小越小,x2+ux+v越接近越接近f(x)的二次因式；若的二次因式；若r0=0,r1=0，那么，那么x2+ux+v是是f(x)的二次因式的二次因式,但是但是,x2+ux+v是是f(x)的近似二次因式的近似二次因式,)4(0),(0vur,0),(1 vur设设x2+ux+v为为f(x)的一个近似二次因式，的一个近似二次因式，因而因而,r0 0,r10,解关于解关于 u,v的非线性方程组的非线性方程组设其真解为设其真解为(u*,v*),则有则有 0*)*,(0vur，0*)*,(1 vur且且x2+u*x+v*是是f(x)的精确二次因式的精确二次因式.0*)*,(0vur0*)*,(1 vur将其左端在将其左端在(u,v)展开到一阶项展开到一阶项 0)*()*(000vvvruuurr0)*()*(111 vvvruuurr令令,*,*vvvuuu 运用牛顿切线法的思想将非线性方程线性运用牛顿切线法的思想将非线性方程线性化，解关于化，解关于 0000vvruurr0111 vvruurr线性方程组线性方程组vu ,得到增量得到增量 vu ,可得到改进的二次因式可得到改进的二次因式)()()(2vvxuuxx 其解比其解比 x2+ux+v的解更接近真解的解更接近真解,因而因而,上式是上式是x2+ux+v的改进式的改进式.)5(vuxxx 2)(f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0 x+r1)4(下面说明方程组下面说明方程组(5)系数的计算方法系数的计算方法.且且x2+u*x+v*是是f(x)的精确二次因式的精确二次因式.下求下求 0),(0vur,0),(1 vur的近似解的近似解 r 0,r1的计算的计算 下面说明方程组下面说明方程组(5)系数的计算方法系数的计算方法.0000vvruurr0111 vvruurr将将 p(x)=b0 xn-2+b1xn-3+bn-3x+bn-2代入代入 f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0 x+r1比较系数比较系数，得，得f(x)=a0 xn+a1xn-1+an-1x+anb0=a0b1=a1-ub0b2=a2-ub1-vb0 bn-2=an-2-ubn-3-vbn-4r0=an-1-ubn-2-vbn-3r1=an-vbn-2 的计算的计算 vrvr 10,将将f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0 x+r1对对v求偏导数求偏导数,注意注意 x2+ux+v是是v的函数的函数,p(x)是是f(x)除以除以x2+ux+v的商的商,故故p(x)也是也是v的函数的函数,f(x)和和v无关无关,因此有因此有)5(或或 r1=bn+ubn-1或或 r0=bn-1 的计算的计算 vrvr 10,将将f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0 x+r1对对v求偏导数求偏导数,注意注意 x2+ux+v是是v的函数的函数,p(x)是是f(x)除以除以x2+ux+v的商的商,故故p(x)也是也是v的函数的函数,f(x)与与v无关无关,因此有因此有102)()(sxsvpvuxxxp 其中其中,1100vrsvrs vp 为为 n-4次多项式，记为次多项式，记为)(455140 nnnncxcxcxcvp代入代入(6)式式,并与并与p(x)表达式相比较表达式相比较,有相应的递推关系有相应的递推关系 )6(c0=b0c1=b1-ub0 ci=bi-uci-1-vci-2(i=2,3,n-3)s0=bn-3-ucn-4-vcn-5s1=cn-2+ucn-31100,svrsvr p(x)=b0 xn-2+b1xn-3+bn-3x+bn-2或或 s0=cn-3cn-4=bn-4-ucn-5-vcn-6或或 s1=bn-2-vcn-4由由(6)式知式知 的计算的计算 urur 10,将将f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0 x+r1对对u求偏导数求偏导数,有有 urxurupvuxxxxp 102)()(102)()(sxsvpvuxxxp )6(式式(6)两端乘两端乘x,并整理并整理,有有xsxsvpxvuxxxxp)()()(102 01002)()(vsxsussvpxvuxx 比较比较(7)式与式与(8)式式,有有,100susur 注注 初始近似二次因式可从物理背景给出初始近似二次因式可从物理背景给出,也可从数学上估计也可从数学上估计.以上这种由以上这种由 f(x)=0的近似二次因式的近似二次因式x2+ux+v,求出更精确的二次因式求出更精确的二次因式的方法称为劈因子法的方法称为劈因子法.01vsur )7()8(设设 f(x)=xn+a1xn-1+an-2x2+an-1x+an,则其末尾二次因式则其末尾二次因式 2212 nnnnaaxaax是该多项式的一对最小复根的近似二次因式是该多项式的一对最小复根的近似二次因式.证证 设方程设方程 f(x)=0的的n个根个根nnnxxxxx 1221由根与系数的关系由根与系数的关系Vieta定理有定理有nnnnxxxxa121)1()()1(22112111 nnnnnxxxxxxxa)()1(2211211nnnnxxxxxxx )()1(1321232122 nnnnnnxxxxxxxxa)()1(23212 nnnxxxx因此有因此有)(,12112nnnnnnnnxxaaxxaa 即即 2212 nnnnaaxaax是对应于一对最小复根的近似二次因式是对应于一对最小复根的近似二次因式.(2)估计代数多项式二次因式的一种方法估计代数多项式二次因式的一种方法例例2用劈因子法求用劈因子法求x4+8x3+39x2-62x+50=0的一对最小复根的二的一对最小复根的二次因式次因式.解解 取对应一对最小复根的尾部二次式取对应一对最小复根的尾部二次式 x2-1.6x+1.3作为初始近作为初始近似似二次因式二次因式.计算结果如表计算结果如表2所示所示.0-1.6 1.3 1-6.427.6-9.744-1.2884 1-4.818.4826.064-0.3628 0.63331-1.9628 1.9333 1-6.037225.2169-0.8325-0.3819 1-4.074415.286437.0487-0.03684 0.066072-1.9996 1.9994 1-6.000425.0022-0.0084-0.0022 1-4.000815.002837.9904-0.0004 0.0007kvu表表2ibicvu 2-1.9996 1.99941-6.000425.0022-0.0084-0.0022 1-4.000815.002837.9904-0.0004 0.00073-2.0000 2.0001 1-6.000024.99990.0004-0.0015 1-4.000014.999838.00 0 -0.0001 4-2.0000 2.000 1-6.000025.000000 1-4.000015.000038.00 0 0 kvu表表2ibicvu 所求二次因式为所求二次因式为.222 xx注注 误差判断误差判断.|xk+1-xk|1.1.理解牛顿法、劈因子法求多项式方程根的思想方法理解牛顿法、劈因子法求多项式方程根的思想方法;2.2.会用牛顿法、劈因子法编程求多项式方程根会用牛顿法、劈因子法编程求多项式方程根.用劈因子法求方程用劈因子法求方程 x4+7x3+24x2+25x x4+7x3+24x2+25x 15=015=0的的二次二次因式精确到因式精确到10-4）.上机作业上机作业本节例题本节例题1、2及下面的题及下面的题