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第1讲计数原理专题三概率与统计板块三专题突破核心考点考情考向分析1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.热点分类突破真题押题精练内容索引热点分类突破分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘.热点一两个计数原理例例1(1)(2018潍坊模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有A.120种 B.156种C.188种 D.240种解析答案所以满足条件的共有48361224120(种)排法.解析(2)若自然数n使得作竖式加法n(n1)(n2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”.例如：32是“开心数”.因为323334不产生进位现象；23不是“开心数”，因为232425产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为A.9 B.10 C.11 D.12答案解析解析根据题意个位数需要满足要求：n(n1)(n2)10，即n2.3，个位数可取0,1,2三个数，十位数需要满足：3n10，n3.3，十位可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3412(个).(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理.(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化.思维升华思维升华答案解析跟踪演练跟踪演练1(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有A.18种 B.24种C.36种 D.48种解析解析若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有 12(种)抢法；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有 12(种)抢法；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有 6(种)抢法；若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有 6(种)抢法.根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种.解析解析若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有326(种)种植方式；若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6318(种)种植方式.(2)(2018百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有A.9种 B.18种 C.12种 D.36种1234答案解析热点二排列与组合名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(mn)个元素，元素无重复不同点排列与顺序有关；两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同答案例例2(1)(2018哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有A.240种 B.480种C.720种 D.960种解析解析12或67为空位时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空位时，第三个空位有3种选择，因此空位共有244320(种)，所以不同坐法有20 480(种).解析答案(2)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有A.25种 B.60种 C.90种 D.150种解析解析因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：解析共有9060150(种)分配方法.求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘.具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.解答计数问题多利用分类讨论思想.分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”.思维升华思维升华跟踪演练跟踪演练2(1)(2018北京市建华实验学校模拟)甲、乙、丙、丁、戊共5人排成一排照相合影，如果甲、乙必须在丙的同侧，则不同的排法有_种.答案80解析答案(2)(2018湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学联考)郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到四个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有A.168种 B.156种C.172种 D.180种解析总共N129648156(种)安排方案.热点三二项式定理例例3(1)(2018揭阳模拟)已知(x1)的展开式中常数项为40，则a的值为A.2 B.2 C.2 D.4答案解析令52k1，可得k3，即10a240，a2.(2)已知(12x)2 017a0a1(x1)a2(x1)2a2 016(x1)2 016a2 017(x1)2 017(xR)，则a12a23a34a42 016a2 0162 017a2 017等于A.2 017 B.4 034 C.4 034 D.0答案解析解析解析因为(12x)2 017a0a1(x1)a2(x1)2a2 016(x1)2 016a2 017(x1)2 017(xR)，两边同时求导可得22 017(12x)2 016a12a2(x1)2 016a2 016(x1)2 0152 017a2 017(x1)2 016(xR)，令x0，则22 017a12a22 016a2 0162 017a2 0174 034.(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要n与k确定，该项就随之确定；Tk1是展开式中的第k1项，而不是第k项；公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；对二项式(ab)n的展开式的通项公式要特别注意符号问题.(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法.思维升华思维升华跟踪演练跟踪演练3(1)(2018龙岩质检)已知二项式 ，则展开式的常数项为A.1 B.1 C.47 D.49答案解析它们的和为124241.答案解析解析解析令x1，得各项系数之和为A4n，二项式系数之和为B2n，真题押题精练1.(2017全国改编)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有_种.真题体验答案36解析解析由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，解析2.(2016上海)在 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_.解析答案112解析解析由2n256，得n8，83kx8 43kx16答案3.(2017浙江)已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，则a4_，a5_.4解析解析解析a4是x项的系数，由二项式的展开式得答案解析4.(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法.(用数字作答)660所以依据分类加法计数原理知共有480180660(种)不同的选法.押题预测答案解析押题依据押题依据押题依据两个计数原理是解决排列、组合问题的基础，也是高考考查的热点.1.某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有A.8种 B.16种C.18种 D.24种答案解析押题依据押题依据押题依据排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类.2.为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为A.60 B.120C.240 D.360解析解析6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于王教练不去甲校，则第一种情况共有204060(种).(2)对于第二种情况，所以第二种情况共有4080120240(种).综上所述，共有6024060360(种)分配方案.答案解析押题依据押题依据押题依据二项式定理作为选择题或填空题设计，属于必考试题，一般试题难度有所控制，考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型，本题设计角度新颖、典型，有代表性.3.设(12x)7a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，则代数式a12a23a34a45a56a67a7的值为A.14 B.7C.7 D.14解析解析对已知等式的两边求导，得14(12x)6a12a2x3a3x24a4x35a5x46a6x57a7x6，令x1，有a12a23a34a45a56a67a714.4.(12x)10的展开式中系数最大的项是_.解析押题依据押题依据押题依据二项展开式中的系数是历年高考的热门考题，本题通过求解系数最大的项，考查考生的运算求解能力.答案15 360 x7依题意知Tk1项的系数不小于Tk项及Tk2项的系数，解析解析设第k1项的系数最大，
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