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第2章 测量误差理论及数据处理,一、测量误差理论概述 二、测量误差的估计及处理 三、测量不确定度（简介）,1.1 测量误差的定义,测量误差是测量结果与被测量真值的差别。,被测量所具有的真实大小， 在一定时空条件下，是客观 存在的确定的数值。,测量误差产生的原因：,人类对客观规律认识的局限性；,仪器误差：测量器具不准确；,方法误差：测量手段不完善；,环境误差：测量条件发生变化；,操作误差：测量人员疏忽或错误,控制测量误差的意义：,是衡量测量技术水平， 以至于科学技术水平 的重要标志之一。,当测量误差超过一定限度， 使测量结果无意义，甚至 有危害。,给出值：x 真值：x0,测量误差根据表示方法，可分为：,1.2 测量误差的表达式,1、通过仪器仪表测得的值，例如电压表测得的值。 2、近似值，例如的值。 3、标称值，例如电阻的标称值。,1、理论真值：理论上给出的值，例如三角形内角和为1800。 2、标准值：由国际计量大会决议规定的值，如阿伏加得罗常数值为6.02213671023 mol-1 。 3、用高一等级的计量标准所测得的量值,称为实际值。 4、相对真值：修正后的值,称为修正值。,修正值 C=x0-x,介绍给出值：,介绍真值：,C=x0-x,实际的计量和测量工作中，经常使用“约定真值”或“相对真值”来代替真值使用。,关于修正值：,对于较好的仪器，常以表格、曲线或公式的方式随仪 器带给用户。,例如：下图为某电流表的修正值曲线,当电流表示值为10mA时，,从曲线可知,C=+0.04mA,因此，实际值为10.04mA,（2）相对真误差即为通常所说的相对误差，是绝对误差 与真值的比值：,（3）分贝误差-相对误差的对数表示,分贝的定义是依据两种功率电平之比：,因,所以,可得,当传输函数A为电流或电压时：,（1）式与（2）式相比较，得到下式：,分贝误差,（4）引用误差（满度误差）：用于连续刻度的仪表中， 表示整个量程内仪表的准确程度。,仪表的量程,*当传输函数为电压和电流时 *当为功率传输函数时,因此，对于分贝误差有以下两种表示法：,分别表示引用相对误差所不超过的百分比。,1.3 测量误差的分类和特点,系统误差,随机误差,粗大误差,定义：相同条件下，多次测量同一量时， 误差的绝对值保持不变，或条件改变时 按某种确定规律而变化的误差。,定义：在实际相同条件下多次测量同一量 时，误差的绝对值和符号以不可预定的方 式变化着的误差。,定义：超出规定条件下预期的误差。即坏 值，通常表示为xk。,根据测量误差的性质和特点，分为:,关于系统误差：,（1）造成系统误差的原因：,例如电表零点 没调好。,测量仪器的安装、放置和使用不当,测量环境变化,例如温度、湿度 电磁场变化,（3）种类：,恒值系差,变值系差,周期性,累进性,（2）特点,具有一定的规律性。,对于仪器系统误差可以采用一些方法避免：,特定的测量应当选择适当的仪器；,确定仪器误差的大小后应用修正系数；,用一个标准仪器对仪器进行校准。,关于随机误差：,（1）产生的原因,由影响微小、互不相关的多种因素造成。,例如：热骚动、噪声干扰，电磁场微变，空气扰动，大地微震，测量人员感觉器官的各种无规律的微小变化等。,（2）特点：,有界性：随机误差的绝对值不会超过一定界限。,对称性：绝对值相等的正负误差出现的机会相同。,抵偿性：随机误差有相互抵消的特性。,单峰性：绝对值小的随机误差比绝对值大在多次重复测量中 出现的机会多。,关于粗大误差：,（1）产生的原因,往往是一些未被认识的偶然因素，如：读数错误、测量方法错误、使用有缺陷的计量器具、实验条件的突变、测量人员操作不当和疏忽大意、测量过程中供电电源突发的瞬间跳动或者外界较强的电磁干扰等。,（2）特点,表现为统计的异常值。 测量结果中带有粗大误差时，应采用一定方法和规则来识别出来，把含有粗大误差的测量数据剔除掉。,（1）系统误差的影响：,测量误差对测量结果的影响：,在不考虑粗大误差的情况下，测量误差由随机误差和系统 误差两部分组成，即：,当,确定性系差表达式,当系差为0，有,（2）随机误差的影响,当系统误差为零，有,结论：系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值。,结论：某次测量的随机误差体现测量值对数学期望的偏离。,精密度：是用来表示测量结果中随机误差大小的程度. 也可以简称为精度，描述测量数据的分散程度。,准确度：是用来同时表示测量结果中系统误差和随机 误差大小的程度。,正确度：是表示测量结果中系统误差大小的程度。,定义：,测量值的正确度、精密度和准确度,举例：,打靶,(a)图正确度高而精密度低,(b)图精密度高而正确度低,(c)图准确度高,目的：,用概率论和数理统计的方法研究测量数据的分布 规律及测量数据平均值的性质；,用统计平均的方法克服或处理随机误差。,二、 测量误差的处理和估计,2.1 随机误差的处理与估计,（1）测量数据的数学期望与方差,在概率论中，数学期望和方差都是在样本空间为无穷时定义的。,测量值的方差反映了测量值的离散程度，也就是随机误差 对测量值的影响。,测量值的数学期望反映了测量值平均的结果。,（2）有限次测量时平均值的数学期望和方差,对于一系列等精密度的测量，当测量系统、测量条件 和被测量不变时，具有相同的数学期望和标准偏差。,当我们对某被测量进行一系列独立的等精密度的测量时，从统计学观点来看，测量系统、测量条件和被测量不变，他们具有相同的数学期望和标准偏差。 因此：,有：,或：,结论：a、平均值的数学期望等于总体数学期望。 b、平均值的方差减少了n倍。,标准偏差,（3）用有限次测量估计测量值的数学期望和方差,两个估计原则：,一致估计：,无偏估计：,当n无限增大时,有：估计值依概率收敛于被估值x,估计值的数学期望等于被估值,根据以上原则，有,所以，用平均值 估计M(X)是合适的。,对于方差，用贝塞尔公式估计:,残差,小结：,总体数学期望,总体方差,均值数学期望,均值方差,数学期望估计,方差估计,（4）测量结果的置信问题,在有限次测量的情况下，数学期望和方差只能是一个 估计值，因此存在一个可信程度的问题，即置信问题。,三个概念：置信概率、置信区间、置信系数。,上面是正态分布的公式。在有限次测量中，研究基于t分布的置信问题。,设随机变量t为：,当测量值服从正态分布时，其均值服从正态分布，其方差服从 分布，t变量服从t分布。,在 n 为有限次，t 分布情况下：,置信系数：ta,置信区间：,置信概率：,其中,查表：,自由度 k=n-1,已知自由度，通过附录1，可进行置信系数 ta 与置信概率 P 的互查。,例：有一个固定频率的信号源，对其输出频率进行六次测量 （可认为是独立、等精密度、无系统误差的测量），所得数 据如下(单位：KHz)：,1001.032，1001.501，1000.199，1002.011，1001.679，1000.006,如要求置信概率为95%，估计信号频率的真值约在什么范围内?,解:,1、求平均值,2、求频率f 标准 偏差估计值,3、求平均值的标准偏差估计值,4、有自由度k=n-1 =5 及置信概率和,从附录查得,5、估计真值所在的区间：,由于无系统误差，故,则其置信区间为：,代入数据，得结果,1000.212，1001.930 KHz,问题：,1、置信区间是否越大越好？,2、置信系数是否越大越好？,遇到可疑数据时，要进行有针对性的分析。 首先，要对测量过程进行分析，是否有外界干扰（如电力网电压的突然跳动），是否有人为错误（如小数点读错等），是否有测量仪器、测量方法方面的错误等，判断是否是正常的随机大误差。 可以在等精密度条件下增加测量次数，以减少个别离散数据对最终统计估值的影响。 在不明原因的情况下，应该根据统计学的方法来判别可疑数据是否是粗大误差。这种方法的基本思想是：给定置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。,2.2 粗大误差的处理,粗大误差剔除的常用准则：,莱特准则：,肖维纳准则：,格拉布斯准则：,正态分布，n10的情况,正态分布，n5的情况，附录2,正态样本或接近正态样本，g值根据重复测量次数n及置信概率确定，n2的情况，附录3,注意以下几个问题： （1）当偏离正态分布、测量次数少时，检验可靠性将受影响。 （2）逐个剔除原则：若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，先剔出残差绝对值最大的，然后重新计算标准偏差估计值，再行判别。若有多个相同数据超出范围时，也应逐个剔除。 （3）在一组测量数据中，可疑数据应极少；反之，说明系统工作不正常。 （4）剔除异常数据是一件需慎重对待的事。,1、测量前分析测量方案或方法中可能造成系统误差的 因素，并尽力消除这些因素 ；,2、在测量过程中采取某些技术措施尽力消除或减弱；,3、测量结束后检验是否有变值系差；,4、用修正值对结果进行修正，估算出未能消除而残留 下来的系统误差对最终测量结果的影响，即测量结 果的不确定度 。,采用一些专门的测量技术和测量方法,2.3 系统误差的处理,（1）恒值系差的判别,常用校准的方法来检查恒值系统误差是否存在； 依据仪器说明书、校准报告上的修正值，对测量结果 进行修正。,（2）变值系差的判别,变值系差,系统误差分为恒值系差和变值系差,A、马利可夫判据：,用于累进性系差的判别。,N为偶数时,N为奇数时,当,存在累进性系差,B、阿卑-赫梅特判据,常用于判别周期性系差，也可用来发现累进性系差。,若,则认为测量中存在变值系差。,根据测量的具体条件和内容，可选择以下几种方法：,1、零示法,使被测量对指示仪表的作用与某已知的标准量对它的 作用相互平衡，使指示仪表示零，被测量等于标准量。,消除或减弱系统误差的典型测量技术,2、代替法（置换法）,是在测量条件不变情况下，用一个标准已知量代替 被测量，并调整标准量使仪器的示值不变，那么，被测 量等于标准量的数值。,3、交换法（对照法）,进行两次测量，交换被测量在系统中的位置或 测量方向使两次测量中误差源对被测量的作用相反， 对照两次测量值，取平均值，减小系统误差影响。,4、微差法,与零示法类似，不同的是，被测量与标准量存在 微差，不能完全消除指示仪表误差带来的影响，但 不需要标准量连续可调。使用较为广泛。,总误差与分项误差的关系：,各分项误差,限定总误差,（1）误差传递公式,设,若 y 在 附近各阶,偏导数存在，则可把y展开为台劳级数，且略去高阶 小量，有：,2.4 测量误差的合成与分配,同理，有m个分项时，有,（a）式适用于函数的和、差关系。,例：,对于相对误差，有：,将（1）式代入,（2）系统误差的合成,有：,（b）式适用于函数乘、商、开方和乘方关系。,例：,（3）随机误差的合成,根据上述的推导，若系差为零，则有：,如随机误差可以忽略，则有：,对于m项相互独立的分项测量结果，有：,（4）分配,A、等准确度分配,B、等作用分配,指分配给各分项的误差对测量误差总和的作用 或对总和的影响相同。,分配给各分项的误差为：,（1）有效数字及数字的舍入规则,有效数字：,规定误差不得超过末位单位数字的一半， 从左边第一个不为零的数字起，到右面 最后一个数字止，为有效数字。,2.5 测量数据处理,例： 3.1416 五位有效数字，极限（绝对）误差 0.00005 3.142 四位有效数字，极限误差0.0005 8700 四位有效数字，极限误差0.5 87102 二位有效数字，极限误差0.5102,例：将下列数字保留到小数点后一位 12.3412.3（45，舍去） 12.3612.4（65，进一） 12.3512.4 （3是奇数，5入） 12.4512.4 （4是偶数，5舍） 12.45612.5（565，进一）,舍入规则：,小于5舍，大于5入，等于5时取偶数。,（2）数据处理过程 例2-2-6展示了一个完整的数据处理过程，包括是否存在检查异常数据，是否有累进性和周期性的系统误差，最后给出测量结果在一定置信概率下的置信区间。 自学,非等精度测量：,测量条件不同，测量次数不同。,1、测量结果的权：表示测量结果受到重视的程度。,等精度测量:,测量条件完全相同。,2、加权平均值,基本思路：,2.6 非等精度测量与加权平均,X的估计值：,3、加权平均值的方差,每次等精度测量的方差即为单位权的方差：,测量不确定度*,一、概念,1、引入原因：只有知道被测量的真值时，才能得到误差 ，真值未知。,2、历史,3、定义：表征合理的赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系得参数，简称不确定度。在给出测量结果时必须同时给出其测量不确定度。,4、表示 标准偏差s或是s的倍数ks，也可以是具有某置信概率p（例如 95， 99）的置信区间的半宽 来表示。,5、分类 标准不确定度：以标准偏差表示的测量结果不确定度 扩展不确定度,6、评定方法 A类：用统计方法评定的不确定度，用实验标准偏差表征。 B类：用非统计方法评定的不确定度，用根据经验或资料及假设的概率分布估计的标准偏差表征。,不确定度,标准不确定度,扩展不确定度,A类标准不确定度,B类标准不确定度,合成标准不确定度,不确定度的分类图,二、来源,被测量定义的不完善,测量装置或仪器的分辨力或识别门限不够,环境条件的影响认识不足或环境条件的不完善测量,计量标准和标准物质的值本身的不确定度,随机因素所引起的被测量本身的不稳定性,对模拟仪表读数存在人为偏离,数据处理时所引用的常数及其他参数的不确定度,复现被测量的测量方法不理想,三、与测量误差的区别 两者的最大差别在于定义上 测量误差是一个有正有负的量值 真值未知，不能准确得到测量误差的值 ，测量不确定度可以定量确定 误差和不确定度的合成方法不同 测量结果的不确定度仅与测量方法有关 测量误差是通过试验测量得到，而测量不确定度是通过评定得到的,四、测量不确定度的评定 1、评定的流程,找出所有影响测量结果的影响量，建立测量过程的数学模型,确定各个输入量的标准不确定度u(xi)及其标准不确定度分量ui(y),将各个标准不确定度分量ui(y)合成为标准不确定度uc(y),确定被测量可能值分布的包含因子,确定扩展不确定度U或Up,2、测量过程的数学模型 广义来说，测量过程模型可表达为,Xm为输入量，Y为输出量,建立的数学模型应包含全部对测量结果的不确定度有显著影响的影响量 数学模型不等于测量结果的计算公式,数学模型要求： 数学模型应包括对测量不确定度有显著影响的全部输入量，没有遗漏； 不重复计算任何不确定度分量。,建立数学模型的步骤： 根据测量原理设法从理论上导出初步的数学模型, 将初步模型中未能包括的对测量不确定度有显著影响的输入量一一补充，使数学模型不断完善；如果给出的测量是经过修正的，还应该考虑修正值不完善所引入的不确定度分量。,两种数学模型 透明箱模型 当对测量原理了解比较透彻时，数学模型可以从测量的基本原理直接得到 。 黑箱模型 在许多测量中，有一些输入量对测量结果的影响无法像透明箱模型那样能用解析的形式表示，这时只能根据经验来估计输入量对测量结果的影响。,透明箱模型举例 用比较仪测量量块长度测量时，若比较仪测得的标准量块和被测量块长度差为l，则被测量快长度的计算公式为 l=ls+l 根据规定，检定证书上给出的量块长度应是在20度下的长度 、 s测量状态下被测量快和标准量块的温度相对于20度的偏差 、 s被测量快和标准量块的线性膨胀系数 ll三 , ss1，1，展开上式并忽略二阶小量得： 其中 = -s， =-s。消除和s，和s之间的相关性。,黑箱箱模型举例 在开阔场测量电子设备的辐射发射场强时，待测EUT辐射发射场强的计算公式为： V(dB)是测量接收机的表头读数 A(dB)是测量天线的天线校正系数 C(dB)是电缆损耗的校准因子,但是，考虑到其它各种影响不确定度分量后，其数学模型成为：,Rs(dB)接收机校准示值修正因子 Ad(dB)天线方向性修正因子 Ah(dB)天线高度变化修正因子 Ap(dB)天线中心相位变化修正因子 Ai(dB)频率插值修正因子 Dv(dB)测量距离修正因子 Si(dB)场地不完善修正因子 Mm(dB)接收机与天线失配修正因子,3、测量不确定度分量的评定方法 （1）A类评定 对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，标准不确定度以标准偏差来表征，以实验标准差s作为其估计值 。 具体方法有： 贝塞尔法 合并样本标准差 最小二乘法（略） 专门的方差分析法（略）,贝塞尔法,测量次数n不能太小，一般要求n不小于10,合并样本偏差法,适用于对被测量作n次独立观测，并且有m组数据,以算术平均值作为测量结果时，测量结果的标准不确定度为,（2）标准不确定度的B类评定 适用于无法用统计计算法求得不确定度的分量 信息来源： 以前测量的数据； 经验和对有关仪器性能或材料特性的一般知识； 厂商的手册或技术说明书中的技术指标； 检定证书、校准证书、测试报告及其它提供数据的文件； 引用的手册或资料给出的参考数据和不确定度； 国际上所公布的常量、常数等。,如果信息来源于检定证书或校准证书，在检定证书或校准证书均给出测量结果的扩展不确定度和包含因子，被测量x的标准不确定度为：,k和U(x)分别为包含因子和扩展不确定度。,如果信息来源于其它，他们给出极限范围，分析判断被测量的可能值的区间（-a,a），估计包含因子k，被测量x的标准不确定度为：,4、测量不确定度的合成 （1）测量结果的标准不确定度包含若干个不确定度分量，且互不相关，合成标准不确定度为,（2）如果被测量是由N个其他量的函数关系确定,(2-54),测量结果的合成标准不确定度为uc(y)当xi间彼此不相关时,如果有相关性存在，还要考虑相关性的影响。,5、给出扩展不确定度 扩展不确定度用U表示，由合成不确定度乘覆盖因子得到：,K的确定 （1）被测量接近于正态分布 给定的置信概率P，覆盖因子k为一个具有给定置信概 率的覆盖因子kp,首先应计算各个分量的自由度和合成标准 不确定度的有效自由度veff，按给定置信概率P由t分布表查 得包含因子kp，,（2）无法判断被测量的分布 一般取k等于2或3，大多数取k等于2，此时扩展不确 定度用U表示，此时无法知道扩展不确定度对应的置信概 率。,（3）被测量为某种非正态分布的其它分布 若可以判断被测量接近某种已知的非正态分布，例如均匀分布、三角分布、梯形分布等，则可由分布的概率密度函数以及规定的置信概率计算出包含因子k。扩展不确定度用Up表示为,习题和思考题,习题 2-1, 2-8, 2-9, 2-12, 2-15, 2-16, 2-17, 2-19 选作 2-21 有兴趣的，阅读标记为*的章节,2-1 某被测电压的实际值在10V左右，现用150V、0.5级和15V、1.5级两块电压表，选择哪块表测量更合适。,2-8 用电压表和电流表测量电阻值可用下图所示的两种电路，,设电压表内阻为Rv，电流表内阻为Rx，试问两种电路中由于Rv和RA的影响，被测电阻Rx的绝对误差和相对误差是多少？这两种电路分别适用于测量什么范围的阻值？ 2-9 用电桥测电阻Rx，电路如题下图所示，电桥中Rs为标准可调电阻，利用交换Rx与Rs位置的方法对Rx进行两次测量，试证明Rx的测量值R1及R2的误差R1及R2无关。,2-12 对某信号源的输出电压频率进行8次测量，数据如下（单位Hz）： 1000.82,1000.79,1000.85,1000.84,1000.78,1000.91,1000.76,1000.82 (1)试求其有限次测量的数学期望与标准差的估计值。 (2)若测量时无系统误差，给定置信概率为99%，那么输出频率的真值应在什么范围？,2-15 对某信号源的输出频率f进行了10次等精度测量，结果为（单位kHz）： 110.105,110.090,110.090,110.70,110.060,110.050,110.040,110.030,110.035,110.030。试用马利科夫及阿卑-赫梅特特判据判别是否存在变值系差。 2-16 对某电阻的9次测量值如下（单位k） 10.32,10.28,10.21,10.41,10.25,10.31,10.32,100.4 试用莱特准则和格拉布斯准则（对应99%的置信概率）判别异常数据，并讨论在本题的情况下应采用哪种准则。 2-17 用两种不同方法测量同一电阻，若在测量中皆无系统误差，所得阻值（）为： 第一种方法：100.36,100.41,100.28,100.30,100.32,100.31,100.37,100.29, 第二种方法：100.33,100.35,100.29,100.31,100.30,100.28。 （1）若分别用以上两组数据的平均值作为该电阻的两个估计值，问哪一估计值更为可靠？ （2）用两种不同测量方法所得的全部数据，求被测电阻的估计值（即加权平均值）。,2-19 将下列数字进行舍入处理，要求保留三位有效数字。 54.79,96.3724,500.028,21000,0.003125,3.175,43.52,58350 2-21 参考例2-2-6的解题过程，用C语言或MATLAB设计测量数据误差处理的通用程序，要求如下： （1）提供测试数据输入、中间计算结果、粗大误差判别准则选择等的人机界面； （2）编写程序使用说明； （3）通过实例来验证程序的正确性。,