《Laplace变换》PPT课件.ppt

第二部分 积分变换,拉普拉斯(Laplace)变换,第八章 Laplace变换,本章学习目标 1、Laplace变换的概念; 2、Laplace变换的性质; 3、Laplace逆变换; 4、常微分方程的Laplace变换解法.,1. Laplace变换的概念,傅氏变换对函数绝对可积的要求是比较强的,甚至很多初等函数也不满足这个条件, 例如: 指数函数, 线性函数以及幂函数. 另外, 实际应用中许多以时间为自变量的函数在 内无定义,对这样的函数就不能作Fourier变换. 鉴于上述及其其它更多的理由, Laplace变换应运而生.,从Fourier变换到Laplace变换,下面我们通过三个数学过程来引入Laplace变换:,(1),(2),(3),拉氏变换是对傅氏变换 的一种改造(推广)！,L,Laplace变换存在定理,L,L,几点说明：,例1,解,例2,解,取k=0,例3,解,例4,解,L,L,L,L,L,L,L,L,L,L,熟记几个常用的公式:,Laplace变换的收敛域是各个收敛域的公共部分!,2. Laplace变换的性质,假定凡是需求拉氏变换的函数都满足拉氏积分定理中的条件.,1 线性性质,设,为常数则,2 像原函数的延迟(时移)性质,若,则对任意实数,L,L,L,L,L,L,L,3 像函数的（或s域）平移性质,若,为复常数,则,L,L,L,L,例5,解,L,L,4 像原函数的微分性质,则,若,一般地,则,分部积分,L,L,L,L,含n+1项,像函数的微分性质,若,则,一般地,有,L,L,L,像函数的导函数等于它的像原函数乘以一个因子-t的拉氏变换,例1,解,L,L,L,例2,解,L,像原函数的微分性质,像函数的微分性质,例3,解,L,根据像函数的微分性质:,有,L,L,利用拉氏变换的性质，凑！,利用拉氏变换的某些性质和一些已知的拉氏变换对，可求出某些像函数的拉氏逆变换！,5 像原函数的积分性质,需要条件！,一般地,n层积分,L,L,L,L,L,L,L,L,L,L,L,一个函数积分后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以因子s,像函数的积分性质,一般地,n层积分,L,L,L,L,像函数积分等于它的像原函数除以一个因子t的拉氏变换,例4,解,L,L,L,L,像函数的积分性质,例6,解,L,L,L,L,L,L,分析方向,求解方向,利用Laplace变换的性质可计算某些广义积分,设,L,有,定义,微分性质,积分性质,若当s取某个实数k时, 上述各式左端的广义积分均收敛,则可在上述各式的右端以s=k代入来间接求得各广义积分的值.,特别, 取k=0,例7,计算下列积分:,解,L,L,像函数的积分性质（8.9）,视3为s,7 卷积与卷积定理,定义4.1,事实上,例8,解,卷积定理,L,L,L,L,o,例9,解,L,L,L,L,利用拉氏变换的某些性质和一些已知的拉氏变换对，可求出某些像函数的拉氏逆变换！,3. Laplace逆变换-围道积分法,反演积分公式的推导,这是求像函数的拉氏逆变换的一般公式, 称为反演积分公式. 右端的积分称为反演积分.,如何计算上面的积分？,利用留数计算反演积分-留数法,定理3.1,例1,解,L,4. 常微分方程的Laplace变换解法,一般步骤：,例1,解,L,例2,解,L,L,例3,解,例4,解,L,L,L,例5,解,L,L,盗贼与先知，信奉的是同一个上帝。似乎相同的信仰里，却有绝然相反的人格。,一句哲语：,