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第一章 集合论,集合是最基本的数学概念，没有定义 集合是所有数学的基础 两种集合论 朴素集合论：直观描述集合的概念，有悖论 公理集合论：用一组公理刻画集合的性质，有不 完备性,1.1 集合的概念和术语,集合的描述：一些对象的全体作为一个整体 定义1 . 集合的元素（成员） ， 常用大写字母表示集合，小写字母表示元素。 N：自然数的集合（自然数集） Z：整数的集合(整数集),Z+=N R：实数的集合(实数集),R+：正实数的集合（正实数集） Q：有理数的集合（有理数的集），Q+：正有理数的集合（正有理数集）,表示集合的方法 列（枚）举法： 1，2，3，1，2，3，1，2，100 谓词法（概括法）： xp(x) ，满足性质p的所有元素所构成的集合 xxZ+，且x2100 文氏图： 用来示意集合的图形，可直观地表示集合间的关系 矩形表示全集合，圆表示其他集合,空集（记为）：不含任何元素的集合，是最基本的集合 有限集：只含有限个元素的集合 无限集：含无限多个元素的集合 全集（常记为U或E）： 所考虑的问题域中，所关心的所有元素组成的集合 在数论中，全集是N,定义2 集合的相等 集合中元素的序无关性、重复无关性 1，2，3=2，3，1=1，1，3，3，3，2 定义3 子集和包含关系（、）、真子集和真包含关系（、 ） 任意集合S都有两个平凡子集：S和 文氏图对集合间的关系有很好的直观表示 ABx(xAxB) A=BAB 且BA,定理1 集合包含关系的性质 集合A、B、C，有 自反性：AA 反对称性：AB 且BA A=B 传递性：AB 且BC AC 证明：（1）对于任何A中的元素它必属于自身，所以自反性显然是成立的。 (2) 假设AB，则存在一个元素a，它属于A但不属于B，或者是它属于B但不属于A。若是前者，则这与AB矛盾，若为后者，则与B A矛盾。所以A=B (3) 对于任意的aA，因为A B，所以aB，而B C，所以aC。这就得出了A C。,定义4. 集合的基数S：S中的元素个数 =0， 1,3,5=3，N =a，R=c 集合族：集合的集合，即集合中的每个元素都是集合 A1=1, 2，A2=1, 2 1, 1,2， N, R, Q，A1, A2，A1, A2, A3, 下标集：集合族中的元素用带下标的字母表示，所有下标组成的 集合 1, 2, 3是集合族A1, A2, A3的下标集 N是集合族A1, A2, A3,的下标集 AxxR, Ax=x =? 下标集?,习题 1. 用集合构造符号，给出集合-3，-2，-1，0，1，2，3的描述。 2.对下列集合，判断2是否它的一个元素。 a) xR | x是大于1的整数 b) xR | x是某整数的平方 c)2，2 d)2，2 e)2，2，2 f)2,
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