专题中点的妙用

中点的妙用教学目标：运用三角形的中位线，延长过中点的线段构造全等三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质，或直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解决有关中点的问题重点：中点方法的灵活运用难点：解决中点问题的能力【方法指导】与中点有关的图形问题，是初中数学的重要题型，除了线段的中点的定义，我们又学过很多与中点有关的重要结论。联想是一种非常重要的数学思想，善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？当你看到这个专题后，能给你带来一定的启示。看到中点该想到什么？下面介绍四种在做题过程中最常用又使很多学生纠结的方法:1、等腰三角形+底边的中点，“三线合一”要出现。2、直角三角形+斜边的中点，“斜边上的中线等于斜边的一半”要出现。3、三角形+两边的中点，“三角形的中位线”要应用。4、线段的中点+平行线，“八字型的全等”要出现。意思是：遇到两条平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形；这个方法来源于梯形的一种作辅助线方法：“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形。（如图）5、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；6、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”【知识回顾】等腰三角形的底边上的 、 和顶角的 三线合一。直角三角形斜边上的中线等于 。三角形中位线定理： 【题型赏析】一、等腰三角形+底边的中点，“三线合一”要出现。例1：如图，在ABC中，A=90，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM，请你判断OMN的形状，并说明理由点拨：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质解答该题的关键一步是根据等腰直角三角形ABC的“三线合一”的性质推知OA=OB=OC练习：如图1所示，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MNAC于点N，则MN等于（ ）A B C D二、直角三角形+斜边的中点，“斜边上的中线等于斜边的一半”要出现例2：如图，在四边形ABCD中，DAB=DCB=90，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点（1）求证：MNAC；（2）当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长点拨：本题综合考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理解题时，通过作辅助线AM、MC构建了直角三角形斜边上的中线，然后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来解答问题三、三角形+两边的中点，“三角形的中位线”要运用。常用的辅助线：三角形两边有中点，构造中位线；两线段有中点，构造三角形；取中点 ,连中位线。三角形两边有中点，构造中位线；例3：已知：ABC中，AD是BC中线，E、F分别是AB、AC中点.求证：AD、EF互相平分.点拨：本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，证明两条线段互相平分常用的方法是转化为平行四边形的判定两线段有中点，构造三角形；例4：如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边中点，求证四边形EFGH是平行四边形。点拨：此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半（8）归纳总结：如图，在任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，回答问题：连结AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形 EFGH是 ；对角线AC、BD满足条件 时，四边形 EFGH是矩形。对角线AC、BD满足条件 时，四边形 EFGH是菱形。对角线AC、BD满足条件 时，四边形 EFGH是正方形。变式：在四边形ABCD中，若ABCD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：四边形EFGH是菱形。 变式：如图：点E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH是什么图形？并说明理由。“取中点 ,连中位线”例5：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD求证：OM=ON点拨：本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是构造三角形的中位线运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明。一、线段的中点+平行线，“八字型的全等“要出现。例6：已知如图，梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，DECE，求证：AD+BC=DC。点拨：本题考查梯形的知识，因为点E是中点，所以应该联想到构造“八字型”全等三角形，这是经常用到的解题思路，同学们要注意掌握例7：如图，ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：ABAD点拨：因为点E是中点，所以联想到构造“八字型”全等三角形，但是缺少了平行线的条件，因此我们要通过作平行线创造条件，这也是经常用到的解题思路练习：（2010雅安）如图，已知点O是ABC中BC边上的中点，且，则= 。 （2004十堰）如图，已知ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线交于点F，若DE=EF，求证：BD=CF例8：如图，E是正方形ABCD边AB的中点，DFCE于点M说明：AM=AD点拨：本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及相似三角形的判定与性质，作辅助线是解题的关键。练习：1、已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点，CE=AC，F是AE的中点（1）求证：BFDF；（2）若AB=8，AD=6，求DF的长2、（2012广州25题）如图10，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD中点，CEAB于点E，设ABC= （1）当时，求CE的长；（2）当，是否存在正整数，使得EFD=AEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由课后练习1、填空题：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是_.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是_;顺次连结矩形各边中点所得的四边形是_;顺次连结菱形各边中点所得的四边形是_;顺次连结正方形各边中点所得的四边形是_;顺次连结梯形各边中点所得的四边形是_;顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是_;2、（2011无锡）如图，在RtABC中，ACB=90，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= cmAEBFCGDH3、已知如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点。若AB2，AD4，则图中阴影部分的面积为（ ）A3 B4 C6 D84、如图，已知矩形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（ ）A：线段EF的长逐渐增大。 B：线段EF的长逐渐减少。C：线段EF的长不变。 D：线段EF的长不能确定。5、（2010攀枝花）如图所示，在ABC中，BCAC，点D在BC上，且DC=AC，ACB的平分线CF交AD于点F点E是AB的中点，连接EF（1）求证：EFBC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求ABD的面积6、如图，在梯形ABCD中，ADBC，若E，F，G，H分别是梯形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点（1）求证：四边形EFGH平行四边形；（2）当梯形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形；（3）在（2）的条件下，梯形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形7、在ABCD的对角线相交于点O. E、F、P分别OB、OC、AD的中点，且AC=2AB求证：EP=EF8、（2009绥化）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则BME=CNE（不必证明）（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交CD、BA于点M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论.（2）如图（3）中，在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC=60，连接GD，判断AGD形状并证明.