三角函数学案

第五章三角函数学案（1）角的推广（一）目标1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”负角”“象限角”“终边相同的角”的含义；2.掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法；3体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念.复习1初中是如何定义角的？2初中我们所接触的角的范围是新课“（初中所学习的角的意义是否有些狭隘？（在体操比赛中我们经常听到这样的术语：转体720”（即转体2周），转体1080”即转体3周）；如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？在奥运会上跳水运动员的跳水难度系数经常有转体多少多少度，这些度数是否超过了我们初中所学角的范围？）1角的新定义：（请试着标出关键词）2推广后的角可以如何进行分类？3什么叫解析法？4象限角是如何定义的？5什么叫做终边相同的角？6试着在0到2000范围内写出与30的终边相同的角.观察有没有什么规律，这样的规律如何表示.结论：所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：7相等的角终边一定相同，那终边相同的角一定相等吗？例1在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)-120(2)640(3)-95012例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在-360720间的角写出来：（1）60（2）21（3）36314.练习1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？090的角是锐角吗？2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420(2)75(3)855(4)510“注意:以后凡是没有给出始边落在x轴的正半轴上”都默认为此条件.作业1下列命题中正确的是()（A）终边在y轴非负半轴上的角是直角（B）第二象限角一定是钝角（C）第四象限角一定是负角（D）若a360（Z），则a与终边相同2与120角终边相同的角是()（A）600k360，Z（B）120k360，Z（C）120(2k1）180，Z（D）660k360，Z3若角a与终边相同，则一定有()（A）a180（B）a0（C）a360，Z（D）a360，Z4与1840终边相同的最小正角为，与1840终边相同的最小正角是.5今天是星期一，100天后的那一天是星期，100天前的那一天是星期.6钟表经过4小时，时针与分针各转了(填度).7在直角坐标系中，作出下列各角(1)360(2)720(3)1080(4)14408已知A锐角，B0到90的角，C第一象限角，D小于90的角求:AB，AC，CD，AD.9将下列各角表示为a360（Z，0a360）的形式，并判断角在第几象限（1）56024（2）56024（3）290315（4）290315（5）3900（6）390010写出终边落在第一象限角的角集合:写出终边落在第二象限角的角集合:写出终边落在第三象限角的角集合:写出终边落在第四象限角的角集合:11试写出终边落在x轴正半轴的所有角的集合:学案（2）角的推广（二）目标1巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法；2掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；3体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题.复习1角的概念的推广.2正角、负角、零角.3象限角、终边相同的角.4写出终边在y轴上的角的集合.5写出所有轴上角的集合.6用区间的形式表示象限角.7写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界).2是第几象限角？2a的终边落在哪里？分别加以说明.8已知a是第二象限角，问a（C）AUBC（D）ABC练习1若Aaak360，kZ；Baak180，kZ；Caak90，kZ，则下列关系中正确的是()（A）ABC（B）ABIC2若a是第四象限角，则180a是()（A）第一象限角（B）第二象限角（C）第三象限角（D）第四象限角3.若a与的终边互为反向延长线，则有()（A）a180（B）a180（C）a（D）a（21）180，Z4终边在第一或第三象限角的集合是.5.a为第四象限角，则2a的终边在;角a45+90的终边在第象限.作业一1写出与37023终边相同角的集合S，并把S中在720360间的角写出来.a2.在直角坐标系中作出角=k180+60，kZ，b=k90+60，kZ角的终边.3写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界).4.已知角a是第三象限角,试判断aa,的终边落在什么位置.235.经过3小时35分钟,时钟与分钟转过的度数之差是.6.集合A=a|a=60+k360,kZ,B=a|a=60+k270,kZC=a|a=60+k180,kZ那么集合A,B,C的关系如何?作业二1在a|360a1440中与2116终边相同的角有()（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2.在a|360a1620中与2116终边相同的角有()（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个3.角a45180，Z的终边落在()（A）第一或第三象限（B）第一或第二象限（C）第二或第四象限（D）第三或第四象限4.第二象限角的集合可表示为.5.角a的终边落在一、三象限角平分线上，则角a的集合是.6.角a是第二象限角，则180a是第象限角；a是第象限角；180a是第_象限角.学案（3）弧度制目标1理解弧度制的定义；2掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；3熟记特殊角的弧度数.复习1角的概念的推广.2正角、负角、零角.3象限角、终边相同的角.4写出终边在y轴上的角的集合.5.写出所有轴上角的集合.6.用区间的形式表示象限角.新课1.什么是弧度制？2.弧度与角度如何进行转换？3.试理解下图正角零角负角正实数零负实数4.弧长公式与扇形面积公式：例1把6730化成弧度例2把3prad化成度5注意几点：1度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；“2今后在具体运算时，弧度”二字和单位符号“rad”可以省略.如：3表示3rad，sinp表示prad角的正弦；3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：a030456090120135150180270360弧度例3用弧度制表示：1.终边在x轴上的角的集合2.终边在y轴上的角的集合3.终边在坐标轴上的角的集合练习1.下列各对角中终边相同的角是()（A）p和-2p2+2kp（Z）（B）p22和337p11p20p122p（C）和（D）和99392.若a3，则角a的终边在()（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3.若a是第四象限角，则a一定在()（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为，第一或第三象限角的集合为.5.7弧度的角在第象限，与7弧度角终边相同的最小正角为.6.圆弧长度等于其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为.3tan7.(选做)求值：sinpp3+tanp6cosp6-tanp4cosp2.8.已知集合Aa2a2，Z，Ba4a4，求AB.9.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.作业已知a是第二象限角，试说明下列各角终边所在位置：(1)aa(2)(3)2a23学案（4）三角函数的定义目标1.理解并掌握任意角三角函数的定义；2.理解三角函数是以实数为自变量的函数；3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.新课在初中，我们对于三角函数的定义是基于直角三角形，而到了高中阶段，我们要在直角坐标系的圆里进行定义.1.设a是一个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离r=x2+y2=x2+y20.2比值yr叫做a的正弦记作：sina=yrxx比值叫做a的余弦记作：cosa=rry比值叫做a的正切记作：tana=xyx比值xy叫做a的余切记作：cota=xy比值rr叫做a的正割记作：seca=xx比值ry叫做a的余割记作：csca=ry2(kZ)时，终边上任意一点P根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角a，上述六个比值都不会随P点在a的终边上的位置的改变而改变.当角a的终边在纵轴上时，即a=kp+p的横坐标x都为0，所以tana、seca无意义；当角a的终边在横轴上时，即a（Z）时，终边上任意一点P的纵坐标都为0，所以cota、csca无意义，除此之外，对于确定的角a，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，统称为三角函数.3.探究:角是“任意角”，当b=2kpa(kZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等.实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用.三角函数是以“比值”为函数值的函数.r0而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.定义域：对于正弦函数sina=yy，因为0，所以恒rr有意义，即a取任意实数，yr恒有意义，也就是说sina恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义，因为x0时，域；对于正切函数tana=yy无意义，即tanaxx无意义，又当且仅当角a的终边落在纵轴上时，才有x0，所以当a的终边不在纵轴上时，yx恒有意义，即tana恒有意义，所以正切函数的定义域是akp+p2(kZ).从而有：akp(kZ)y=sinaaRy=cotapaRy=cosay=secaakp+(kZ)p2y=cscay=tanaakp+(kZ)akp(kZ)24.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.a(2)OP是角a的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)定义中只说怎样的比值叫做a的什么函数，并没有说a的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与a的终边位置无关.(4)比值只与角的大小有关.例1已知角a的终边经过点P(2，3)(如图)，求a的六个三角函数值.例2填表：a030456090120135150180270360弧度sinacosatanacotasecacsca例3（1）已知角a的终边经过P(4,-3),求2sinacosa的值（2）已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a0)求2sinacosa的值例4求函数y=练习cosxtanx+cosxtanx的值域1.若点P(3，)是角a终边上一点，且sina=-23，则的值是.2.角a的终边上一个点P的坐标为(5a,12a)(a0)，求sina2cosa的值.3.已知sina=2cosa，求sina-4cosa5sina+2cosa及sin2a+2sinacosa的值.sinq05已知tana=3，求下列各式的值.(1)4sina-cosa3sina+5cosa(2)sin2a-2sinacosa-cos2a4cos2a-3sin2a31(3)sin2a+cos2a42(5)sina+cosa11(7)+sinacosa(4)sinacosa(6)sina-cosa(8)sin6a+cos6a6若4sina-2cosa5cosa+3sina10，则tana的值为.学案（5）同角三角函数的基本关系（一）目标1掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2通过运用公式的训练过程，培养解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3.注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，培养思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的学习过程中，培养分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力.复习1.三角函数的概念.2.三角函数值的符号.新课例1已知sina=45，并且a是第二象限角，求a的其他三角函数值.例2已知cosa=-练习817，求sina、tana的值.1已知cosq=12，求tanq的值.2.已知sina+cosa=12，求下列各式的值.sin3acos3asin4acos4asin6acos6a1pp3.已知sinacosa，且a，则cosasina的值是多少.842学案（6）同角三角函数的基本关系（二）目标1掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2通过运用公式的训练过程，培养解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，培养思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的学习过程中，培养分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力.复习同角三角函数的基本关系公式：sin2a+cos2a=1sinacosa=tana=cotacosasinatanacota=1cscasina=1secacosa=1sin2a+cos2a=1sec2a-tan2a=1csc2a-cot2a=11“同角”的概念与角的表达形式无关，如：a2sina2=tanasin23a+cos23a=1cos22上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立.3一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号.sinacosa这些关系式还可以如图样加强形象记忆：对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系).任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系).新课例1化简：1-sin2440.tana1cotasecacsca例2已知a是第三象限角，化简1+sina1-sina-.1-sina1+sina例3求证：cosa1+sina=.1-sinacosa求sinq+的值.，例4已知方程2x2-(3+1)x+m=0的两根分别是sinqcosq，cosq1-cotq1-tanqx=sinq+cosq例5（选讲）消去式子中的q：y=tanq+cotq例6已知sina=2sinb,tana=3tanb,求cos2a.练习1已知cota=2，求的其余三个三角函数值.2已知：sina=15且tana0，试用定义求a的其余三个三角函数值.（1）1-cosq3已知角a的终边在直线y=3x上，求sina和cosa的值.p4化简下列各式，其中q(,p)21+cosq+1+cosq1-cosq（2）sinqtanq-sinq1-cosqtanq+sinq（3）sinq1-sin2q+1-cos2qcosq5求证：(2-cos2a)(1+2cot2a)=(2+cot2a)(2-sin2a).6已知aseca-ctana=d,bseca+dtana=c.求证：a2+b2=c2+d2作业（A）-31.已知sinacosa1-3，且0a，则tana的值为(23（B）-3（C）（D）3332.若sin4cos41，则sincos的值为()（A）0（B）1（C）1（D）13.若tancot2，则sincos的值为()（A）0（B）2（C）2（D）24.若tanacota=2，则sin4acos4a.5.若tan2acot2a2，则sinacosa.)6.求证1-sin6x-cos6x3=.1-sin4x-cos4x27已知tancot2，求sin3cos3的值.学案(7)诱导公式（一）目标1理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号；2理解并掌握诱导公式.复习1写出下面函数的定义域y=sinay=cotay=cosay=secay=tanay=csca2上述函数值的正负是什么样的.3终边相同的角的三角函数值有什么样的关系.4终边关于x轴对称的角的三角函数值有什么样的关系.5终边关于y轴对称的角的三角函数值有什么样的关系.6终边关于原点对称的角的三角函数值有什么样的关系.例1确定下列三角函数值的符号.4)(1)cos250（2）sin(-p例2求下列三角函数的值.（3）tan（672）(4)tan11p3(1)cos9p11p(2)tan(-)46例3求值：sin(1320)cos1110+cos(1020)sin750+tan4950练习1确定下列各式的符号(1)sin100cos240(2)sin5tan52x取什么值时,sinx+cosxtanx有意义?5已知q是第三象限角且cosq0，问是第几象限角？3若三角形的两内角a，b满足sinacosb0，则此三角形必为（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）以上三种情况都可能4若是第三象限角，则下列各式中不成立的是（）（A）sinacosa0（B）tana-sina0（C）cosa-cota0（D）cotacsca0q226已知1sin2q21，则q为第几象限角？(1)tan(-55612)(2)cos16作业1确定下列三角函数值符号：17p(3)cot(-p)58tan2a-cot2a11+-2.化简.sin2a-cos2acos2asin2a3.已知sin3acos3a=1,求下列各式的值：(1)sinacosa；(2)sin4acos4a学案（8）诱导公式（二）目标1复习诱导公式；2通过公式的应用，培养化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；3通过对诱导公式的学习，培养思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质.复习诱导公式：新课例1求下列三角函数值：（1）cos210；(2)sin5p4例2求下列各式的值：（1）sin(4p3)；(2)cos(60)sin(210)例3化简sin(1440+a)cos(a-1080)cos(-180-a)sin(-a-180)例4已知cos(a)=13p，22a2，则sin(2a)的值是（）（A）32（B）1233（C）（D）22（1）sin5p练习1求下式的值：2sin(1110)sin9602cos(-225)+cos(-210)2化简sin(2)cos(2)tan(24)所得的结果是（）（A）2sin2（B）0（C）2sin2（D）1作业1求下列三角函数值：19p；(2)cos；(3)sin(-240)；(4)cos(-1665)46sin3(-a)cos(5p+a)tan(2p+a)2化简：.cos3(-a-2p)sin(-a-3p)tan3(a-4p)3当q=5p4时，sinq+(2k+1)p-sin-q-(2k+1)psin(q+2kp)cos(a-2kp)(kZ)的值是_.6已知sin(a+p)=14求值：sin915+cos(-225)-sin1065.sin2(-a-p)cos(p+a)cosa5化简：.tan(2p+a)cos3(-a-p)3p，pa，则cos(-a-2p)的值是_.322cos3q-sin2(q+p)-2cos(-q-p)+1p7设f()=，求f()的值.2+2cos2(7p+q)+cos(-q)3学案（9）诱导公式（三）目标.能熟练掌握诱导公式，求任意角的三角函数值，并能进行简单的三角函数式的化简及论证复习诱导公式新课例1求下列三角函数的值(1)sin240；(2)cos5p7p；(3)sin（）46例2求下列三角函数的值(1)cos5p7p；(2)cos(150)；(3)sin.3431p10p例3求值：sin-cos-63例4求值：sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan855例5化简：sin(3p+a)cos(a-4p)cos(-a-5p)sin(-p-a)例6化简：sina+(2n+1)p+2sina-(2n+1)psin(a-2np)cos(2np-a)(nZ)例7求证：sin(a-3p)+cos(a-4p)cos(a-p)cos(p-a)+sin(a+p)sin(4p-a)cos(2p-a)=-tan(a-p)sin(a-p)例8求证1+cos(180+a)cos(-a)1+sin(360-a)sin(540-a)=tan3a例9已知cos(p+a)=-，13p22a2p求sin(2p-a)的值.例10已知1+tan(q+720)1-tan(q-360)=3+22,求cos2(p-q)+sin(p+q)cos(p-q)+2sin2(q-p)1cos2(-q-2p)的值.6a3，cos(a+3)=m(m0)，求tan(例11已知p2pp2p3-a)的值.2，则11已知sin(a)1练习cos(-a+7p)的值是（）(A)233(D)233(B)2(C)2332式子cos(-585)sin630+sin(-690)的值是（）3(D)24已知：集合P=x|x=sin(k-3)p3,kZ，集合(A)22(B)2(C)233a，是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（(A)sin(a)sin(B)cos()cosa(C)sin(a)cos()tan(D)cos(2)cos2a）Q=y|y=sin(-21-k)p3,kZ，则P与Q的关系是（）(A)PQ(B)PQ(C)P=Q(D)PQ=2-a)=cosa,cos(5已知sin(pp2-a)=sina对任意角a均成立若f(sinx)=cos2x，则f(cosx)等于（）(A)cos2x(B)cos2x(C)sin2x(D)sin2x6已知1-3cos(p-q)9，则cos(3p-q)cos(-q)-3=2sin(-q+5p)的值等于.5+cos7cosp2p3p5+cos5+cos4p5=.8化简：sin(-a)-sin(900-a)tan(a-360)-cos(180+a)-cos(-a-360)所得的结果是.9求证=cot3a.1-sin(180+a)sin(-a)1+cos(360-a)cos(540-a)10设f(x)=cos2(np+x)sin2(np-x)cos2(2n+1)p-x(nZ)，求f(p6)的值.学案（10）诱导公式（四）（选讲）目标能熟练掌握诱导公式一至四，并运用求任意角的三角函数值，同时学会关于90a,270a四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证.复习诱导公式一（其中kZ）：sin(a+k360)=sinacos(a+k360)=cosatan(a+k360)=tana诱导公式二：=sin(180+a）-sina=cos(180+a）-cosatan(180+a）=tana函数名不变，符号=诱导公式三：sin(-a）-sinacos(-a）=cosatan(-a）=-tana诱导公式四：sin(180-a）=sina=cos(180-a）-cosatan(180-a）=-tana新课诱导公式五：sin(90-a)=cosacos(90-a)=sinatan(90-a)=cota诱导公式六：sin(90a)=cosacos(90a)=-sinatan(90a)=-cota诱导公式七：sin(270-a)=-cosacos(270-a)=-sinatan(270-a)=cota诱导公式八：函数名改变，符号看象限例1.求证：222sin(270a)=-cosacos(270a)=sinatan(270a)=-cotap3ppsin(+a)-cos(-a)sin(4kp-a)sin(-a)=tan(2kp-a)+cot(-kp+a)pcos(5p+a)-cos(+a)2-a)+cos2(+a)的值。例2.求cos2(pp44例3.已知sinb=13，sin(a+b)=1,求sin(2a+b).例4.若f(cosx)=cos17x,求f(sinx).练习1计算：sin315-sin(-480)cos(-330).6+a)=，求cos(-a)的值.2已知cos(p35p36学案（11）两角和与差的余弦公式目标1理解平面上的两点间距离公式，并能运用两点间距离公式推导出两角和与差的余弦公式，会初步运用解决具体问题；2初步理解解析法解决问题的方法，培养运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力；3培养探索和创新的能力和意识.新课问题1：试求平面内任意两点P(x,y)，P(x,y)间的距离.111222问题2：已知A(1,5),B(4,7)求|AB|.问题3：cos(a+b)cosa+cosb,那么cos(a+b)=？问题4：cos(a-b)=？例1.计算cos105cos15cosp3pp3pcos-sinsin105510例2.已知sina=312，cosb=求cos(ab)的值.513例3.已知cos(2a)=0p,求cos(a)的值.443711pp,sin(a2)=,且a,14421已知cos(a-b)=,求(sinasinb)2(cosacosb)2的值.练习132sina-sinb=-11pp，cosa-cosb=，a(0,),b(0,),求cos(a-b)的值.2222学案（12）两角和与差的正弦公式目标能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，进而推得两角差的正弦公式，并进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形.复习1两角和与差的余弦公式:cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb2求cos75的值.3计算：cos65cos115-cos25sin1154计算：-cos70cos20sin110sin205(选讲)已知锐角a,b满足cosa=35cos(ab)=-求cosb.513新课两角和与差的正弦：1推导sin(ab)=2推导sin(a-b)=例1不查表，求下列各式的值：（1）sin75（2）sin13cos17cos13sin17例2求证：cosa3sina=2sin(p6a)例3已知sin(ab)=22tana,sin(a-b)=求的值.35tanb练习1在ABC中，已知cosA=54，cosB=，则cosC的值为（）135（A）（B）（C）或（D）-1656p31656166565656565p3pp3p52已知a，0b，cos(+a)=-，sin(+b)=，44445413求sin(ab)的值.作业1已知sinasinb=22，求cosacosb的范围.2已知sin(ab)=11tana，sin(a-b)=，求的值.210tanb学案（13）两角和与差的正切公式目标能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式复习1两角和与差的正、余弦公式cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinbsin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinb2(选讲)求证：cosxsinx=2sin(x+p4)（辅助角公式）.3已知sinasinb=34，cosacosb=，求cos(a-b).55新课两角和与差的正切公式：