五年级下册奥数专题牛吃草问题

牛吃草问题知识要点一、定义英国大科学家牛顿在他所著的普通算术一书中曾提出一个有趣的数学问题（格尔为牧 场面积单位）：有三片牧场 , 场上的草长得一样密 , 并且长的速度一样快 , 它们的面积分别是三又三分之 一格尔、10 格尔和 24 格尔。第一片牧场的草饲养 12 头牛可以吃 4 个星期,第二片牧场的草 饲养 21 头牛可以吃 9 个星期,问在第三片牧场上放多少头牛可以吃 18 个星期？这个问题被人们称为牛顿问题,也就是我们平常说的牛吃草问题。二、特点牛吃草问题其实就是消长问题,问题的主要特征是：同一个数量一方面增加,另一方面减 少, 朝两个方向同时变化。如牛吃草问题中 ,草生长使草量匀速增加 , 牛吃草却使草量逐渐减 少。在“牛吃草”问题中,因为草每天都在生长,草的数量在不断变化,也就是说这类问题的 工作总量是不固定的,一直在均匀变化。数量关系分析：在牛吃草问题中,我们一般把一头牛一天的吃草量看作一个单位的草量,作为牧草的计量 单位。在这个问题中,主要研究牧场原有草量、每日新增草量（即牧草生长速度）、牛的饲养数 量、饲养时间,这四个数量之间的关系。一头牛一天吃一个单位的草量。如果养牛头数等于或小于每日新增草量,则无需动用牧场原有草量,这个牧场就会像个聚 宝盆一样,供这些牛永远吃下去,草永远吃不完；如果养牛头数大于每日新增草量,我们可以理解为,每日新增的草先喂养了同等数量的牛, 而多出的牛则需要吃牧场原有的草,牧场中原有的草可以供这些多出的牛吃多少天,这个牧场 草就可以供这些牛吃多少天。（原有的草吃完了,新增草未生长,就理解为牧场的草吃完了。）此类问题中的基本数量关系有：牛的头数对应的吃的天数总草量；牛的头数每日新增草量数多出牛的头数；每日新增草量（较长时间总草量同一牧场较短时间总草量）相差天数；原有草量对应总草量每日新增草量天数；吃的天数原有草量多出牛的头数；牛的头数原有草量天数每日新增草量数。【解题方法介绍】：上面牛顿提出的牛吃草问题,比较复杂（三片面积不同的牧场）,需要进行几次转化解题。 本讲只学习较简单的牛吃草问题（同一片牧场）,及数量关系、解题方法与之相似的消长问 题。解题时,一般要先根据题中的条件（每日消耗数量等）,先求出每日新增数量和原有数量, 再根据上面的数量关系,求出对应的时间或个体数量。典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变 ,不同头数的牛吃光同一片草地 所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天 在生长,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用的四个基本公式,分别是：设定一头牛一天吃草量为“1”1 草的生长速度=（对应的牛头数吃的较多的天数相应的牛头数吃的较少的天数） （吃的较多的天数吃得较少的天数）2 原有草量=牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数3 吃的天数=原有草量（牛头数草的生长速度）4 牛头数=原有草量吃的天数+草的生长速度由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中 找到不变量。牧场上原有的草是不变的 ,新长的草虽然在变化 ,但由于是匀速生长 , 所以每天 新长出的草量应该是不变的。正由于这个不变量,才能导出上面的四个基本公式。牛吃草的问题经常给出不同头数的牛吃同一片草地 ,这地既有原有的草 ,又有每天新长出的 草。由于吃草的牛头数不同,求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题的关键：是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地 里原有的草量,进而解答问题。解决多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题 ,一般情况下找多块草地的最小公倍数 ,这样可以减少运算难度 , 但如果数据较大时,我们一般把面积统一为“1”相对简单些。精解名题例 1 牧场上长满牧草,每天都匀速生长。这片牧场可供 27 头牛吃 6 天或 23 头牛吃 9 天。问 可供 21 头牛吃几天？【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量即原 来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然 在变,但应注意到它是匀速生长的,因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。举一反三【思考 1】一片草地,每天都匀速长出青草,如果可供 24 头牛吃 6 天,或 20 头牛吃 10 天,那 么可供 18 头牛吃几天？例 2 因天气寒冷,牧场上的草不仅不生长,反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草 可供 33 头牛吃 5 天,可供 24 头牛吃 6 天,照此计算,这个牧场可供多少头牛吃 10 天?【分析】与例 1 不同的是,不但没有新长出的草,而且原有的草还在匀速减少,但是, 我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量举一反三【思考 2】由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以固定的速度在减少,经计算,牧场上的草可 供 20 头牛 吃 5 天,或可供 16 头牛吃 6 天。那么,可供 11 头牛吃几天？总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的 ,新长出的草虽然在变化 , 但是因为是匀速生长,所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天 新长出的草,问题就会迎刃而解。知识衍变例 3 两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬,两只蜗牛的爬行速度是不同的, 一只每天爬行 20 分米,另一只每天爬行 15 分米。黑夜往下滑,两只蜗牛滑行的速度却是相同 的,结果一只蜗牛恰好用了 5 个昼夜到达井底,另一只恰好用了 6 个昼夜到达井底。那么,井 深多少米？例 4 一条船有一个漏洞,水以均匀的速度漏进船内,待发现时船舱内已进了一些水。如果用 10 人舀水,3 小时舀完。如果只有 5 个人舀水,要 8 小时才能舀完。现在要想在 2 小时舀完, 需要多少人舀水？【分析】典型的“牛吃草”问题,找出“牛”和“草”是解题的关键解析： 把每人每小时舀水量看作一份。船内 8 小时总水量与 3 小时总水量之差,就是多出 5 小时进船的水。先求出船内每小时 进水量：（58103）（83）2（份）；再用 3 小时后船内总水量,减去 3 小时的进水量,求出发现漏水时船内已有进水量：1032324（份）；最后用 2 小时后船内总水量除以时间 2 小时,求出安排舀水的人数：（2422）214（人）。举一反三【思考 4】一个水池,池底有泉水不断涌出,用 10 部抽水机 20 小时可以把水抽干,用 15 部相 同的抽水机 10 小时可把水抽干。那么用 25 部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？例 5 有一牧场长满牧草,牧草每天匀速生长,这个牧场可供 17 头牛吃 30 天,可供 19 头牛吃 24 天,现在有若干头牛在吃草,6 天后,4 头牛死亡,余下的牛吃了 2 天将草吃完,问原来有牛 多少头？【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长,所研究的量也等量地增加。解答时,要抓住 这个关键问题,也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。举一反三【思考 5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 27 头牛吃 6 天,或供 23 头牛 吃 9 天,现有一群牛吃了 4 天后卖掉 2 头,余下的牛又吃了 4 天将草吃完。这群牛原来有多少 头？25 头。设每头牛每天的吃草量为 1 份。每天新生的草量为（：239-276）（20-10） =15 份,原有的草量为（27-15）6=72 份。如两头牛不卖掉,这群牛在 4+4=8 天内吃草 量 72+158+24=200 份。所以这群牛原来有 2008=25 头例 6 有三块草地,面积分别为 5 公顷,6 公顷和 8 公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一 样快,第一块草地可供 11 头牛吃 10 天,第二块草地可供 12 头牛吃 14 天。第三块草地可供 19 头牛吃多少天？【分析】由题目可知,这是三块面积不同的草地,为了解决这个问题,首先要将这三块草地的 面积统一起来。备选例题1、 画展馆 9 时开门,但是早有人前来排队等候入场,从第一个观众到起,每分钟来的观众人 数一样多。如果开 3 个入场口,9 时 9 分就不再有人排队；如果开 5 个入场口,9 时 5 分就没有 人排队,问第一个观众到达的时间是几时几分？【解析】：把每分钟每个入场口的人流量看作一份。3 个入场口 9 分钟入场总人数与 5 个入场口 5 分钟入场总人数的差,就是多出 4 分钟新增 加的人数。先求出展馆门口每分钟新增人数：（9355）（95）0.5（份）；再求出开门时,已有人数：9390.522.5（份）；最后求出展馆门口累计 22.5 份人数的时间：22.50.545（分钟）。9 时45 分钟8 时 15 分所以第一个观众到达的时间是 8 时 15 分。2、 某水库建有 10 个泄洪闸,现在水库的水位已经超过安全警戒线,上游的河水还 在按一不变的速度增加。为了防洪,需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同,经测算, 若打开一个泄洪闸,30 小时水位降到安全线,若打开两个泄洪闸,10 小时水位降到安全 线。现在抗洪指挥部要求在 5.5 小时内使水位降到安全线,问：至少要同时打开几个闸 门？4 个设 1 个泄洪闸 1 小时的泄水量为 1 份。（1）水库中每小时增加的上游河水量：（130-210）（30-10）=0.5 （份）（2）水库中原有的超过安全线的水量为：130-0.53015（份）（3）在 5.5 小时内共要泄出的水量是： 15+0.55.5 17.75（份）（4）至少要开的闸门个数为：17.755.54（个）（采用“进 1”法取值）巩固练习1.一块牧场长满了草,每天均匀生长。这块牧场的草可供 10 头牛吃 40 天,供 15 头牛吃 20 天。可供 25 头牛吃天。 （ A. 10 B. 5 C. 20A）假设 1 头牛 1 天吃草的量为 1 份。每天新生的草量为： (1040-1520)（40-20）=5（份）。 那么愿草量为： 1040-405=200 （份）,安排 5 头牛专门吃每天新长出来的草 ,这块牧场可供 25 头 牛吃：200（25-5 ）=10 （天）。2.一块草地上的草以均匀的速度生长,如果 20 只羊 5 天可以将草地上的草和新长出 的草全部吃光,而 14 只羊则要 10 天吃光。那么想用 4 天的时间,把这块草地的草吃光,需要只羊。（B）A. 22 B. 23 C. 24假设 1 只羊 1 天吃草的量为 1 份。每天新生草量是：（1410-205）（10-5 ）=8 （份）原草 量是：205-8560（份）安排 8 只羊专门吃每天新长出来的草,4 天时间吃光这块草地共需羊： 604+8 23（只）3经测算,地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年,或 可供 80 亿人生活 300 年。 假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么,为了满足人类不断发展的要求,地球最 多只能养活（ 70 ）亿人。设 1 亿人 1 年所消耗的资源为 1 份那么地球上每年新生成的资源量为：（80300-100100 ）（300-100）=70（份）只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时 , 地球上的资源才不至于逐渐减少 ,才能满足人 类不断发展的需要。所以地球最多只能养活： 701=70 （亿人）4. 快、中、慢三车同时从 A 地出发,追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别 是每小时 24 千米、20 千米、19 千米。快车追上自行车用了 6 小时,中车追上自行车用 了 10 小时,慢车追上自行车用（ 12 ）小时。自行车的速度是：（2010-246）（10-6）=14 （千米/小时）三车出发时自行车距 A 地：（24-14 ）6=60 （千米）慢车追上自行车所用的时间为：60（19-14）=12 （小时）5. 一水池中原有一些水 ,装有一根进水管 ,若干根抽水管。进水管不断进水 ,若用 24 根抽水管抽水,6 小时可以把池中的水抽干,那么用 16 根抽水管,（ 18 ）小时 可将可将水池中的水抽干。设 1 根抽水管每小时抽水量为 1 份。（1）进水管每小时卸货量是：（218-246）（8-6 ）=12（份）（2）水池中原有的水量为：218-12872 （份）（3）16 根抽水管 ,要将水池中的水全部抽干需： 72（16-12 ）=18 （小时）6. 某码头剖不断有货轮卸下货物,又不断用汽车把货物运走,如用 9 辆汽车,12 小 时可以把它们运完,如果用 8 辆汽车,16 小时可以把它们运完。如果开始只用 3 辆汽 车,10 小时后增加若干辆,再过 4 小时也能运完,那么后来增加的汽车是（ 19 ） 辆。设每两汽车每小时运的货物为 1 份。（1）进水管每小时的进水量为：（816-912）（16-12 ）=5（份）（2）码头原有货物量是： 912-12548（份）（3）3 辆汽车运 10 小时后还有货物量是： 48+ （5-3）10=68（份）（4）后来增加的汽车辆数是：（68+45）4-3=19 （辆）7有一片草地,每天都在匀速生长,这片草可供 16 头牛吃 20 天,可供 80 只羊吃 12 天。如果一头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量,那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多 少天？8 天（1）按牛的吃草量来计算 ,80 只羊相当于 804=20 （头）牛。（2）设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份。（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（1620-2012）（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量： 1620-1020120 （份）（5）最后求出 10 头牛与 60 只羊一起吃的天数：120（10+604-10 ）=8（天）8. 现有速度不变的甲、乙两车,如果甲车以现在速度的 2 倍去追乙车,5 小时后能 追上,如果甲车以现在的速度去追乙车,3 小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追, 几小时后能追上乙车？15 小时设甲车现在的速度为每小时行单位“ 1”,那么乙车的速度为：（25-33）（5-3 ）=0.5乙车原来与甲车的距离为：25-0.557.5所以甲车以现在的速度去追 ,追及的时间为：7.5（1-0.5）=15 （小时）自我测试1、牧场上的牧草每天均匀生长,这片草地可供 17 头牛吃 6 天,可供 13 头牛吃 12 天问 多少头牛 4 天把草地的草吃完?2、有牧场,21 头牛 20 天可将草吃完,25 头牛则 15 天可将草吃完,现有牛若干头,吃 6 天后卖了 4 头,余下的牛再吃 2 天则将草吃完,问原有牛多少头?3、22 头牛,吃 33 公亩牧场的草 54 夭可吃尽, 17 头牛吃同样牧场 28 公亩的草,84 天 可吃尽请问几头牛吃同样牧场 40 公亩的草,24 天可吃尽?4、某火车站检票口,在检票开始前已有些人排队,检票开始后每分钟有 10 人前来排 队检票,个检票口每分钟能让 25 人检票进站如果只有个检票口,检票开始 8 分钟后就没有人排队；如果有两个检票口,那么检票开始后多少分钟就没有人排队?5、甲、乙、丙三个仓库,各存放着同样数量的大米,甲仓库用皮带输送机台和 12 个工 人 5 小时把甲仓库搬空,乙仓库用皮带输送机台和 28 个工人 3 小时把乙仓库搬 空丙仓库有皮带输送机 2 台,如果要 2 小时把丙仓库搬空,同时还需要多少名工人?6、牧场上片牧草,可供 27 只羊吃 6 天；或者供 23 只羊吃 9 天,如果牧草每周匀速生 长,可供 21 只羊吃几天?7、片牧草,每天生长的速度相同现在这片牧草可供 16 头牛吃 20 天,或者可供 80只羊吃 12 天如果 l 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量,那么 lO 头牛与 60 只羊 起吃可以吃多少天?8、陕北某村有块草场 ,假设每天草都均匀生长 ,这片草场经过测算可供 100 只羊吃 200 天,或可供 150 只羊吃 100 天问：如果放牧 250 只羊可以吃多少天?放牧这么 多羊对吗?为防止草场沙化,这片草地最多可以放牧多少只羊?(注意：要防止草场沙 化就应该使草场的草永远吃不完)9、一块草地可供 58 头羊吃 7 天,或供 50 头羊吃 9 天,如果这片草地的生长量每天相等, 这片草地最多能养活多少头羊？10、 一片牧草,每天生长速度相同,现在这片牧草可供 16 头牛吃 20 天,或者供 80 只羊吃 12 天,如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量,那么这批牧草可供 10 头牛与 60 只羊一起吃 多少天？【解析】：先把羊替换成牛（也可以把牛替换成羊,但数据较大）,转化成简单的牛吃草问题： 80 只羊相当于 20 头牛：80420（头）；10 头牛和 60 只羊相当于 25 头牛：1060425（头）。先求出每日新增草量：（16202012）（2012）10（份）；再求出原有草量：16201020120（份）；最后求出 10 头牛与 60 只羊一起吃的天数：120（2510）8（天）。