2022年高中数学 第一章 三角函数 第四节 三角函数的图象与性质（第三课时）示范教案 新人教A版必修4

2022年高中数学 第一章 三角函数 第四节 三角函数的图象与性质（第三课时）示范教案 新人教A版必修4导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，ysinx，ycosx是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究推进新课回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)图2活动：先让学生充分思考、讨论后再回答对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质对问题，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势对问题，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或(，)对问题，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是1,1教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，|sinx|1，|cosx|1，即1sinx1，1cosx1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是1,1对于正弦函数ysinx(xR)，(1)当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1.(2)当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1.对于余弦函数ycosx(xR)，(1)当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1.(2)当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1.对问题，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的，(如图4)这段教师还要强调为什么选这段，而不选0,2的道理，其他类似图3图4这个变化情况也可从下表中显示出来：x0sinx10101就是说，函数ysinx，x，当x，时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由1增大到1；当x，时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到1.类似地，同样可得ycosx，x，的单调变化情况教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选，而不是选0,2图5引导学生列出下表：x0cosx10101结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.对问题，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称在R上，ysinx为奇函数，ycosx为偶函数教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：sin(x)sinx，cos(x)cosx，ysinx为奇函数，ycosx为偶函数至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x对称，余弦曲线还关于点(，0)对称等等，这是由它的周期性而来的教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔讨论结果：略定义域为R.值域为1,1，最大值都是1，最小值都是1.单调性(略)奇偶性(略)当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R，值域也相同，都是1,1，最大值都是1，最小值都是1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变思路1例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么(1)ycosx1，xR；(2)y3sin2x，xR.活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质容易知道，这两个函数都有最大值、最小值课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个解：(1)使函数ycosx1，xR取得最大值的x的集合，就是使函数ycosx，xR取得最大值的x的集合x|x2k，kZ；使函数ycosx1，xR取得最小值的x的集合，就是使函数ycosx，xR取得最小值的x的集合x|x(2k1)，kZ函数ycosx1，xR的最大值是112，最小值是110.(2)令z2x，使函数y3sinz，zR取得最大值的z的集合是z|z2k，kZ，由2xz2k，得xk.因此使函数y3sin2x，xR取得最大值的x的集合是x|xk，kZ同理，使函数y3sin2x，xR取得最小值的x的集合是x|xk，kZ函数y3sin2x，xR的最大值是3，最小值是3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如yAsin(x)B的函数，一般通过变量代换(如设zx化归为yAsinzB的形式)，然后进行求解这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin()与sin()；(2)cos()与cos()活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导解：(1)因为sin()(2)cos()coscos，cos()coscos.因为0cos，即cos()0，cos0，显然大小立判例3求函数ysin(x)，x2，2的单调递增区间活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间教师要引导学生的思考方向：把x看成z，这样问题就转化为求ysinz的单调区间问题，而这就简单多了解：令zx.函数ysinz的单调递增区间是2k，2k由2kx2k，得4kx4k，kZ.由x2，2可知，24k且4k2，于是k，由于kZ，所以k0，即x.而，2，2，因此，函数ysin()，x2，2的单调递增区间是，点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x的不等式问题然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化思路2例1求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当的指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等解：(1)由1sinx0，得sinx1，即x2k(kZ)原函数的定义域为x|x2k，kZ(2)由cosx0，得2kx2k(kZ)原函数的定义域为2k，2k(kZ)点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集例2在下列区间中，函数ysin(x)的单调增区间是( )A， B0， C，0 D，活动：函数ysin(x)是一个复合函数，即ysin(x)，(x)x，欲求ysin(x)的单调增区间，因(x)x在实数集上恒递增，故应求使y随(x)递增而递增的区间也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x看成一个整体，其道理是一样的解析：(x)x在实数集上恒递增，又ysinx在2k，2k(kZ)上是递增的，故令2kx2k.2kx2k.ysin(x)的递增区间是2k，2k取k1、0、1分别得，、，、，故选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用yAsin(x)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，若本题运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：(1)求定义域；(2)确定复合过程，yf(t)，t(x)；(3)根据函数f(t)的单调性确定(x)的单调性；(4)写出满足(x)的单调性的含有x的式子，并求出x的范围；(5)得到x的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间结论：对于复合函数的单调性，可以直接根据构成函数的单调性来判断.变式训练1如果函数f(x)sin(x)(01.(2)成立因为sin2x0.5，即sinx，而正弦函数的值域是1,1，1,1点评：比较是学习的关键，反例能加深概念的深刻理解通过本题准确理解正弦、余弦函数的最大值、最小值性质3(1)当xx|x2k，kZ时，函数取得最大值2；当xx|x2k，kZ时，函数取得最小值2.(2)当xx|x6k3，kZ时，函数取得最大值3；当xx|x6k，kZ时，函数取得最小值1.点评：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，结合本节例题巩固正弦、余弦函数的性质，快速写出所给函数的最大值、最小值4B点评：利用数形结合思想认识函数的单调性这是一道选择题，要求快速准确地选出正确答案数形结合是实现这一目标的最佳方法5(1)sin250sin260；(2)coscos；(3)cos515cos530；(4)sin()sin()点评：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究6k，k，kZ.点评：关键是利用转化与化归的思想将问题转化为正弦函数的单调性问题，得到关于x的不等式，通过解不等式求得答案1由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法2进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)xsin(x)；(2)f(x).解答：(1)函数的定义域为R，它关于原点对称f(x)xsin(x)xsinx，f(x)(x)sin(x)xsinxf(x)，函数为偶函数(2)函数应满足1sinx0，函数的定义域为x|xR且x2k，kZ函数的定义域关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数1本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟2在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法3学习三角函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如sin(2)sin这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了，它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次一、近几年三角函数知识的变动情况三角函数一直是高中固定的传统内容，但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日，国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容，其中的调整意见第(7)条为：“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式，不要求记忆”.xx年全国高考数学卷中，已尽可能减少了这8个公式的出现次数，在仅有的一次应用中，还将公式印在试卷上，以供查阅而当时调整意见尚未生效(应在xx年生效)，这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了但是，如果认为这次调整的仅仅是8个公式，仅仅是降低了对8公式的要求，那就太表面、太肤浅了我们知道，三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一，相当部分的三角题都是围绕它们而设计的，它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力现在要求降低了，有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了这样一来，三角部分还要我们教些什么呢？又该怎样教？立刻成了部分教师心头的一大困惑有鉴于此，我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系，理清新的教学思路，以便真正落实这次调整的意见，实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担，有利于深化普通高中的课程改革，有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标1是“三角”还是“函数”应当说，三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的三角本是几何学的衍生物，起始于古希腊的希帕克，经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科，历史上的很长一段时期，只有三角学盛行于世，却无“三角函数”之名“三角函数”概念的出现，自然是在有了函数概念之后，从时间上看距今不过300余年但是，此概念一经引入，立刻极大地改变了三角学的面貌，特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作，致使三角函数可以完全独立于三角形之外，而成为分析学的一个分支，其中的角也不限于正角，而是任意实数了有的学者甚至认为可将它更名为角函数，这是有见地的，所以，作为一门学科的三角学已经不再独立存在现行中学教材也取消了原来的代数三角几何的格局，将三角并入了代数内容这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重从代数学的历史演变来看，在相当长的历史时期内，“式与方程”一直是它的核心内容，那时的教材都是围绕着它们展开的，所以，书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍，所在皆是这是由当时的数学认知水平决定的而现在，函数已取代了式与方程成为代数的核心内容，比起运算技巧和变形套路来，人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的数学教学大纲提出数学三大能力时，首要强调的是“形式演算能力”，1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”现行高中代数课本中，充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用，对这三种代数式的变形却轻描淡写所以，三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的，这也是国际上普遍认可的观点2是“图象”还是“变换”现行高中三角函数部分，单列了一章专讲三角函数，这是与数学发展的潮流相一致的大多数师生头脑中反映出来的，还是“众多的公式，纷繁的变换”，而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的，这一点，与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差调整以后，降低这部分的要求，大面积地减少了题量把“函数”作为关键词，将目光放在“图象和性质”上，应当是正确的选择，负担轻了，障碍小了，这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上，这才是“三个有利于”得以贯彻的根本3国外的观点及启示下面来看一下美国和德国的观点：美国没有全国统一的教材和考试说明，只有一个课程标准，在课程标准中，他们对三角函数提出了下面的要求：“会用三角学的知识解三角形；会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象；掌握三角函数图象；会解三角函数方程；会证基本的和简单的三角恒等式；懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”他们还特别指出，不要在推导三角恒等式上花费过多的时间，只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了，比较复杂的恒等式就应该完全避免了德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容，10年级要求如下：(1)一个角的弧度；(2)三角函数sinx、cosx、tanx和它们的图象周期性；(3)三角形中角和边的计算；(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系)另外，在11年级和12年级的“无穷小分析”中，继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限从以上罗列，我们可以看出下面的共同点：第一，突出强调三角函数的图象和性质；第二，淡化三角式的变形，仅涉及同角变换，而且要求较低，8个公式根本不予介绍；第三，明确变换的目的是为了三角形中的实际计算；第四，注意三角函数和其他知识的联系这带给我们的启示还是很强烈的，美国和德国的中学教育以实用为主，并不太在乎教材体系是否严谨，知识系统是否完整；我国的教材虽作调整，怎样实施且不去细说，有一个意图是可猜到的，那就是要让学生知道教材是严谨与完整的现在看来严谨的东西，在更高的观点下是否还严谨？在圈内看是完整的，跳出圈子看，是否还完整？在一个小地方钻得太深，在另外更大的地方就可能无暇顾及人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分，我们却热衷于在个别地方穷追不舍，这早已引起行家的注意，从这个意义上说，此次调整应当只是第一步在中学阶段即试图严谨与完整，其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故二、备用习题1函数ysin(2x)的单调减区间是( )A2k，2k(kZ) B4k，4k(kZ)Ck，k(kZ) Dk，k(kZ)答案：D2满足sin(x)的x的集合是( )Ax|2kx2k，kZBx|2kx2k，kZCx|2kx2k，kZDx|2kx2k，kZx|2kx(2k1)，kZ答案：A3求下列函数的定义域和值域：(1)ylgsinx；(2)y2.答案：解：(1)由题意得sinx0，2kx(2k1)，kZ.又0sinx1，lgsinx0.故函数的定义域为2k，(2k1)，kZ，值域为(，0(2)由题意得cos3x0，2k3x2k，kZ.x，kZ.又0cosx1，022.故函数的定义域为，kZ，值域为0,2