模型五：数列中的存在、恒成立问题（原卷版）

在数列中的“存在、恒成立问题”在“知识交汇处命题”是高考试题的主要特色，不等式中的“存在、恒成立问题”是高考经久不衰、常考常新的热点问题。数列作为特殊函数，“存在、恒成立问题”能巧妙地植入数列中，甚至是以数列形式进行巧妙“包装”。一、探究数列中的存在性问题例1.在公差不为零的等差数列和等比数列 b中 , b , = b, = b,问是否存在常数、b使得一切nN，都有=log+b成立，若存在，求出所有n的值，若不存在说明理由。 二、与分组求和整合例2.已知数列中，（1）求证：数列与都是等比数列；（2）求数列前的和；（3）若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。三、与裂项相消求和交汇例3.已知各项为正的数列的前项和为 。（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，为数列的前项和，当不等式（）恒成立时，求实数的取值范围。 四、与错位相减求和联合例4.（2015.成都一模）已知各项均为正数的等差数列前三项的和为27，且满足.数列的前n项和为，且对一切正整数n,点(n，Sn)都在函数的图象上.(I) 求数列和的通项公式； (II)设数列的前n项和，且，若对恒成立,试证明：四、与函数思想-数列单调性解整合例5在Sn2bn1，4bnbn1(n2)，bnbn12(n2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由已知数列an为等比数列，a1，a3a1a2，数列bn的首项b11，其前n项和为Sn，_，是否存在kN*，使得对任意nN*，anbnakbk恒成立？五、与主干知识“联谊”例6、（2022届浙江省高考仿真模拟（5）T20）已知数列满足，数列满足，（）数列，的通项公式；（）若，求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值【强化演练】1.已知数列各项均为正数，为其前项和，且对任意的，都有.()求数列的通项公式；()若对任意的恒成立，求实数的最大值.2.设数列an的前n项和为Sn，且a1=2，an12Sn2 （）求数列an的通项公式； （）若数列bn的各项均为正数，且bn是与的等比中项，求bn的前n项和为Tn；若对任意，都有，求实数的取值范围.3.(2021届天津市滨海新区高三毕业班质量监测（二）T19）已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足，.（）求数列的通项公式；（）求数列前项和；（）在数列中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，说明理由.4. (浙江省诸暨海亮高级中学2021-2022学年高三上学期选考模拟最后一测T20.）已知数列满足 . 求数列的通项公式 . 设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围 .