第讲线性系统与傅立叶变换

陈世华陈世华 2011-8-29Department of PhysicsSoutheast University第一章第一章 二维线性系统分析二维线性系统分析n 系统的概念系统的概念相互之间有联系的统一体（大至宏观的天体，小至微观的原子，均可视为一个系统）n 物理系统物理系统 指某种装置，当施加一个激励时，它呈现出某种响应2211,g xyfx y数学上定义（二维）：。L1122,fx yg xy系 统输入响应LABCD,：透镜成像系统中，已知输入，传递矩阵就可举例以求出输出。1.1 1.1 线性系统线性系统n 线性系统的定义线性系统的定义 111211111211,fx yfxababyfx yfx y如果满足等式：则可称（为线性系请比较线性算符统）LLLL1 1 1 线性系统具有叠加的性质，参看课本图如果一个输入函数可以分解为某种的线性组合，相应的输出函数便可看作这基元函数基元函数些的线响应性组合。函数、阶跃函数、正弦基元函数：余弦函数、复指数函数n 脉冲响应和叠加积分脉冲响应和叠加积分（1）函数（回顾，创造）D i rac 0000 ,.,fx yxxyydxdfAyxy筛选性 000000,fx yxxyyfxyxxyy推广：?xx问题：0,0,0,0,1 当当定义：xyx yxyx y dxdy函数性质：1,.,ax byx yaBb 缩放性 函数是奇异函数，但可以用非奇异函数的极限来表示：,.x yxyC 可分离变量性 ;.xDxxx 实数偶数性 222222222,limrectrect,limsincsinc,limsincsinc,limexpexp 2.NNNNxxx yNNxNyx yNNxNyx yNNxNyx yNNxyxif xABCdfDE 1111(2),fx yfxyd d 根据 函数的筛选性质 ,2211,;,h xyxy 若令 ,L 21111211,g xyffxxyd dfxyyd d 我们有LLL 2222,;,g xyfh xyd d 则有2211,;,h xyxy 术语：式 可称，为脉冲响应L 2222,;,g xyfh xyd d 其在线性不变系叠统加积情形而下式 则会简称为分，化运算。1122,;,xyh xy 图形表示为：系 统脉冲响应L1.2 1.2 二维傅立叶变换二维傅立叶变换 （重点重点）n 傅立叶变换的定义傅立叶变换的定义,exp2xyxyFfffx yjf xf ydxdy傅立叶变换：,xyFfffx y：记为。F1,xyfx yFff记。：为F,exp2xyxyxyfx yFffjf xf ydf df逆傅立叶变换：dxdydxdy 为简洁，双积分写为注：n 傅立叶变换的存在条件傅立叶变换的存在条件 ,fx y dxdy 绝对可积：满足狄里赫利条（1）有限个间断点（2）有限个极值没有无穷大件：间断点但是，实际情况下，傅立叶变换总是存在存在可认的（为即合理）n 二维傅立叶变换的性质二维傅立叶变换的性质 ,xyxyG ffg x yHffh x y则存在以下性质设理）假（定FF,xyxyg x yh x yababG ffHff（1）线性定理 F,1yxffgxyGababab（2）相似性定理：F 证明：略（提示是）线性算符F（相似性定理）证明：,exp2xygxygxyjf xabf ydxdyabF,exp2yxffgxyjxydxdyababab,exp2yxabababffd x d ygababxyjxy ,exp2yxaubvuvuvu vuvabxyffddbjag 令、则上式约为(替换时，注意的积分区间)e11,xp2,yxyxu vuvu vabababaffgjd dGbff,exp2xyxyg xyG ffjabf abf（3）位移定理：F22a,xyxyg x ydxdyG ffdf df（4）P rsaval定理：,exp2,ababxyffg x yjxxfffGf 推论：FParsaval位移定理（含推论）定和的证明将留理着课后作业。2,（6）相关定理：若定义自相关：则有：xyg x yg x yggxy d dg x yg x yG ffF,xyxyg x y h x yG ffHff推论：F,xyxyg x yh x ygh xyd dg x yh x yG ffHff （5）卷积定理：若定义卷积：则有：F卷积“”与乘法“”一样，满交换律、分配足率和结合率。卷积定理的证明：,g x yh x ygh xyd d FF,gh xyd d F,exp2xyxyh xyHffjff利用傅立叶变平移换的知理论，F ,exp2,2 xp exyxyxyxygd dgHffjffHdffjffd 因此，上式变为,xyxyxyxyHffG ffG ffHff自相关定理的证明类似，略。1111,g x yg x yg x yg x yg x ygxy（7）傅立叶积分定理：F FFF F FFF,22,nmxyxygx yjfjfG ff（m,n）（8）导数定理：F 1212,g x ygxgyg x ygxgy（9）可分离变量理论：若 则FFF,g x ygxy傅立叶积分定理的证只证明明：F F ,e p x2xyxyg x yG ffdxg x yjf xfdyy显然，根据傅立叶变换的定义，知F ,exp 2 xyyxyxxyg x yG ffG ffjf dfxdff y所以，F FF,()Q x y不妨假设 ,e xp2ex2 pxyxyxyg x yjf xf ydxdyjf xf ydf df,exp 2+xxyydxdy g x yjfx xdf dffy y,+dxdy g x yx xy y，,gxy逆水行舟用力撑逆水行舟用力撑,一篙松劲退千寻一篙松劲退千寻;古云此日足可惜古云此日足可惜,吾辈更应惜秒阴。吾辈更应惜秒阴。董比武董比武 课后作业课后作业：证明：平移定理（含推论）Parsaval定理