悬崖跳水的水池深度的安全设定问题

悬崖跳水的水池深度摘要本文探讨的是悬崖跳水水池安全深度的问题。因为运动员的跳水主要是在竖直方向上的运动，为了便于求解，在对运动员进行受力分析时不考虑水平方向的受力情况。对运动员跳水过程进行分析，将跳水过程分为三个阶段。第一阶段：选手从跳台跳下至刚抵达水面的过程。在此过程中，人体在竖直方向上受两个力的作用,竖直向下的恒定重力，竖直向上的空气阻力。第二阶段：选手刚触到水面至完全进入水面的过程，此时浮力与运动员进入水面的深度有关。第三阶段：选手完全进入水面至达到速度为零的过程，此时浮力为恒力。在后两个阶段中，人体在竖直方向上都受到三个力的作用：竖直向下的重力，竖直向上的水的阻力及浮力。在整个运动过程中，阻力与速度的平方成正比。在问题一中，通过对受力情况的分析，运用牛顿第二定律及常微分方程等相关知识，列出各个阶段的运动方程；根据微元法，可把跳水过程看作是n个匀变速直线运动的合成。通过matlab软件编程对其各个阶段的过程进行模拟，再代入数据进行分析验证，并画出图像，程序详见。可求得男女运动员所需的安全深度分别为，。在问题二中，通过matlab软件编程画出图像，对不同体重的人所需的安全深度进行对比，图像如下： 由上图可知，不分男女，体重越重的人所需的安全深度越深,程序详见。关键字跳水 安全深度 常微分方程 微元法 matlab软件 图像目录一、问题重述(3)二、问题分析(3)三、模型的假设(4)四、定义与符号说明(4)五、模型的建立与求解(5)六、对模型的评价与推广(7)七、参考文献(8)八、附录(9)一、 问题重述近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。这是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。请大家做两件事:1、跳台下面的水池要多深才能安全，请大家给以计算;2、分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。二、 问题分析（一） 问题一的分析通过对运动员跳水过程的分析，我们把选手跳水的过程分为三个阶段：第一阶段：选手从跳台跳下至刚抵达水面的过程。在此过程中，人体在竖直方向上受两个力的作用,竖直向下的恒定重力及竖直向上的空气阻力。阻力与速度的平方成正比，比例系数与空气阻力系数、空气密度及受力面积有关。根据牛顿第二定律可列出关于第一阶段的关于速度与高度的运动方程，再运用matlab软件编程求得速度与高度的关系方程，并对其代入数据进行分析检验，并得出其图像。rihi 跳台第二阶段：选手刚触到水面至完全进入水面的过程。在此过程中，人体在竖直方向上受到三个力的作用：竖直向下的恒定重力，竖直向上的水的阻力及浮力。阻力与速度的平方成正比，比例系数与水的阻力系数、水的密度及受力面积有关。浮力与运动员下降深度有关。根据微元法，把该过程看作由n个匀减速直线运动的合成。运动员全部进入水中的浮力为，第j个匀减速直线运动的进入水面的深度为，初速度（前一阶段的末速度）为，则此时浮力为，加速度 ，这一过程的末速度为下一过程的初速度，运行完这一过程后进入下一过程，直至完成整个阶段。根据上述思想，通过matlab软件编程，运用循环语句，让整个过程再现，模拟该阶段的运动状态，代入数据分析检验，并得出其图像。第三阶段：选手完全进入水面至达到速度为零的过程。在此过程中，人体在竖直方向上受到三个力的作用：竖直向下的恒定重力，竖直向上的水的阻力及恒定浮力。阻力与速度的平方成正比，比例系数与水的阻力系数、水的密度及受力面积有关。根据微元法，把该过程看作由n个匀减速直线运动组成的运动过程，思想与第二阶段相似，通过matlab软件编程，模拟该过程的运动状态，代入数据分析检验，并得出其图像。（二） 问题二的分析对问题二，因为体重的改变，可能致使体积及身高的改变，会不同程度的影响运动员所需安全深度。求解中，以体重为参数编写程序，取不同的体重并将数据代入进行分析验证，并画出其图像。三、 模型假设1、 将人体看作一个锲形，底面直径为人的肩宽，高为运动员的身高；2、 运动员跳水的跳台没有弹力，运动员作类似初速度为零的自由落体运动；3、 比赛高度以我国福建连城的冠豸山的高度为准，即跳台高度男子是28米，女子为20米；4、 当运动员在水里的速度为零时达到的深度为安全深度；5、 运动员在与水的碰撞过程没有能量损失；6、 竖直向下为正方向；7、 阻力与速度的平方成正比，比例系数为k(0)；四、 符号说明:取1，2（1为男运动员，2为女运动员）；:运动员的高度；:运动员的肩宽；:运动员的体重；:悬崖的深度；：第一阶段运动员下降的高度；:安全深度；:第二阶段运动员下降的深度；:第三阶段运动员下降的深度；:速度；:刚接触水面时的速度；:完全进入水面时的速度；:空气阻力系数；：空气密度；：水的密度；:受力面积；:空气中阻力与速度平方的比例系数，与空气阻力系数、空气密度及受力面积有关；：水中阻力与速度平方的比例系数，与水的阻力系数、水的密度及受力面积有关；:重力加速度；五、 模型的建立与求解（一）问题一的求解将悬崖跳水运动的过程分为三个阶段分析。第一阶段，选手从跳台跳下至刚抵达水面的过程。在竖直方向受两个力的作用,竖直向下的重力，竖直向上的阻力。根据牛顿第二定律可列出关于第一阶段的关于速度与高度的运动方程，为，通过matlab软件编程求解得出速度与运动员下降高度的关系式为，且可得运动员刚接触水面时的速度，。根据其图像为： 男运动员 女运动员 由图像可知，在第一阶段中，运动员做变加速直线运动，且在刚抵达水面时速度达到最大。第二阶段，选手刚触到水面至完全进入水面的过程，人体在竖直方向上受到三个力的作用：竖直向下的重力，竖直向上的水的阻力及浮力。根据牛顿第二定律列出其运动方程为。根据微元法，可把该过程看作由个匀减速直线运动组成的，通过matlab软件编程，模拟该过程的运动状态，并代入数据，求得完全进入水面时的速度为，画出该过程速度与下降深度的关系图像为： 男运动员 女运动员 由图像可知，运动员在水的阻力及浮力的作用做变减速运动，为第三阶段达至速度为零减速。第三阶段，选手完全进入水面至达到速度为零的过程，人体在竖直方向上受到三个力的作用：竖直向下的重力，竖直向上的水的阻力及浮力。根据牛顿第二定律列出其运动方程为。通过运行程序可得运动员所需安全深度为,。并画出其图像如下： 男运动员 女运动员（二）问题二的求解对问题二，因为体重的改变，可能致使体积及身高的改变，会不同程度的影响运动员所需安全深度。通过分析，因为体重的改变，体积及身高的改变对安全深度的影响很小，具体分析如下图： 男运动员 女运动员所以在此忽略因体积及身高的改变对安全深度的影响。则运行程序可得其图像如下： 男运动员 女运动员 由图像可知，两个体重不同的运动员所需的安全深度不同，且体重越重的运动员所需的安全深度越深。检验时代入的数据如下：六、 模型的评价与推广优点：1、运用matlab软件编程求解问题，体现数学建模的创新性；2、运用matlab软件编程，可把不同的数据代入程序中的参数，增加了模型的运用范围，杜绝单纯使用物理方法求解的局限性；3、运用微元法细化运动过程，降低求解的困难度。缺点：1、运用matlab软件编程求解模型，与实际问题有一定的差距，求解数据准确但不够精确；2、计算过程忽略了运动员与水碰撞过程中的能量损失，致使结果不精确；3、问题二的求解中，忽略了因体重的改变而导致体积及身高的改变对安全深度的影响，导致数据不够精确。推广：该模型解决的是悬崖跳水所需的安全深度的问题，可把该模型运用于其它类别的跳水运动，比如运动员跳水及高台跳水的安全问题，可在建设水池时运用该模型中的思想。七、 参考文献1 王高雄、朱思铭等.常微分方程（第三版）M.北京：高等教育出版社.2006.72 张国强、吴家鸣.流体力学M.北京：机械工业出版社.2005.103 程守洙、江之永.普通物理学（上册）M.北京：高等教育出版社.2006.124 艾冬梅等.MATLAB与数学实验M.北京：机械工业出版社.2010.45 水的阻力分析thread-9411-1-1.html6 空气密度m/View/876350.htm7 空气阻力系数om/question/224708839.html附录程序中的参数说明：Xb：性别,当参数为0时为女性否则为男性；m：重量；sk：水中的比例系数tg：跳台高度；sg：身高；t：时间间隔；mc:质量间隔；vc:初速度；第一阶段求解程序：function y=rsq(xb,m,tg)if xb=0k=0.0680;elsek=0.0912; endg=9.8;x=0:0.01:tg;v=1/k*(-k*m*g*(-1+exp(-2./m*k.*x).(1/2);plot(x,v);xlabel(下降高度);ylabel(速度);y=1/k*(-k*m*g*(-1+exp(-2/m*k*tg)(1/2);end第二阶段求解程序：function y=rsgc(xb,vc,m,k,sg,t)if xb=0 p=0.9298;else p=0.9280;endi=1;v(i)=vc;s(i)=0;g=9.8;rg=sg;f(i)=0;fl=m/p*9.8;while s(i)=0 a(i)=(f+k*(v(i)2)-m*g)/m; sj=v(i)*t-0.5*a(i)*t2; i=i+1; v(i)=v(i-1)-a(i-1)*t; s(i)=s(i-1)+sj; plot(s(i-1),v(i) hold onendxlabel(下降深度);ylabel(速度);y=s(i);end第一问全程求解function y=qc(xb,m,sk,tg,sg,t)vc1=rsq(xb,m,tg);figure;vc2=rsgc(xb,vc1,m,sk,sg,t)figure;t2=t*10;y=szjs(xb,vc2,m,sk,t2)+sgendend第二问求解：function mh(xb,sk,tg,sg,t,mc)if xb=0 xj=50; sj=60;else xj=70; sj=80;endfigure;for i=xj:mc:sj h=qc2(xb,i,sk,tg,sg,t); plot(i,h,*); hold on;endend身高对安全深度的影响程序：function hh(xb,m,sk,tg,t,hc)if xb=0 xj=1.60; sj=1.70;else xj=1.70; sj=1.80;endfigure;for i=xj:hc:sj h=qc2(xb,m,sk,tg,i,t); plot(i,h,*); hold on;endaxis equalend命令窗口指令：女运动员：qc(0,58,29,20,1.65,0.0001)男运动员：qc(1,75,29,28,1.75,0.0001)女运动员：mh(0,29,20,1.65,0.0001,0.5)男运动员：mh(1,29,28,1.75,0.0001,0.5)女运动员：hh(0,58,29,20,0.0001,0.005)男运动员：hh(1,70,29,28,0.0001,0.005)