考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E.2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。4.若要证明一组向量a1，a2，as线性无关，先考虑用定义再说。5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。7.若已知A的特征向量0，则先用定义A0=00处理一下再说。8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。2010考研基础班线性代数主讲：尤承业 第一讲 基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组 矩阵 向量 行列式等 一线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数, , 构成,它满足:当每个方程中的未知数都用替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个: (1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.齐次线性方程组: 的线性方程组.0,0,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).二.矩阵和向量1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m行n列的表格称为mn矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i行j列的元素称为(i,j)位元素.是一个23矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵和 为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息. 2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为 ,常数列为,则方程组为由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.零矩阵:元素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量.2. 矩阵和向量的关系书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.问题:(3,-2,1)和是不是一样? 作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是13矩阵,右边是31矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量. 一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.3. n阶矩阵与几个特殊矩阵nn的矩阵叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵:对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵:满足矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i) 位的元素总是相等的n阶矩阵.问题:下列矩阵都是什么矩阵? 对角矩阵: 、上三角矩阵: 、下三角矩阵: 、对称矩阵: 、三. 线性运算和转置1.线性运算是矩阵和向量所共有的. 加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减). 两个同维数的向量可以相加(减),规则为对应分量相加(减). 数乘: 一个数c与一个mn的矩阵A可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.一个数c与一个n维向量可以相乘,乘积仍为n维向量,记作.法则为的每个元素乘c. 向量组的线性组合:设，是一组n维向量, , , 是一组数,则称为，的(以, , 为系数的线性组合. 例:求矩阵的列向量组的系数为1,1,1的线性组合. 解: 2.转置把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作. 四. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵1.初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.初等行变换: 交换两行的位置. 用一个非0的常数乘某一行的各元素. 把某一行的倍数加到另一行上. AB.2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足: 如果它有零行, 非零行,则都零行在下,非零行在上. 如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.问题:对角矩阵,上三角矩阵,数量矩阵中,哪个一定是阶梯形矩阵? 一个n阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵.问题:如果A是阶梯形矩阵.(1) A去掉一行还是阶梯形矩阵吗?(2) A去掉一列还是阶梯形矩阵吗?3. 简单阶梯形矩阵把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足:台角位置的元素为1.并且其正上方的元素都为0.4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵请注意: 从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变. 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.线性方程组的同解变换有三种: 交换两个方程的上下位置. 用一个非0的常数乘某个方程. 把某个方程的倍数加到另一个方程上.反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解.例: 矩阵消元法步骤如下: (1)写出方程组的增广矩阵（），用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(). (2)用()判别解的情况:如果最下面的非零行为(),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；rn时无穷多解.(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉()的零行,得到一个n(n+1)矩阵(),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(),则h就是解. 就是解.,h就是解.解为(1,0,2,-2).对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B. (2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；rn时有非零解(求解方法在第五章讲).推论:当方程的个数mn即方程数n少于是AX=0的未知数个数s,一定有非零解.(2) 线性无关向量组的每个部分组都无关(于是每个向量都不是零向量).a1, a2, a3, a4, a5无关a1, a3, a 5无关逆否命题:如果向量组有线性相关的部分组,则它本身也线性相关. (3) 如果a1,a2,as 线性无关,则a1,a2,as ,b线性相关ba1,a2,as .(a1,a2,as ,b线性无关ba1,a2,as .) 明显. 设c1,c2,cs, c不全为0,使得 c1a1+c2a2+csas+cb=0,则c不为0(否则a1,a2,as 线性相关),因此ba1,a2,as .例 b1=(1,2, a+3)，b2=( 2,1 ,a+6)，b3=(2,1,a+4) 线性无关例15 a1,a2,a3,b线性无关,而a1,a2,a3,g线性相关,则(A) a1,a2,a3,cb+g线性相关.(B) a1,a2,a3,cb+g线性无关.(C) a1,a2,a3,b+cg线性相关.(D) a1,a2,a3,b+cg线性无关.2008年的一个题中:已知 a1,a2都是3阶矩阵A的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量 a3满足Aa3= a2+a3.证明a1,a2, a3线性无关.(看题解)设（1）A（1） 得 （2）（1）-（2）： （3）A（3） （4）（3）-（4） 4，得 ； 代人（3），-，得 ， 代人（1），得 方法二：，线性无关，只用证 若 ，（1） 得（2） （2）-（1）： 与线性无关矛盾。2009年的一个题中: a10, Aa1=0, Aa2=a1, A2a2=a1, 证明a1,a2, a3线性无关. (看题解) 证明：A 是3阶矩阵，是3维非零列向量，使得，又 满足， ，证明线性无关。证：方法一（用定义法）设 （1） ，即，得 （1）化为A（1）：，得 （1）化为 ，得方法二：，无关（否则 ，）所以 线性无关又 （否则， (4) 如果ba1,a2,as ,则a1,a2,as 线性无关. a1,a2,as 线性相关.(5) 如果b1,b2,bta1,a2,as ，并且ts,则b1,b2,bt线性相关.逆否命题: 如果b1,b2,bta1,a2,as ,并且b1,b2,bt线性无关. 则ts, 推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.三.向量组的极大无关组和秩向量组的内在性质的定量的讨论. 向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无关的部分组.，1. 定义与简单性质定义 设a1,a2,as 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果 (I) 线性无关. (I) 再扩大就线性相关. 就称(I)为a1,a2,as 的一个极大无关组.称(I) 中所包含向量的个数为a1,a2,as 的秩。记作r(a1,a2,as).说明i) a1,a2,as 的不同的极大无关组包含向量的个数会不会不同？任何aI都可用极大无关组(I) 线性表示,从而(I) 与a1,a2,as 等价.于是任意两个极大无关组 等价，因此包含向量的个数相同。说明ii) 如果a1,a2,as 全是零向量,则规定r(a1,a2,as)=0.如果r(a1,a2,as)=3,则i) a1,a2,as 有包含3个向量的无关部分组。ii) 一个部分组如果含有多于3个向量,则它一定的相关.iii） a1,a2,as 的每个含有3个向量的线性无关部分组一定是极大无关组. 0r(a1,a2,as) Mins。n2. 应用 a1,a2,as 线性无关 r(a1,a2,as)=s. b可用a1,a2,as 线性表示r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as).命题： r(a1,a2,as,b)= 证明思路:看a1,a2,as 的一个极大无关组(I)是否也是a1,a2,as ,b的极大无关组?ba1,a2,as b(I) (I), b 线性相关(I)也是a1,a2,as ,b的极大无关组，则r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as).ba1,a2,as b(I) (I), b 线性无关(I), b 是a1,a2,as ,b的极大无关组.则r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as)+1.例14已知b可用a1,a2,as 线性表示，但不可用a1,a2,as-1线性表示证明 as不可用a1,a2,as-1线性表示； as可用a1,a2,as-1,b线性表示 r(a1,a2,as-1,as,b)=r(a1,a2,as-1,as). r(a1,a2,as-1,b)=r(a1,a2,as-1)+1.b可用a1,a2,as 唯一线性表示r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as)=s. b1,b2,bt可以用a1,a2,as 线性表示 r(a1,a2,as,b1,b2,bt)=r(a1,a2,as).推论: 如果 b1,b2,bt可以用a1,a2,as线性表示,则 r(b1,b2,bt)r(a1, a2, ,as ). a1,a2,as和b1,b2,bt等价 r(a1,a2,as)= r(a1,a2,as, b1,b2,bt)= r(b1,b2,bt).r(a1,a2,as)的计算: 用初等行变换把矩阵(a1,a2,as)化为阶梯形矩阵,其非零行数= r(a1,a2,as).例11中的向量组的秩:r(a1,a2, a3,a4,a5)=3.例2 已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,并且a1,求a. (05)秩4 得 1-2a=0 a=例3 设a1=(1+a,1,1)，a2=(1,1+b,1)，a3=(1,1,1-b)，问a,b满足什么条件时r(a1,a2,a3)=2?1) 若 b=0 时秩）时秩为例4 设a1=(1+，1，1)，a2=(1，1+，1)，a3=(1，1，1+)，b=(0，,2) 为何值时，b可用a1，a2，a3线性表示，并且表示方式唯一？为何值时，b可用a1，a2，a3线性表示，并且表示方式不唯一？ 为何值时，b不可用a1，a2，a3线性表示？ (看题解)当时，,当时，当，例7 设a1=(1,2,-3)，a2=(3,0,1)，a3=(9,6,-7)，b1=(0,1,-1)，b2=(a,2,1)，b3=(b，1，0)已知r(a1,a2,a3)=r(b1,b2,b3),并且b3可用a1,a2,a3线性表示，求a,b.(00二)(看题解)思路：先用这个条件求出b 则例9 给定向量组() a1=(1,0,2)，a2=(1,1,3)，a3=(1,-1,a+2)和()b1=(1,2, a+3)，b2=( 2,1 ,a+6)，b3=(2,1,a+4)当a为何值时()和()等价? a为何值时()和()不等价?(03四) 当时，当时，而结论：a=-1时不等价，时等价例8求常数a,使得向量组a1=(1,1,a),a2=(1,a,1),a3=(a,1,1)可由向量组b1=(1,1,a),b2=(-2,a,4),b3=(-2,a,a)线性表示,但是b1, b2, b3不可用a1,a2,a3线性表示. (2005年数学二)于是或-2a=1时， 时：， ， ，相关，(看题解)3. 秩的计算,有相同线性关系的向量组两个向量个数相同的向量组a1,a2,as,和 b1,b2,bs称为有相同线性关系,如果向量方程x1a1+x2a2+xsas=0和x1b1+x2b2+xsbs=0同解,即齐次线性方程组(a1,a2,as)X=0和( b1,b2,bs)X=0同解.当a1,a2,as和 b1,b2,bs有相同线性关系时,(1)它们的对应部分组有一致的线性相关性.a1,a3,a4和 b1,b3,b4相对应.如果a1,a3,a4相关,比如3a1-a3+5a4=0,则(3,0,-1,5,0, ,0)是x1a1+x2a2+xsas=0的解,从而也是x1b1+x2b2+xsbs=0的解,就得到3b1-b3+5b4=0, b1,b3,b4相关.(2)它们的极大无关组相对应,从而它们的秩相等.(3)它们有相同的内在线性表示关系.a2=2a1+a3-a4 b2=2b1+b3-b4.例如,当A经过初等行变换化为B时, AX=0和BX=0同解,从而A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.于是它们的极大无关组相对应,秩相等.问题:为什么阶梯形矩阵的非零行数就是它的列向量组的秩? a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 g1 g2 g3 g4 g5 显然g1,g2,g4无关, g3= 3g1+g2, g5=2g1+g2,g1,g2,g4是g1,g2,g3,g4, g5的一个极大无关组.这样,就产生了计算一个向量组a1,a2,as的秩和极大无关组的方法:把此向量组作为列向量组构造矩阵(a1,a2,as),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B,则B的非零行数就是r(a1,a2,as), B的各台角所在列号对应的部分组是a1,a2,as的的一个极大无关组. 如果A经过初等列变换化为B，则A的列向量组和B的列向量组是等价关系，秩也相等,但是极大无关组并没有对应关系.例6设a1=(1,2,0,1) , a2 =(1,1,-1,0), a3=(0,1,a,1),g1=(1,0,1,0),g2=(0,1,0,2).a 和k取什么值时, g1+kg2可用a1,a2,a3线性表示?写出表示式.(看题解)解：得k= -1，例10 设 a1=(1+a,1,1,1),a2=(2,2+a,2,2), a3=(3,3,3+a,3), a4=(4,4,4,4+a).问a为什么数时a1,a2,a3,a4线性相关?在a1,a2,a3,a4线性相关时求其一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.(看题解)解：显然 a=0时，线性相关，并且秩为1可得为极大无关组，若则当时，线性相关，秩为3，取为极大无关组，例11设 a1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(1,-2,2,0),a5=(2,1,5,10).它们的下列部分组中,是极大无关组的有哪几个?(1) a1,a2,a3. (2) a1,a2,a4. (3) a1,a2,a5. (4) a1,a3,a4.解： a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 g1 g2 g3 g4 g5 是极大无关组的有（2），（4）四.矩阵的秩1. 定义一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称此数为矩阵A的秩,记作r(A).A=C，A的行向量组的秩=C的行向量组的秩= C的列向量组的秩=A的列向量组的秩 如果A是mn矩阵,则0r(A)Minm,n.r(A)=0 A=0. 当r(A)=m时,称A为行满秩的; 当r(A)=n时,称A为列满秩的.对于n阶矩阵A,则行满秩和列满秩是一样的,此时就称A满秩.于是:n阶矩阵A满秩r(A)=nA的行(列)向量组无关|A|0A可逆.命题 r(A)就是A的非0子式的阶数的最大值.(即A的每个阶数大于r(A)的子式的值都为0,但是A有阶数等于r(A)的非0子式.)A的r阶子式:任取 A的r行和r列,在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式,如果它的值不为0,就称为非0子式.* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2. 计算命题 初等变换保持矩阵的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 矩阵秩的计算:用初等变换将其化为阶梯形矩阵,则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩.3.矩阵秩的性质 r(A T)=r(A). 如果c不为0,则r(cA)=r(A). r(AB)r(A)+r(B). r(AB)Minr(A),r(B). AB的列向量组可用A的列向量组线性表示, r(AB) r(A).BTAT=(AB)T，r(AB)=r(AB)T) r(BT)=r(B). 当A(或B)可逆时,r(AB)=r(B)(或r(A). A-1(AB)=B, r(B) r(AB). 如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)n. 设A*为n阶矩阵A的伴随矩阵,则r(A*)= 若r(A)=n,若r(A)=n-1,若r(A)n-1. 见例30证明当时，存在（n-1）阶余子式不为0，即存在则， 又A不满秩，则 例28 设A是mn矩阵，证明r(A)=1存在m维非零列向量a=(a1,a2,，a m)T和n维非零列向量b=(b1,b2,bn)T，使得A=ab T.证明： 设，其中.则 得 设，由得中的每个非零向量构成极大无关组。此时，每个，证，证，则 08年的一个考题 设a,b都是3为列向量, A=aaT+b b T. 证明 (1) r(A)2. (2) 如果a,b现性相关,则r(A)n时, |AB |0. (B) 当mn 时, |AB |=0.(C) 当nm 时, |AB|0. (D) 当nm 时, |AB |=0. (99) (看题解)是m阶矩阵，问时： ， 选（B）时 例26 AB =0, A,B是两个非零矩阵,则(A) A的列向量组线性相关.B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关.B的列向量组线性相关.(C) A的行向量组线性相关.B的行向量组线性相关. (D) A的行向量组线性相关.B的列向量组线性相关. (04) AB =0,则r(A)+r(B)n,n为A的列数,B的行数.又r(A)0,r(B)0,得r(A) n,r(B)n.例16 已知n维向量组a1,a2,as 线性无关,则n维向量组b1, b2, bs 也线性无关的充分必要条件为(A) a1,a2,as 可用b1, b2, bs线性表示.(B) b1, b2, bs可用a1,a2,as线性表示.(C) a1,a2,as 与b1, b2, bs等价.(D) 矩阵(a1,a2,as )和(b1, b2, bs)等价.解：矩阵等价，即可用初等变换互化 A与B等价A与B行，列数对应相等，且（A） 是充分条件，不必要（B） 既不充分，又不必要（C） 是充分条件，不必要选（D）矩阵的等价 两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价. 矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同,秩相等.(看题解)例17 设a1,a2,as 都是n维向量，A是mn矩阵，下列选项中正确的是（ ）.(A) 若a1,a2,as线性相关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(B) 若a1,a2,as线性相关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关.(C) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(D) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关. (06)设c1,c2,cs不全为0使得 c1a1+c2a2+csas=0,则c1Aa1+c2Aa2+csAas=0.(Aa1,Aa2,Aas)= A(a1,a2,as) r(Aa1,Aa2,Aas)r(a1,a2,as)07年考题设 a1，a2，a3 线性无关，则( )线性相关：(A) a1-a2，a2-a3，a3-a1；(B)a1+a2，a2+a3， a3+a1；(c) a1-2a2，a2-2a3，a3-2a1； (D) a1+2a2， a2+2a3，a3+2a1 例22 设 a1，a2，a3 线性无关，则( )线性无关：(A) a1+a2，a2+a3，a3-a1；(B) a1+a2，a2+a3， a1+2a2+a3；(C) a1+2a2，2a2+3a3，3a3+a1； (D) a1+a2+a3，2a1-3a2+22a3，3a1+5a2-5a3 (97三)(看题解)看出（A），（B）两组向量线性相关，从（C）（D）中（C） 证 若即C可逆，则，无关若 ，则，所以相关（C）矩阵法：若a1，a2，a3 线性无关， 看 的线性相关性 证 则 C可逆线性无关例31 设A为n阶矩阵, a为n维列向量.正整数k使得Aka=0,但是Ak-1a0,证明a, Aa, Ak-1a线性无关.(看题解)设 （1） 得 得 例32 证明r(a1,a2,as ,b1, b2, bt)r(a1,a2,as)+ r(b1, b2, bt).解：取的一个极大无关组（I） 设 是（I）在中的部分 是（I）在中的部分则u=（I）+=是（I）在中的部分，所以+(看题解)例33 证明r(A+B)r(A)+r(B).(看题解)证 则 =例34 证明矩阵方程AX=B有解r(A|B)=r(A).(看题解)有解存在矩阵C，使得AC=B 的列向量可用A的列向量组线性表示 即第五讲 线性方程组 一. 线性方程组解的情况的判别，即有解有唯一解判别其解的情况用三个数:未知数的个数， 无解 有唯一解 (当A是方阵时,就推出克莱姆法则.) 有无穷多解例11 设A是mn矩阵，r(A)=r则方程组AX = b