《通项公式的求法》PPT课件

数列通项公式的求法,数列的通项公式:是一个数列的第n项 （即an）与项数n之间的函数关系,注： 有的数列没有通项公式， 如：3，e，6；有的数列 有多个通项公式,如：,下面谈一谈数列通项公式的常用求法：,一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）： 观察数列中各项与其序号间的关系，分解各 项中的变化部分与不变部分，再探索各项中 变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成 规律写出通项公式,解：变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为：,例1：数列9，99，999，9999，,练习.求数列3，5，9，17，33，通项公式,解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1， 通项公式为：,可见联想与转化是由已知认识未知的 两种有效的思维方法。,注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项 来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠 的，如2，4，8，。可归纳成 或 者 两个不同的数列（ 便不同）,（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1)d （2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下： 由 an+1=an+f(n)得：当n1时，有 an=an-1+ f(n-1) an-1 =an-2+ f(n-2) a3= a2 + f(2) a2 = a1 + f (1) 所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+ f(2)+ f(1).,一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。,二. 叠加法,(也称累加法）,即 当所给数列每依次相邻两项之间的差组成 等差或等比数列时,就可用累加法进行消元,例2，求数列：1，3，6，10，15，21， 的通项公式an,解： ,两边相加得：,练习 :已知数列an中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列an的通项公式。,解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1) an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2) a3 - a2 = 22 - 2 a2 - a1 = 21 - 1 各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+22+21) -(n-1) +(n-2)+2+1 =1+( 2n-2)- n(n-1)/2 = 2n - n(n-1)/2 1,当n=1时，a1=2-0-1=1,故，an= 2n _n(n-1)/2 - 1,已知,a1=a， an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。,备 注：,（1）当f(n)为常数,即： （其中q是不为0的数）, 此时,数列为等比数列，an=a1qn-1. （2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由 得n1 时， ，,三.叠乘法,对于型如：an+1=f(n)an 类的通项公式，当f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。,(也称累乘法、累积法）,当一个数列每依次相邻两项之商构成一个 等比数列时，就可用累积法进行消元.,本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出.,练习、已知数列 中 ， ， 求通项公式 。,解：由已知 ， ，得： 把1，2，n分别代入上式得： ， ，,把上面n-1条式子左右两边同时相乘得：,四、Sn法 已知数列的前n项和公式，求通项公式的 基本方法是：,注意：要先分n=1和n1 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。,例4已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。 （1） （2）,解： （1） ，当 时 由于 也适合于此等式 ,（2） ，当 时 由于 不适合于此等式,（1）若c=1时，数列an为等差数列; （2）若d=0时，数列an为等比数列; （3）若c1且d0时，数列an为线性递推数列， 其通项可通过构造辅助数列来求.方法1：待定系数法 设an+1+m=c( an+m),得an+1=c an+(c-1)m, 与题设an+1=c an+d,比较系数得: (c-1)m=d, 所以有：m=d/(c-1) 因此数列 构成以 为首项，以c为公比的等比数列，,五.辅助数列法,这种方法类似于换元法, 主要用于形如an+1=can+d (c0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。,（构造法或待定系数法）,.,方法四：归纳、猜想、证明. 先计算出a1,a2,a3; 再猜想出通项an; 最后用数学归纳法证明.,方法三：迭代法 由 递推式,直接迭代得,例5.已知数列an中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式,解法1：由an+1=2an+3得 an+1+3=2（an+3） 所以an+3是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（ a1+3） 2n-1 故an=62n-1-3,解法2：因为an+1=2an+3，所以n1时， an=2an-1+3，两式相减，得：an+1 - an=2(an-an-1). 故an-an-1是以a2-a1=6为首项，以2为公比的等比数列. an-an-1=(a2-a1)2n-1=62n-1, an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1 =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1),六、待定系数法：,用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， 或是 （b、为常数）， 若数列 为 等比数列，则 ， 或 。,例6已知数列 的前n项和为 ， 若 为等差数列，求p与 。,解： 为等差数列 ,例. 已知数列an中，a1=1, an+1-3an+1an-an=0, 求数列an的通项公式.,再见,