微分方程模型(人口模型.ppt

微分方程模型实例1人口模型,5.3.1 人口增长模型,微分方程模型实例1人口模型,5.3.1.1 马尔萨斯(Malthus)模型,Malthus (1766-1834), 英国的经济学家和人口统计学家，根据百余年的统计资料，在1798年提出了闻名于世的人口指数增长模型，即Malthus人口模型.,人口以几何级数增加！,考虑一个国家或地区的人口总数随时间变化的情况，记x(t)为t时刻该国家或地区的人口总数，对一个国家而言，迁入和迁出人数相对很小，故略去迁移对人口变化的影响，即人口变化仅与出生率和死亡率有关。,假设人口的出生率与死亡率之差与总人口成正比(即单位时间内人口增量与人口总数成正比) ，记为B-D=rx(t).,比例常数r称为自然增长率，它可以通过人口统计数据得到(即为常数) .,微分方程模型实例1人口模型,模型分析,人口将按指数规律无限增长！,人口将始终保持不变！,人口将按指数规律减少直至绝灭！,模型求解,用马尔萨斯(Malthus)模型估计我国人口的变化情况。为了方便对比，取1982年人口普查时得到的人口总数为初始值，即x0=10.1541亿，自然增长率r=1.4% ， t0=1982， 用公式 估计后各年我国总人口的变化，其结果如后表从表可以看到，在1983年到1990年的8年中，用马尔萨斯(Malthus)模型的相 对误差均在2以下，这表明此模型比较准确的预测了短期内人口变化的规律。,微分方程模型实例1人口模型,Malthus模型预测美国人口,微分方程模型实例1人口模型,Malthus模型预测美国人口误差分析,微分方程模型实例1人口模型,Malthus模型预测的优缺点,优点：,短期预报比较准确,缺点：,不适合中长期预报,原因：,该模型中的关键假设是自然增长率仅与人口出生率和死亡率有关，且是常数。这一假设使模型简单实用，但这一假设也导致了人口无限制的增长，显然用该模型来作长期人口预测是不合理的，需要改进。 没有考虑环境对人口增长的制约作用。,微分方程模型实例1人口模型,5.3.1.2 洛杰斯蒂克(Logistic)模型,提出背景,人们发现在人口比较稀少，资源较丰富的条件下，人口增长较快，可以在短期内维持常数增长率；但当人口数量发展到一定水平后，会产生许多问题，如食物短缺，交通拥挤等，这又导致人口增长率的减少，这种现象在某些动物种群的实验中也观察到。 在1837年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数K，表示人类生存空间及可利用资源(食物、水、空气)等环境因素所能容纳的最大人口数量(也称为饱和系数或环境容纳量)。,微分方程模型实例1人口模型,5.3.1.2 洛杰斯蒂克(Logistic)模型,模型假设,模型建立,人口增长的洛杰斯蒂克 (Logistic)模型：,微分方程模型实例1人口模型,模型分析,模型求解,微分方程模型实例1人口模型,人口增长率达到最大值,微分方程模型实例1人口模型,Logistic模型预测美国人口,微分方程模型实例1人口模型,Logistic模型预测的优缺点,优点,其用途十分广泛，除了用于预测人口增长之外，也可完全类似地用于虫口增长、疾病的传播、谣言的传播、技术革新的推广、销售预测等。 中期预报比较准确。,缺点,理论上很好，实用性不强,原因,预报时假设固有人口增长率 r 以及最大人口容量 K为定值。 实际上这两个参数（特别是 K）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。 前面图中曲线末端分叉就是由于这个原因。,微分方程模型实例1人口模型,Logistic模型预测美国人口误差分析,微分方程模型实例1人口模型,中国人口预测结果,微分方程模型实例1人口模型,补充：从另一个角度导出Logistic模型,微分方程模型实例1人口模型,模型分析,模型求解,*参数a和b可以通过已知数据利用Matlab中的非线性回归命令nlinfit求得。,