概率论第4章随机变量的数字特征.ppt

第一节 数学期望,第二节 方差,第三节 协方差与相关系数,随机变量的数字特征,第四章,基本要求:,1. 深刻理解数学期望与方差的定义; 2. 熟练掌握期望与方差的性质; 3. 能熟练地运用期望与方差的定义或性质求一些常见的随机变量的期望与方差; 4.理解独立与相关的概念, 会求协方差与相关系数; 5. 了解高阶矩的概念.,学时数 6,第一节 数学期望,一、数学期望的定义,1.离散型,定义1 设离散型随机变量X的分布律为:,若级数 绝对收敛, 则称:,为X的数学期望(简称期望)或均值.,2.连续型,定义2 设连续型随机变量X的分布密度为f(x), 若,绝对收敛, 则称,为X的数学期望或均值.,注 意：,（1）期望的定义是结构型的,定义本身给出了求期望的公式,但需知道分布律或分布密度.,（2）并不是任何随机变量的数学期望都存在;,（3） n维随机变量的数学期望是指n个数学期望的总体, 即:,例4.1 设X服从(0-1)分布,即PX=1=p,PX=0=q,求EX.,解:,例4.2 设x(), 求EX.,解:,因X的分布律为:,例 4.3 设XB(n , P), 求EX.,解:,X的分布律为:,例4.4 设X在a, b上服从均匀分布, 求X的均值.,解:,因X的分布密度为:,0 , 其它,例 4.5,解:,因X的分布密度为:,例 4.6 设X服从参数为的指数分布, 求 EX.,解:,因X的分布密度为:,0 , x 0,*例4. 7 设X服从参数0， r0的伽马(Gamma)分布，其分布密度为:,0, x0,求EX.,解:,*例 4.8 设X服从柯西分布, 其分布密度为:,试证明X的数学期望不存在.,证:,故X的数学期望不存在.,*例 4.9 设(X1 ,X2)服从二维正态分布,求(X1, X2)的均值.,解:,X1, X2的分布密度分别为:,又由例4.5知:,二、随机变量函数的数学期望,定理1设y= g (x)是连续实函数,Y=g ( X )是随机变量X的函数,(1)若X是离散型随机变量,其分布律为:,若级数,绝对收敛，则E(Y)存在,且,（2）若X是连续型随机变量,其分布密度为f(x),且 绝对收敛, 则E(Y)存在,且,证明:,Y,pi,g（x1）,p1,g（x2）,p2,按照离散型数学期望的定义，,定理2 设z = g (x, y)是二元连续函数, Z= g (X, Y)是二维随机变量的函数.,(1)若(X, Y)是离散型, 其联合分布律为:,且 绝对收敛, 则,(2)若(X, Y)是连续型,变其分布密度为f ( x, y), 且 绝对收敛, 则:,注 意:,(1)求随机变量的函数的期望并不要求知道其分布, 只需要知道作为自变量的随机变量X或(X,Y)等的分布即可.若先求出随机变量的函数的分布, 则求期望的问题化为一维随机变量的期望问题.,例 4.10 设X的分布律为,X,P,求:(1) 2X+1; (2) X2的期望.,解: (1),(2),例 4.11 设X的分布密度为,f ( x )=,求Y= 2X+1的均值.,解:,例 4.12 设(X , Y)的(联合)分布律为:,Y,求:(1) X+Y; (2) X-Y的均值.,X,解: (1),(2),例 4.13 设(X, Y)的联合分布密度为:,0 , 其它.,求Z=XY的期望.,解:,小结,三、数学期望的性质,设X , Y, Xi(i=1, 2, ,n )是随机变量, c是常数, 则数学期望有下列性质:,(1) E(c)=c;,(2) E(cX)=cE(X);,(3) E(XY)=E(X)E(Y);,(4)若X,Y相互独立;X1, X2,.Xn相互独立,则:,证明(4),*例4.14设随机变量X服从超几何分布,其分布律为:,求X的数学期望.,解:,设一批同类产品共有N件,其中次品M件,从中任取n件,则n件中所含次品数X是随机变量,它服从超几何分布.,令 Xk =,1 , 第k次抽到次品; 0 , 第k次抽到正品.,显然 X=X1+X2+Xn, 由性质(3)得:,例4.15 市内由甲地到乙地须先乘汽车再乘电车,乘汽车和电车运行的时间分别为18分钟和20分钟,汽车每4分钟开出一辆,电车每6分钟开出一辆.设乘客到达车站的时刻是随机的,因而等汽车所用的时间XU0,4,等电车所用的时间YU0,6,求由甲地乘车到乙地所须时间的平均值.,解:,设Z表示乘客由甲地到乙地所须的时间,则,例4.16 一工厂班车载有20位职工自工厂开出,中途有10个车站可以下车.在每一个车站如没有人下车便不停车.设每位职工等可能地在各个车站下车,并设各人是否下车相互独立,以X表示停车次数,求E(X).,解:,引入计数随机变量,第二节 方差,一、方差的定义,定义 设X是一随机变量, 若E(X-EX)2存在, 则称 E(X-EX)2为X的方差. 记为D(X) , 称 为X的均方差.(或标准差),注 意:,由方差的定义可知,X的方差就是X的函数Y=(X-EX)2的数学期望,故求期望的公式可用来求方差.,例 4.17 设X服从(0-1)分布,求DX.,解:,例4.18 设,求方差D(X).,解:,解:,例4.21设X服从参数为的指数分布,求X的方差与均方差.,解:,二、方差的性质,设X, Y和Xi(i=1,2,n)是随机变量,a,b,c是常数,则方差具有下列性质:,证明(3),例 4.22 设XB(n ,p)求DX,解1:,解2:,证1 :,证2:,证3:,例4.24 设随机变量的均值为EX,方差为DX( 0),引入新随机变量:,试证:,证:,注 意:,从上面的一些例子中可以看出, 只要知道上述这些随机变量的均值与方差,就可以唯一决定它的分布,这就体现了数字特征的重要意义.,下面的定理说明,由随机变量的数学期望和方差, 也可以对随机变量取值的统计规律提供一些信息.,证明:,证明:,第三节 协方差与相关系数,一、协方差,定义1 设X, Y是二个随机变量, 如果,存在,则称它为X与Y的协方差,记为Cov(X,Y).即,协方差的性质,设X,Y,Z是随机变量,a,b是常数,则:,(1) Cov(X , Y)=Cov(Y, X);,(2) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y);,(3) Cov(X+Y, Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y,Z);,(4) D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y);,(5) Cov(X, Y)=E(XY)-EXEY;,(6) Cov(X,a)=0;,(7) 如果X,Y独立,则C0v(X,Y)=0.,证明:,解:,(1),同理可得:,(2),为X与Y的相关系数或标准协方差.,二、相关系数,定义2 设X，Y为两个随机变量，称,定义3,注 意:,（i） X与Y的协方差就是X与Y的函数 g (X, Y)=(X-EX)(Y-EY)的数学期望;,（ii）X与Y的相关系数就是标准化随机变量的乘积的数学期望，即,三、有关相关系数的定理,（2）,定理2 如果X与Y相互独立,则X与Y不相关.,但是，逆命题不成立.,证明:,(X, Y)的联合分布密度为:,由前面的例知:,例 4.27 设(X, Y)等可能地取(-2, 0),(0, -2),(2, 0),(0, 2),试问X与Y是否独立?是否相关?,解:,X,Y的联合分布律和边缘分布律如下:,Y,X,即X与Y不相关.,所以X与Y也不相互独立.,由此可得,X,P,-2,0,2,1/4,2/4,1/4,同理可得,XY,P,0,1,四、原点矩与中心矩,设X的分布律(密度)为pi(f (x),(1)k阶原点矩定义为:,(2)k阶中心矩定义为:,五、混合矩与协方差矩阵,(1) 混合原点矩:,(2) 混合中心矩:,(3) 若X,Y的四个二阶中心矩存在,分别记为:,则协方差矩阵定义为:,例 4.29 设(X, Y)服从二维正态分布,试写出(X, Y)的协方差矩阵.,解:,可见,二维正态随机变量的联合分布密度可借助于它的协方差矩阵将指数写成矩阵形式,以便推广到n维正态随机变量的情形.,