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1.6 极限存在准则 两个重要极限 1,1.6 极限存在准则 两个重要极限,1.6 极限存在准则 两个重要极限 2,我们已经会计算一些代数函数（如多项式、有理函数）的极限， 但是还不会计算超越函数（如三角函数、指数函数、对数函数）的极限。 本节将介绍若干极限存在准则，并用它们来建立两个重要的极限。 然后得到一些涉及超越函数的极限。,1.6 极限存在准则 两个重要极限 3,一、极限存在准则,本节将给出两个极限存在准则： 夹逼准则和单调有界准则,1.6 极限存在准则 两个重要极限 4,准则 I （数列的夹逼准则）,设有三个数列：,若它们满足条件：,（1）,（2）,则,Squeeze Theorem,1.6 极限存在准则 两个重要极限 5,示意图,（1）,（2）,则,1.6 极限存在准则 两个重要极限 6,（1）,（2）,则,证明,1.6 极限存在准则 两个重要极限 7,1.6 极限存在准则 两个重要极限 8,注意：若,则不能形成夹逼：,1.6 极限存在准则 两个重要极限 9,准则 I （函数的夹逼准则） 设在 x0 的某个去心邻域内有,则,这个结论称为夹逼准则 This theorem is called the Squeeze Theorem.,1.6 极限存在准则 两个重要极限 10,Geometrical interpretation of the Squeeze Theorem,1.6 极限存在准则 两个重要极限 11,The Squeeze Theorem is also known as the Sandwich Theorem.,The Sandwich Theorem,1.6 极限存在准则 两个重要极限 12,利用夹逼准则，我们可以求一些困难的极限。 方法是： 将 f(x) 适当缩小为 g(x)，再适当放大为 h(x)， 使得 limg(x) = limh(x) = A（极限要容易求得） 则 limf(x) = A,常用形式：,高等数学学习手册46页,1.6 极限存在准则 两个重要极限 13,例 证明 ：,证,等价于,由夹逼准则,这是我们证明的第一个三角函数的极限,1.6 极限存在准则 两个重要极限 14,例 求极限,解,教材 56页, 习题 4(2),适当放大,适当缩小,1.6 极限存在准则 两个重要极限 15,高等数学学习手册28页 例1.2.3 1995年数学二考研题,类似的例子：,自学,1.6 极限存在准则 两个重要极限 16,利用夹逼准则，可以证明下列有用的极限：,高等数学学习手册25页 表1.2.1,1.6 极限存在准则 两个重要极限 17,例 证明：,证,只需证明：,令,只需证明：,1.6 极限存在准则 两个重要极限 18,令,只需证明：,由夹逼性,1.6 极限存在准则 两个重要极限 19,课内练习,由夹逼准则,教材 57页 习题 4(5),思考：,利用夹逼准则证明：,提示 利用不等式,1.6 极限存在准则 两个重要极限 20,高等数学学习手册 46页 例1.6.1,课外作业： 证明：,1.6 极限存在准则 两个重要极限 21,我们知道：收敛数列一定是有界数列， 但是有界数列不一定收敛。 以下准则表明：有界的单调数列一定收敛。,1.6 极限存在准则 两个重要极限 22,准则 II （数列的单调有界准则） 单调有界数列必有极限。,观察：,单调递增,有上界,最小上界：,极限：,上确界,supremum,1.6 极限存在准则 两个重要极限 23,设 xn是递增数列 ：,且 xn有上界：,则 xn收敛，且,准则 II （数列的单调有界准则） 单调有界数列必有极限。,最小上界,1.6 极限存在准则 两个重要极限 24,1.6 极限存在准则 两个重要极限 25,设 xn是递减数列 ：,且 xn有下界：,则 xn收敛，且,下确界,infimum,最大下界,准则 II （数列的单调有界准则） 单调有界数列必有极限。,1.6 极限存在准则 两个重要极限 26,1.6 极限存在准则 两个重要极限 27,确界的存在性？ 公理 (高等数学学习手册10页)： 有上界的实数集必有上确界（最小上界）。 有下界的实数集必有下确界（最大下界）。,见：江泽坚数学分析（上册）4页,1.6 极限存在准则 两个重要极限 28,证明：设 xn是递增数列 ，且有上界。,单调有界数列必有极限,根据实数的确界公理，数列有最小上界，设最小上界为 A。下面证明数列以 A 为极限。,因为 A 是数列的最小上界，,故 不是数列的上界，于是存在正整数 N，使得,2008.10.26,1.6 极限存在准则 两个重要极限 29,设 xn是递增数列 ：,且 xn无上界：,则 xn发散到正无穷大：,1.6 极限存在准则 两个重要极限 30,设 xn是递减数列 ：,且 xn无下界：,则数列发散到负无穷大：,1.6 极限存在准则 两个重要极限 31,数列极限的单调有界准则可以用来求一些困难的数列极限： 有时，我们很难直接判断一个数列的收敛性，但比较容易判定该数列的单调性和有界性，从而知道该数列的收敛性。,1.6 极限存在准则 两个重要极限 32,例,设,证明数列xn收敛，并求其极限。,高等数学学习手册29页 例1.2.4 (1996年数学一考研题),微积分学习指导26页 例1.25,1.6 极限存在准则 两个重要极限 33,在证明之前 我们来作一个小的数学实验 用 EXCEL 计算数列的若干项 EXCEL程序,1.6 极限存在准则 两个重要极限 34,观察：数列递减，无限逼近于 3,1.6 极限存在准则 两个重要极限 35,EXCEL很聪明 特别擅长计算归纳定义的数列 大家不妨试一试,1.6 极限存在准则 两个重要极限 36,例,设,证明数列xn收敛，并求其极限。,证,现在来证明我们的观察,(1) 数列xn 的单调性,首先,归纳假设,欲证,1.6 极限存在准则 两个重要极限 37,证,(1) 数列xn 的单调性,首先,归纳假设,欲证,事实上,所以数列xn 单调递减,1.6 极限存在准则 两个重要极限 38,(2) 数列xn 的有界性,有界性是显然的，因为,由数列的单调有界准则，数列收敛。,设,0是数列的下界。,对于单减数列只需说明它有下界,1.6 极限存在准则 两个重要极限 39,设,（舍去）,3 是数列的最大下界,1.6 极限存在准则 两个重要极限 40,准则 II（函数的单调有界准则）。（了解）,设函数 f(x) 在某个区间 (x0-, x0) 上单调增加，且有上界，则 f(x) 在 x0 的左极限存在：,设函数 f(x) 在某个区间 (x0, x0+) 上单调增加，且有下界，则 f(x) 在 x0 的右极限存在：,1.6 极限存在准则 两个重要极限 41,2008.11.02,同理，对于单调减少的函数也有类似的性质：,设函数 f(x) 在某个区间 (x0-, x0) 上单调减少，且有下界，则 f(x) 在 x0 的左极限存在：,设函数 f(x) 在某个区间 (x0, x0+) 上单调减少，且有上界，则 f(x) 在 x0 的右极限存在：,1.6 极限存在准则 两个重要极限 42,命题（单调函数的单侧极限） （选学）,设函数 f(x) 在区间 (a, b) 上的单调增加， 则 f(x) 在任何点 x(a, b) 处的两个单侧极限 f(x-) 和 f(x+) 都存在，且,2008.11.02,1.6 极限存在准则 两个重要极限 43,同理,设函数 f(x) 在区间 (a, b) 上的单调减少， 则 f(x) 在任何点 x(a, b) 处的两个单侧极限 f(x-) 和 f(x+) 都存在，且,2008.11.02,1.6 极限存在准则 两个重要极限 44,二、两个重要极限,现在，我们利用极限的存在准则来建立两个重要的极限： 一个极限涉及三角函数 另一个极限涉及指数函数,1.6 极限存在准则 两个重要极限 45,1. 重要极限,是偶函数,是 型,1.6 极限存在准则 两个重要极限 46,1.6 极限存在准则 两个重要极限 47,看上去有极限：,1.6 极限存在准则 两个重要极限 48,因为,首先假定,设 x 满足,1.6 极限存在准则 两个重要极限 49,作图,由图形可知,x 是弧度,1.6 极限存在准则 两个重要极限 50,因此,或,1.6 极限存在准则 两个重要极限 51,现在设,则,于是,仍有,1.6 极限存在准则 两个重要极限 52,得到,因为,由夹逼定理，我们得到极限：,我们已经成功地将 sinx/x 夹在 cosx 和 1 之间,1.6 极限存在准则 两个重要极限 53,with(plots):M:=4: A:=plot(sin(x)/x,x=-M.M,y=-1.2): B:=plot(cos(x),x=-M.M,y=-1.2,color=blue): C:=plot(1,x=-M.M,y=0.1.2,color=brown): display(A,B,C,scaling=constrained,thickness=3);,back,1.6 极限存在准则 两个重要极限 54,注 由,得,若,仍有,所以,同理,常用公式,1.6 极限存在准则 两个重要极限 55,with(plots):M:=4: A:=plot(sin(x),x=-M.M,y=-2.2): B:=plot(x,x=-M.M,y=-1.2,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3);,1.6 极限存在准则 两个重要极限 56,重要极限,1.6 极限存在准则 两个重要极限 57,例 求,解,1.6 极限存在准则 两个重要极限 58,例1 求,解,1.6 极限存在准则 两个重要极限 59,with(plots):M:=Pi/2: A:=plot(tan(x),x=-M.M,y=-5.5): B:=plot(x,x=-M.M,y=-5.5,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3);,1.6 极限存在准则 两个重要极限 60,例2 求,解,1.6 极限存在准则 两个重要极限 61,推论,1.6 极限存在准则 两个重要极限 62,with(plots):M:=5: A:=plot(1-cos(x),x=-M.M,y=-.51.3): B:=plot(x2/2,x=-M.M,y=-.51.3,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3);,1.6 极限存在准则 两个重要极限 63,例 求,解,或令,1.6 极限存在准则 两个重要极限 64,with(plots):M:=2: A:=plot(x*sin(1/x),x=-M.M,y=-1.5.1.5): B:=plot(1,x=-M.M,y=-1.5.1.5,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=2);,1.6 极限存在准则 两个重要极限 65,应从本质上认识这个极限,见高等数学学习手册48页 重要极限的各种形式,1.6 极限存在准则 两个重要极限 66,例 3 求,解,令,1.6 极限存在准则 两个重要极限 67,with(plots):M:=1: y1:=-Pi/1.9:y2:=Pi/1.9: A:=plot(arcsin(x),x=-M.M,y=y1.y2): B:=plot(x,x=-M.M,y=y1.y2,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3);,1.6 极限存在准则 两个重要极限 68,例 3 求,解,令,用类似的方法可得：,1.6 极限存在准则 两个重要极限 69,课内练习 求,解,高等数学学习手册 48页 例1.6.3,1.6 极限存在准则 两个重要极限 70,课内练习 求极限,解,无穷小乘以有界函数,注,不是,注意：这不是重要极限！,见教材48页，例8,1.6 极限存在准则 两个重要极限 71,with(plots):M:=20: y1:=-Pi:y2:=Pi: A:=plot(sin(x)/x,x=0.M,y=y1.y2): B:=plot(1/x,-1/x,x=0.1.M,y=y1.y2,color=blue): display(A,B,scaling=unconstrained,thickness=2);,1.6 极限存在准则 两个重要极限 72,2. 重要极限,是幂指函数,先考虑数列极限：,1.6 极限存在准则 两个重要极限 73,在证明之前 我们来作一个小的数学实验 用 EXCEL 计算数列的若干项 EXCEL程序,1.6 极限存在准则 两个重要极限 74,观察：数列递增，有上界 3,1.6 极限存在准则 两个重要极限 75,1.6 极限存在准则 两个重要极限 76,1.6 极限存在准则 两个重要极限 77,(1) xn的单调性,1.6 极限存在准则 两个重要极限 78,(1) xn的单调性,xn单调增加,1.6 极限存在准则 两个重要极限 79,(2) xn的有界性,1.6 极限存在准则 两个重要极限 80,3是数列的上界 故 xn有界,1.6 极限存在准则 两个重要极限 81,存在,且,记,1.6 极限存在准则 两个重要极限 82,Swiss mathematician,1737年， Euler证明：e 是无理数 1873年， Hermite证明：e 是超越数（不是代数方程的解）,1.6 极限存在准则 两个重要极限 83,1737年， Euler证明：e 是无理数 1873年， Hermite证明：e 是超越数（不是代数方程的解）,In 1748 Leonard Euler found the value of e correct to 23 digits. In 2000 Xavier Gourdon and S. Kondo, using computers, computed e to more than 12 billion decimal places. From Stewarts Calculus (5th ed.), p765,1.6 极限存在准则 两个重要极限 84,In 1748 Leonard Euler used this equation to find the value of e correct to 23 digits. In 2000 Xavier Gourdon and S. Kondo, again using the series, computed e to more than 12 billion decimal places. From Stewarts Calculus (5th ed.), p765,2010年 Kondo and Yee 将 e 计算到小数点后 1 trillion (万亿) 位。,putation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html,1.6 极限存在准则 两个重要极限 85,Last update: August 2010,putation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html,1.6 极限存在准则 两个重要极限 86, evalf(exp(1),100);,2.7182818284590452353602874713526624977572470936999 59574966967627724076630353547594571382178525166427, evalf(exp(1),1000);, evalf(exp(1),23);,1.6 极限存在准则 两个重要极限 87, evalf(exp(1),3000);,1.6 极限存在准则 两个重要极限 88,2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493382656029760673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981933432106817012100562788023519303322474501585390473041995777709350366041699732972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771943252786753985589448969709640975459185695638023637016211204774272283648961342251644507818244235294863637214174023889344124796357437026375529444833799801612549227850925778256209262264832627793338656648162772516401910590049164499828931505660472580277863186415519565324425869829469593080191529872117255634754639644791014590409058629849679128740687050489585867174798546677575732056812884592054133405392200011378630094556068816674001698420558040336379537645203040243225661352783695117788386387443966253224985065499588623428189970773327617178392803494650143455889707194258639877275471096295374152111513683506275260232648472870392076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020572481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322818315219600373562527944951582841882947876108526398139559900673764829224437528718462457803619298197139914756448826260390338144182326251509748279877799643730899703888677822713836057729788241256119071766394650706330452795466185509666618566470971134447401607046262156807174818778443714369882185596709591025968620023537185887485696522000503117343920732113908032936344797273559552773490717837934216370120500545132638354400018632399149070547977805669785335804896690629511943247309958765523681285904138324116072260299833053537087613893963917795745401613722361878936526053815584158718692553860616477983402543512843961294603529133259427949043372990857315802909586313826832914771163963370924003168945863606064584592512699465572483918656420975268508230754425459937691704197778008536273094171016343490769642372229435236612557250881477922315197477806056967253801718077636034624592787784658506560507808442115296975218908740196609066518035165017925046195013665854366327125496399085491442000145747608193022120660243300964127048943903971771951806990869986066365832322787,Mathematica (2010-7-31) NE,3000,1.6 极限存在准则 两个重要极限 89,现求,先求,令,则,1.6 极限存在准则 两个重要极限 90,先求,令,则,1.6 极限存在准则 两个重要极限 91,1.6 极限存在准则 两个重要极限 92,再求,令 x = - t 则,因为,所以,1.6 极限存在准则 两个重要极限 93,这个图形见 高等数学学习手册 49页 图1.6.5,1.6 极限存在准则 两个重要极限 94,with(plots):plot(1+1/x)x,exp(1),x=0.01.20,y=0.3,color=red,blue,blue,thickness=2,2,1);,1.6 极限存在准则 两个重要极限 95,例,求,解,令,则,当,时，,1.6 极限存在准则 两个重要极限 96,一般,从本质上认识这个极限,高等数学学习手册4849页,1.6 极限存在准则 两个重要极限 97,例,求,解,1.6 极限存在准则 两个重要极限 98,例4,求,解,1.6 极限存在准则 两个重要极限 99,一般有以下重要公式：,高等数学学习手册49页,1.6 极限存在准则 两个重要极限 100,例,求,解,设法化成形式,1.6 极限存在准则 两个重要极限 101,求,另解,高等数学学习手册49页,1.6 极限存在准则 两个重要极限 102,课内练习,1 求,解,1.6 极限存在准则 两个重要极限 103,课外练习,设,求 a,高等数学学习手册49页 例1.6.4 ( 1996年数学一考研题 ),1.6 极限存在准则 两个重要极限 104,用数学软件计算极限,例 求极限,解 在Mathematica中输入命令： LimitSinx/x,x-0 输出结果：1,Mathematica,2010.9.13,详见用数学软件Mathematica做微积分,数学软件知识,1.6 极限存在准则 两个重要极限 105,选学内容,1.6 极限存在准则 两个重要极限 106,例 证明：,证,设,则,当,又,设,则,故,1.6 极限存在准则 两个重要极限 107,与这个重要极限有关的其它重要极限有： (见高等数学学习手册49页),教材68页，例 6，7,特例,1.6 极限存在准则 两个重要极限 108,课内练习,2 求,解,1.6 极限存在准则 两个重要极限 109,极限,为何很重要?,数学家为何想到这样一个奇怪的函数的极限？ 这是因为这个极限能反映一些自然增长的规律。 一个典型的例子就是所谓的连续复利问题。 设本金： A0，年利率：r (如 r =1.98%),1.6 极限存在准则 两个重要极限 110,连续复利问题 设本金： A0，年利率：r,一年后的本利：,如果一年记息四次（每季度记息一次）：,利率：,第一季度后的本利：,第二季度后的本利：,1.6 极限存在准则 两个重要极限 111,一年后的本利：,如果一年记息四次（每季度记息一次）：,利率：,第一季度后的本利：,第二季度后的本利：,第三季度后的本利：,一年后的本利：,1.6 极限存在准则 两个重要极限 112,如果一年记息12次（每月记息一次）：,月利率：,一年后的本利：,如果每小时记息一次，每秒记息一次，,一年后的本利：,如果每天记息一次：,1.6 极限存在准则 两个重要极限 113,如果一年记息 n 次：,每期利率：,一年后的本利：,设记息次数 n 无限增加，得连续复利的本利,一年后,1.6 极限存在准则 两个重要极限 114,一年后,k 年后,1.6 极限存在准则 两个重要极限 115,连续复利是一个著名的计算方法,