数学思想与方法作业

数学思想与方法作业一一、简答题1、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。2、比较决定性现象和随机现象的特点，简单叙述确定数学的局限。二、论述题1论述社会科学数学化的主要原因。2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。三、分析题1分析几何原本思想方法的特点，为什么？2、分析九章算术思想方法的特点，为什么？答：（1）开放的归纳体系从九章算术的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。在九章算术中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个九章算术。另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入九章算术。因此，九章算术是一个开放的归纳体系。（2）算法化的内容九章算术在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是九章算术思想方法上的特点之一。（3）模型化的方法九章算术各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。数学思想与方法作业二一、简答题1叙述抽象的含义及其过程。2叙述概括的含义及其过程。答：概括是指在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念的思维过程。概括通常可分为经验概括和理论概括两种。经验概括是从事实出发，以对个别事物所做的观察陈述为基础，上升为普遍的认识由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。在数学中经常使用的是理论概括。一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。3简述公理方法历史发展的各个阶段。4简述化归方法并举例说明。二、论述题1叙述不完全归纳法的推理形式，并举一个应用不完全归纳法的例子。答：不完全归纳法的一般推理形式是：设S=；由于具有属性p，具有属性p，具有属性p，因此推断：S类事物中的每一个对象都可能具有属性p。例如：记，由于633，835，1037，1257，这里3，5，7都是奇素数，因此推断：S中的数，即大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和。2叙述类比推理的形式。如何提高由类比的可靠性？3试比较归纳猜想与类比猜想异同。三、设计题设计运用“猜想”进行数学教学的一个片断。答：以“认识长方形的对边相等”为内容，设计一个教学片断。将教学过程设计成四个层次：让学生说一说：我们周围有哪些长方形物体？学生会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例子。要求学生仔细观察：看一看、想一想，这些长方形的四条边的长短有什么关系？学生经过观察后，会猜想：长方形相对的两条边长度相等。教师进一步提出问题：同学们敢于大胆猜想的精神值得鼓励！我们怎样才能验证长方形相对的两条边的长短相等呢？这时，学生会想出许多办法，如：用尺量、将图形对折等方法。教师顺势引导学生通过量量、折折的具体操作，确信长方形相对的两条边长短相等。教师板书：长方形对边相等。接着，师生讨论长方形“对边”的含义，以及一个长方形有几组对边的问题。巩固长方形对边相等的认识。利用多媒体展示一些长方形：教师提问：如何填写括号内的数字？为什么？要求学生会用“因为所以”句式回答。如“因为长方形的对边相等，已知长方形的一条边是3厘米，所以它的对边也是3厘米。”数学思想与方法作业三一、简答题1简述计算和算法含义。2简述数学教学中引起“分类讨论”的原因。答：数学教学中引起“分类讨论”的原因有：数学中的许多概念的定义是分类给出的，因此涉及到这些概念时要分类讨论。数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的，进行这类运算时要分类讨论。有些几何问题，根据题设不能只用一个图形表达，必须全面考虑各种不同的位置关系，需要分类讨论。许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值不同，会使问题出现不同的结果。因此需要对字母参数的取值情况进行分类讨论。二、论述题1什么是数学模型方法？并用框图表示MM方法解决的基本步骤。答：所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法，简称MM方法。MM方法解题的基本步骤框图表示如下：2特殊化方法在数学教学中有哪些应用？三、计算题1用程序框图表述如下问题的求解过程:在1500中，找出能同时满足用3除余2，用5除余3，用7除余2的所有整数。2一个星级旅馆有150个房间。经过一段时间的经营实践，经理得到数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55%；如果每间客房定价为140元，住房率为65%；如果每间客房定价为120元，住房率为75%；如果每间客房定价为100元，住房率为85%。欲使每天收入提高，问每间住房的定价应是多少？（提示：为便于建立一天收入的数学模型可作如下假设：（1）设每间房的最高定价为160元；（2）设随着房价的下降住房率呈线性增长；（3）设旅馆每间客房定价相等。3.已知AOB及点P，连接OP，若P点不在OB边上，且BOP表示以OB为始边、按逆时针方向旋转到OP的角，试比较AOB与BOP的大小。数学思想与方法作业四一、简答题1简述国家数学课程标准的几个主要特点。答：把“现实数学”作为数学课程的一项内容；把“数学化”作为数学课程的一个目标；把“再创造”作为数学教育的一条原则。把“已完成的数学”当成是“未完成的数学”来教，给学生提供“再创造”的机会；把“问题解决”作为数学教学的一种模式；把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线。要求学生掌握基本的数学思想方法；把“数学活动”作为数学课程的一个方面。强调学生的数学活动，注重“向学生提供充分从事数学活动的机会”，帮助他们“获得广泛的数学活动的经验”；把“合作交流”看成学生学习数学的一种方式。要让学生在解决问题的过程中“学会与他人合作”，并能“与他人交流思维的过程和结果”；把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具。2简述数学思想方法教学的主要阶段。答：数学思想方法教学主要有三个阶段：多次孕育、初步理解和简单应用阶段。这对应学生理解掌握数学思想方法的三个阶段，即：潜意识、明朗化和深刻理解阶段。二、论述题1论述小学数学加强数学思想方法教学的重要性。答：数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表现在：(1)掌握数学思想方法能更好地理解数学知识。(2)数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用。(3)加强数学思想方法的教学是以学生发展为本的必然要求。2简述数学思想方法教学应注意哪些事项。答：数学思想方法教学应注意以下事项：(1)把数学思想方法的教学纳入教学目标；(2)重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标；(3)做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作；(4)不同数学思想方法应有不同的教学要求；(5)注意不同数学思想方法的综合应用。三、分析题1结合下列材料，请你设计一个“数形结合”教学片段。材料：如图所示，相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。（1）分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列规律？（2）求出各图外面一周的点子数、中间的点子数以及各图形的面积，找出一周的点子数、中间的点子数、各图形的面积三者之间的关系。2假定学生已有了除法商的不变性知识和经验，在学习分数的性质时，请你设计一个孕育“类比法”教学片段。