时间反演分立对称性

4.4 时间反演分立对称性,一、牛顿力学的时间反演变换 经典力学情形：一受保守力场作用的粒子其轨迹如图 若x(t)是牛顿方程的解，令t=-t,有 x(-t)也是牛顿方程的解 (时间反演:xx,dx/dt-dx/dt) 可见时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。,二、电动力学的时间反演变换,Maxwell方程： Lorentz力： 对t-t变换,若 则Maxwell方程和Lorentz力形式不变。 即若 上述讨论表明，经典物理中的时间变换为： t-t， xx, v-v (p-p), , EE, j-j, B-B,三、薛定谔方程的时间反演变换,对薛定谔方程， ， 作时间反演： 可见(x,-t)与(x,t)满足不同的方程 对上式取复共轭，得： 可见对解(x,t) ，有相应解*(x,-t) 因(x) =，时间反演波函数由*给出,四、反幺正算符,若一对称操作使 ，从前遇到的情况为内积不变，相应对称操作以幺正算符表征 对时间反演,波函数变为复共轭,应有 定义：对变换 ,如果 称为反幺正算符 后一式所定义的算符称为反线性算符。,一般而言，反幺正算符可写成=UK，U为幺正算符，K为复共轭算符。K对右矢的叠加系数作用，即 若|不是基矢,可展开为以|a为基矢的矢量: K的作用效果依赖于基矢的选取（故U也必与基矢选取有关） 是反幺正的说明： 是反线性的 是反幺正的,五、时间反演算符,时间反演态（运动反演态）： | 如由上面讨论知，动量本征态|p的时间反演态: |p=|-p 时间反演算符的基本性质 假设态矢具有时间反演对称性： 得：-iH=iH，应为反幺正算符 H=H,六、时间反演算符的运算,仅考虑从左边作用于右矢，和利用 及左右矢的对偶对应关系 重要等式： 这是因为对 ， 有 故,对厄米算符A，有 若A-1=A，称A在时间反演下具有偶(奇)对称 由此， 可得A在时间反演态的期望值： 由 ，知 p-1=-p 类似地, x-1=x, |x=|x 从 亦可知J-1=-J,七、厄米算符的时间反演对称性,八、波函数的变化,由 知： 对球谐函数： 可见： 定理：若H在时间反演下不变，且能量本征态非简并，则相应波函数是实的。 证: H|n=H|n=En|n, |n与|n相同, 故=* 注意：时间反演态的动量空间波函数为*(-p),九、自旋1/2体系的时间反演,因 (时间反演的效果) 得 由于 有 所以： 对无自旋体系2=1 两者很不相同！,十、一般角动量体系的时间反演,由 ，得 而 故对任意|: 此外，由于 不妨约定 （对自旋1/2体系，该约定对应于取 ） 一般地可约定： 注：相位约定依处理问题方便而定，但2=1与相位约定无关。,十一、球张量的时间反演性质,对 若A是 的分量，由于Wigner-Eckart定理 只要考虑q=0的分量即可。 对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=0分量确定： ； 由于x对应于k=1，且对时间反演是偶的，故对jm的本征态=0，这对非宇称本征态亦成立,十二、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并,电荷在静电场中，V(x)=e(x), H,=0 由于,U(t,t0)0, 不存在量子数的时间反演守恒。但H,=0导致非简并态波函数为实数 更重要的推论是Kramers简并。由于|n与|n同为H的本征态，若非简并， |n=ei|n. 对j半整数体系，则-|n=|n=ei|n=|n,故|n与|n不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的复杂程度。因此，具有不同奇偶电子数的晶体在外电场中的行为很不相同。 有外磁场时,H含 在时间反演下是奇的, ,H0 ,不存在Kramers简并,作业,4.7、4.8、4.10,