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1,物理量 看成 和 的函数,1. 物质坐标和空间坐标的概念,物质坐标(Lagrange 坐标): 标记各个质点,一般选取各个质点的初始空间位置,拉格朗日方法:以质点为研究对象,研究在给定质点上的物理量随时间的变化规律,以及物理量从一个质点到另一个质点的变化规律.,第三章 连续介质运动学,3.1、物质坐标和空间坐标,(3-1),其位置的历史为,2,空间坐标(Euler坐标):标记各个质点在不同时刻占据的空间位置,欧拉方法:研究在所给定的空间位置上各物理量随时间的变化,以及这些物理量从一个空间位置转移到另一个空间位置时的变化规律.,看成,和,的函数.,(3-2),3,物质坐标 和空间坐标 的关系,对于一个质点,在空间坐标中,在不同的时刻处于不同的空间位置,可以描述成:,或,加入质点因素,则有,质点不同,则质点的运动轨迹也不同.,(3-3),若 不变,则表示以 为标记的质点的轨迹; 不变,表示各个质点在该时刻所处的空间位置.,4,若(3-3)存在逆变式,应满足,每个时刻连续介质所占据的空间位置上都有一个质点存在.质点和空间位置一一对应.,则,5,空间导数,物质导数,物理量:,空间导数,质点的运动速度?,(3-4),物质导数,质点的运动速度?,6,质点位移:,取物质坐标为连续介质质点在初始时刻的空间位置,在 时刻连续介质的位形:,质点在t时刻相对于初始时刻的位移:,速度定义,加速度,2. 质点位移,速度和随体微商,7,一般物质导数用 表示.,物质导数:即随体导数,给定质点上函数对时间的变化率.,则,质点速度,(3-5),(3-6),8,或写成:,物质导数算子:,运用了物质导数算子,为瞬时速度场.,1) 速度(Lagrange形式),2) 速度(Euler形式),(3-7),9,加速度(Lagrange形式):速度的物质导数,加速度(Euler形式),10,例1:,求速度场 和加速度场,已知位移场,(Lagrange),(Euler),解:,11,例2. 运动由下式给出,确定作为物质形式和欧拉形式的速度分量.,解:(1) 位移场,其中:,作为物质坐标函数的位移分量可表示为:,12,可得速度场分量为:,从运动方程可解得: 则位移分量作为欧拉坐标的形式为:,13,联立求解得:,14,质点 的运动轨迹,3 迹线和流线,15,迹线:描述一个质点运动轨迹. 质点不同，运动轨迹不同,则迹线不同.,一个质点的运动规律的数学描述:,分量形式:,消去时间,迹线,质点的轨迹,曲面,t为自变量.,16,欧拉描述的迹线:,轨迹与速度的联系:,积分,质点轨迹.,(3-8),17,时刻流场中的一条流线,流线:,18,流线(固定时刻流场中的一条曲线):该曲线上的每一点的切线方向是处于该空间位置上的质点的速度的方向.,由,推出:,流线,曲面,(3-9),19,迹线与流线区别:,迹线 拉格朗日观点, 同一质点 不同时刻 的轨迹,流线 欧拉观点 不同质点 同一时刻,一般不定常流动中,流线和迹线不重合.,迹线,流线,20,(1) 现在考察 点处质点的轨迹,速度场描述(欧拉空间),速度场描述(拉格朗日空间),位置矢量,速度场,运用,其他时刻,21,(2)在 的流线,定常运动,流线和迹线重合.,22,例: 已知速度场,求 时过 点的迹线和流线.,流线微分方程:,积分后得,代入已知条件得,流线方程为:,迹线方程,迹线微分方程:,23,若质点运动为定常运动,流线方程,迹线方程,定常运动,则流线和迹线重合.,积分:,代入初条件:,24,3.2 变形张量,弯曲,扭转,几种变形模式,3.4.1 应变张量概念的引入,25,线应变,26,剪应变,27,或,应变: 小变形 有限变形(变形量较大的情况),材料力学中应变度量:,28,初始时刻:,终了时刻:,位移:,分量形式:,1 应变张量,29,变形后分别为,变形前图形中两点,变形前两点的距离,变形后两点的距离,(3-11),(3-12),30,变形前后两点的距离,可知,从关系式,(3-13),(3-14),31,定义应变张量,长度平方之差写为,张量,变换关系,(3-15),(3-16),32,格林 圣维南引入 格林应变张量,式(15),(16)则可写为:,柯西 （无限小应变） 艾尔门西 和海麦尔 （有限应变） 艾尔门西应变张量,流体力学中 拉格朗日应变张量,流体力学中 欧拉应变张量,对称张量,33,若,刚体运动,2 应变张量用位移描述,初始位置,变形后位置,P(a1, a2, a3),P,a1,a2,a3,34,应变张量化为,于是有,或,35,例.考察单位尺寸的方板,其变形如图示,试求应变分量 .,1,1,O,1,解:方板的变形用方程来描述: 或,36,代入变形方程即可得应变分量为:,37,1) 取变形前为,为第一坐标轴上的线元,则,3 坐标轴上线元的相对伸缩,a1,a2,a3,线元的相对伸缩为,代入,同理 可得:,描述了第一,第二,第三坐标轴上线元的相对伸缩.,38,2)取变形后 为第一坐标轴上线元,同理有:,记此线元的相对伸缩为,可得,有,代入,39,变形后两线元变为,最后得,4 坐标轴间角度的变化,1) 取变形前在第一第二坐标轴上成直角的两线元,长度分别为,夹角为,代入,a1,a2,a3,40,剪切角为,而,因此有,41,2) 取变形后的第一,第二坐标上各取线元,变形前两线元分别是 ,大小 ,夹角,代入,剪切角,从而有,42,在小变形时，即位移梯度很小，即,称为小变形张量,由,可得,3.3 小变形张量,1 位移梯度的假定和小变形张量,43,小变形张量的分量为,特点: 二阶对称张量,有主应变,应变主方向.,44,例.再次考察单位尺寸的方板,向右的剪切是一个非常小的量,变形方程可写为 或 应变分量为: 上述情况下, 度量近似相等.,45,分别了描述了 轴方向上线元的相对收缩.,物理意义:,表示,间直角的剪切角.,46,对于位移场,若记,分量为:,旋转矢量,2 小变形位移的分解,47,即有,旋转矢量与旋转张量的关系,则,48,平动,刚体转动,变形引起的位移,小变形位移的分解:,相容性条件 当方程的个数比未知数多时,方程组不 一定有解.如果有解,则应该满足一定的条件.,方程若有解,则f和g必须满足相容性条件,引入记号,49,说明: 6个应变分量可以用来描述一点的变形,而一点处的位移又与变形有关.真实的位移解必定是连续的单值函数.由变形几何方程表明,3个位移分量可以完全确定物体的变形,所以由3个位移分量导出的6个应变分量不可能任意变化,他们应满足一定的关系,即变形协调条件.否则,对于任意给定的一组应变分量,由几何方程积分求得的位移函数不一定单值连续.在这种情况下,所给定的应变分量将使变形不协调,变形后或着出现裂缝,或者重叠.与真实的变形不符合.,50,求两次偏微商:,偏微分可以交换顺序,则有,相容性条件,六个独立的方程:,51,上述六个方程又满足三个恒等式:,若对平面运动情况:,则,六个相容性方程只剩下一个,即,应变分量不能任意给定,必须受到应变协调方程的限制.而限制应变分量的6个协调方程也不是完全独立.,52,4. 有小变形张量求位移场,为固定点,在其上位移,求场内任一点,处的位移.,53,以：,代入上式，得:,即：,其中,54,上式线积分与路径无关，有：,由 的表达式，有：,两式相减：,从而有：,55,此即 所应满足的相容性条件.,特别地如 是零张量（即没有变形），则:,平移,刚体运动,旋转,如果给出了满足相容性条件的小变形张量 后,即可确定位移场u .,56,均匀变形:变形体内应变张量处处相等,则位移分量是坐标的线性函数,即,均为常数.,特点: 1)平面上各点变形后仍在同一个平面上; 2)平行的平面在变形后仍为平行平面. 3)在任意给定的方向上,所有点的变形都相同,不同位置处,方向相同的几何相似图形在变形后仍然保持几何相似. 4)一个圆球面在变形后为一个椭球面.,刚体运动:应变张量为零.,57,3.4 位形梯度张量及其极分解,1 位形梯度张量,给出t时刻连续介质体的位形。,（t固定）,式中 称为位形梯度。于是,由于 和 是矢量，故 是二阶张量，称为位形梯度张量.,因位移,58,称为右哥西格林变形张量,称为左哥西格林变形张量,其中,或,而,由 的定义，知 C为二阶对称张量。由于,或,对于刚体运动，E=0，C=I,不论变形大小均成立!,59,2 用 表征变形,任取 ， ， ， 为 的方向余弦。 变形后为 ，其长度为ds,故 方向上单位长度的伸缩为,同理， 方向上的相对伸缩为,60,记 和 间夹角为 ，变形后 和 间夹角为 ，则,即,代入得,以 除两边 得：,即：,61,A,B,C,D,1,例: ABCD是单位方板,承受的均匀小应变由下式给出,62,把位形梯度张量F作极分解： F=RU（实际变形时detF0） R为正交张量，它代表刚体转动；U为正定对称张量， 它代表纯变形。F=RU可看成是先变形后转动的合成。,3. 位移梯度张量的极分解,即 经过变形得到 ，再经过旋转，得到,极分解F=VR则可看成是先转动，后变形。两种极分解中的纯 变形张量U和V可不同，而转动部分则相同（都是同一个张量R）,63,4. 小变形时U，V，R的表达式,当 时，,为小变形张量,略去二阶小量后，有,由此可知，小变形时有,R=I+U=V=I+E,注意:小变形条件下才成立!,64,例:对以下位形求位形梯度,并说明变形特点.,解:,65,3.5 介质中曲面的移动和传播,1. 曲面的移动速度和传播速度,设运动曲面的方程为,则,记dr为dx在曲面法线方向（即gradF的方向）上的投影，,则上式给出：,称N为曲面F=0的移动速度,66,v为介质速度，n为曲面F=0的单位法向量， 为速度在曲,面法向的分量,如果曲面F=0在空间中固定不动，（即F中不含t），则N=0，,称为曲面F=0的传播速度。,从而,如果曲面F=0始终由同样一些介质质点组成（称这样的曲面为物 质面），则随体微商 和传播速度都等于零，此曲面在介质中 不传播.,67,2. 可变区域上物理量随时间的变化率,设V（t）是可随时间变化的空间区域，其周界面为S（t），,物理量A在区域V上的总量为,下面求,68,设V（t）周界面S（t）上面元dS的外单位法向量为n，在dS处的移动速度为N，则t时间内，在dS处发生的区域变化dV=dSNt,从而,因此,特别地，如果V（t）为确定的连续介质物体，此时周界面,S为物质面，从而=0，,上式就变为：,69,3.6速度分解定理,刚体速度分解定理:(可分解为平动部分和转动部分),现在考虑非刚体的连续介质体的速度分解,点质点速度写成:,(3-46),70,(3.46)在P0点按Taylor级数展开(只取一阶项):,直角坐标系中的分量形式:,速度梯度张量,分解,变形速度张量,旋转张量,(3.46.3),71,应变率张量或变形速度张量, 对称张量,旋度张量或旋转张量,反对称张量,72,(3.46.3)改写为:,由于,旋度矢量和旋转张量间的关系,速度分解,平动,旋转,变形,73,3.6 变形速度张量的物理解释,物质线元的随体导数等于同一时刻两个无限邻近质点的速度差.,对上式取随体导数:,74,取三个质点组成的线元,(1),的物理意义,(3.63),(3.61),(3.62),左点乘,点乘,75,由此可推出:,同理,物理意义: 分别是沿 轴向线元,在单位时间内的相对收缩.,76,(2) 的物理意义,上式点乘 :,(3.63)点乘 :,77,变形初始时刻有:,同理可得出:,物理解释: 为,轴,轴,轴,向线元之间剪切速度的一半.,78,练习: 1.某流动的速度场为,式中A,B为常数,请确定该流动的速度梯度 ,并计算在t=0在点(1,0,3)处的变形速度张量 和旋度张量 .,2.对以下速度场,求变形速度张量 ,旋转张量 和流线的形状,为常数.,
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