平面向量的数量积及其应用

进入虚拟课堂高三数学总复习教程第16讲）一、本讲内容 平面向量的数量积及其应用 本讲进度，向量的数量积，数量积的应用二、学习指导 要深刻理解向量数量积的定义：a、b = a b cosV a、b .它是数（可正、可负，也可以为零）, 但不是向量，因此，a b = b a，入（a b）= a 入 b， a （ b + c）= a b = a c， a o =0-I-B-I-=1fb-（而不是O !）特别地，（ab ） c工a（bc ），因为左边是与c共线的向量，而右边是与a共线的 向量，除特殊情况外，两者不相等。我们利用向量的数量积（又称为点积）可以解决向量的夹角问题，特别地，利用向量的数量可以很I- I-fc- I-方便地解决垂直问题，：a丄b o ab =0，（ a，b非零向量）冋cos V a、b 是a在b上的射影，值得注意的是它仍是一个数（可正，可负，可以为0）而不是向量。b-特别地，aa = a 2cos V aa = a2，由此，可把点积与模长（距离）挂上钩。三、典型的例题讲解例1证明三角形中的射影定理： a=bcosC+ccosB 用向量证明一些三角问题，如正弦定理，余弦定理 等很方便，但同学们却觉得不好掌握，这里我们再看一个例子。b *b I*1b b *IklBC = BA + AC，两边同等 BC， BC 2= BA BC + CA CB = BA BC cosB+ |CA cosC，可得 BC = BA cosB+ cosC，即 a=ccosB+bcosC两边约去BC例 2.平面内有四点，0、A、B、C,记OA = a， OB = b， OC = c 若a + b + c = o 且a b = b c = c a = -1,试判断 ABC的形状，并求其面积.千万不能由ab = bc约b得到a = c，一是过程差无根据，二是合得到A、B、C当同一点的荒 谬结论。|a| N = 前者 a-b =| a + 冃cos | W a |b|,f-S!f4r I !=bc= ca=1，从而 a= b= c=1，圆为 a b工 aJb,等号当且仅当a，b共线且同面或a，b中有当B者*E=O也不能由ab = b += ca =1得到前者;和其他条件当然不是可有可无的，故应出现向量和，于是我们想到ab = bc和ab = ca相加， 得至I了 2ab = c （ a + b ） =（a + b ）2，进而有a 2= b 2= 4 ab =0女口无ab =1的条件就做不下I-!fTffHI去了，故在此时引入有a 2=円2= 4，因原来的条件都是a、b、c的轮换对称式，当然想到a 2=円2=4 和c 2= ”2= 4,至此距解决问题已经不远了。例3.设i、j分别为方向与x轴，y轴的正向相同的单位向量，A、B、C为同一直线上的三点，0 - 为坐标原点，已知OA = 2i tm j，OB =ni + j，OC =5 i j，又知OA丄OB，求m、n的值.求m、n两个未知数，有OA丄OB及A、B共线两个条件，代入计算即可.例 4.求证：三角形三角高线交于一点. + * 设三顶点后，表示出三边向量a、b、c，设a、b两边的高线交点为H，表示ha、hb =0和bhb =0去证chc =0,从而说明三高共点.为减少计算量，当然应当选取合适的坐标系，以一边及其上的高所在直线上为两坐标轴较好。&*例5.已知三不共线向量a、b、c两两所成角相等，且a =1，b =2， c =3，求a + b + c的模长及已知三向量间的夹角.& |”卜 匸 要想把a、b、c两两所成角相等体现出来，我们以同一点O为始点作三有向线段OA、OB、OC 2 两两夹角相等，均为3于是要求a + b + c，只要先求(a + b + c)2即可.例6.已知a、b是两个非零向量，求证：当b丄(a +xb)时，| a +xb |最小.F- f* fra - b 、x=时原式有b 2要求| a +x b I最小，等价于求何(a +xb )2最小.(a +xb)2=x2b2+2xab + a2三项均为实数且平方项系数b2= b 2o,故当最小值，此处，向量竟与二次函数挂上了钩.fa例7.设l、l为相互垂直的两个单位向量，问是滞存在整数 k,使得向量m =kl +1与向量 _ _ _ 1 2 1 2 n=1 +k厂夹角为比？证明你的结论.1 2；( kf +)2 =Jk 2 +1mn 已知夹角应使用向量的数量积：cos60= 其中m =* I (因1丄1 ,.11 =0，因1、1为单位向量，.1 2=1，1 2=1)，如求出k合整值或k无解或无整数1 2 1 2 1 2 2 1 解，问题均告解决.例8.已知a、b均为非零向量，且a = b = a -b的夹角.2应先求a + b与ab的值.a a + ba (a + b) a + a b 根据公式 COSV a， a + b =_二a a + b+ b =J(a + b)2=pa2 + b2 + 2a - b，也归纳到 a、b 上了，且 a、b 应通过 |a|= b = a - b，故 a 2= b 2=(a b )2= a 2+ b 22a b 求出.例9.求证：菱形的两条对角线互相垂直.菱形是边长都相等的平行四边形“边长相等”怎么用？对菱形 ABCD，记AB =方AD = b，则 AC = a + b，= b a， AC =( a + b) (b a )= |b| 2 a 2， 到此，可看出边长相等的作用了.-r例10.单位向量1、1夹角为1200，求向量H =21 +31和向量n =1 21的夹角._ 12 1 2求mn， m， n时，都需用到1、1应先行计算出来.1 2四、巩固练习1 j 31.已知向量a =(、；3 1)， b = ( ，)(1) 求证：a丄b ；(2) 若存在不同时为零的实数k和t,使x = a +(t23) b , y =-ka +tb，且x丄y，写出函数关 系式 k=f(t)；(3) 在(2)中，确定函数k=f(t)的单调区间.2. 已知向量a =(cosa , sina ), b =(cosp , sinp )又知 ka + b = p3 a kb 其中 k0 (1)用 k 表 示 a、b .(2) a、b的最小值，并求此时a与b的夹角。3. 已知O是厶ABC所在平面内一点，且满足OA 2+ BC 2= OB 2+ CA 2= OC 2+ AB 2,求证：o 是厶ABC的垂足.4. 已知a、b为两个非零向量，且a +3b与7a 5b互相垂直，a 4b与7a 2b互相垂直，求 a与b的夹角.5. (1)已知a =2, b =1，a与b夹角为y，求a + b与a 2b的夹角 11 (2)已知 a =4, |b| =3，且(3a b ) (a 2b )为最小.7. A、B、C、D 为平面内任意四点，证明|AC 2+ |BD|2+ AD|2+ BC|2三 |AB|2+ |CD|28. a、b、b UR,求证： “2 + a2.b2 + b2三la b + a b | .又等号何时成立？12 12 v 1 2 v 1 2 1 1 1 2 29. AABC中，AB=AC, D为AB中点，E ADC的重心，O ABC的外心，求证：OE丄CD10. 在平面四边形ABCD中，记AB = a , BC = b , CD = c , DA = d，若ab = bc = cd = da 试判断此四边形形状，并说明理由。五、参考答案竿)=寻一=0,.a丄b2 2 211. (1 )V a b =(i3 , 1),(厶(2)V x 丄 y ,二a +(t23)b ka +tb =0 k a 2+t(t23) b 2+tk(t23) a b =014k+t(t23)=0. k= 4 t(t23)33(3)令 k/= t2 0, t1 或 tV 1.44故f(t)的单调递增区间为1,+s)和CX,1单调递减区间为1, 12. (1)由已知(ka + b)2=3(a kb)2,即(k23) a2+(1 3k2)b 2+(2k+bk) a b =0,整理解得k2 k 2 +13+1 3k2+8ka b =0 a b =4k1(2)k0,故ab三H=2，此时.4k 2cos02诩3.记 OA = a , OB b , OC = c，则 BC = c b , CA = a c , AB = b a，则已知条件可表为 a 2+(c 一 b )2= b 2+( a c )2= c 2+( a b )2, 从而 b c = c a = a b c ( b 一 a )=0,即 c 丄(b a) OC 丄 AB同理，OA丄BC, AO为厶ABC的垂心.4.V(a +3b)丄(7 a 5 b ) 即 7 a 215 b 2+16 a b =0 .(a 3b)丄(7a 2b ).(a +3b )(7a 5b )=0_ _ _.(a 4b) (7a 2b )=0即 7 a 2+8 b 230 a 2 b =0 I I I一23b =46a b =46 |a| |b cosV a b 把a b=与代入,知 a 2= b 2，a = b代回23 b 2=46 b 2cosV a ,cos( a 2，兀Aa与b夹角为3兀5. (1) ( a + b 2)(a 2b )= a22b 2 a b =422 1cos=1_ _ f_兀a + b = a2 + b2 + 2abcos =77,3i_兀a 一 2b = a2 + b2 一 4abcos 3=2AcosV a + b , a 2b =2“夹角为arccosIT(2)由已知 0=3a2+2b 一7a b =667a b66AcosV a,b =卫=工丄a|b 4 X 3 14夹角为11arccos 146.记 AB = b , AC = c , AP = p ,则 BP = p b ,PA2+PB2+PC2= p 2+ p - b 2= p - c 2CP = p c=3 p 2 2 p ( b + c )+ b 2+ c 2 b + c.当p=时,上式有最小值，此时P点恰为重心.7.记 AB = b , AC = c , AD = d 则 BD = d b , BC = c b , CD = d c, b )2+ d 2+ ( c b )2 三 b 2+ d - c 2( b c ) 2 d (b c )+ d 2 三o.亦即(b原式中c 2+(d c d )2 三 0 .b c d 2三0.显然成立.A原命题成立.8. a - b =1 a b cos 1 b共线时成立.记a = (a1, a2)b = (b1 , b2)yA则左a b , 右=a - b .左三右.9.以O为原点，底BC上的高为y轴建立直角坐标系，记 A： (O, R), B： (Rcos0 , R 0 )RC： (Rcso0 , Rsin0 )则 D ( cos0 ,厶RRR(l+sin0 ) E： ( cos0 ,(l+sin0 )2 62R込(1+sin0 )ROE =( cos063CD =(2Rcos0R-(1+sin0 )R 2R OECD =Tcos20 +4亍1 妣)=0心丄10.TABCD 为四边形 . a + b + c + d = o .记 a b = b c = c d = d a =k,贝Ia b + b c = c d + d a =2k,即 b (a + c ) = d (a + c ) 移项，有(b d)( a + c )=0,.(b d)(b + d )=0, b 2= d 2= b = d，同理可证 a =, .ABCD为平形四边形，从而 k= a b cosV a , b = b a cosV b , c =. a b cosV c , d = |b cos V d , a ,.四外角相同，故ABCD为矩形.六、附录，_*.* BC = BA + AC ,两边同乘以 BC ,有 BC 2= BA BC + CA CB = | BA | BC |cosB+l CA | CB |cosC 即 BC = | BA | cosB+| CA | cosC,亦即 a=ccosB+bcosC.例2. ab = bc , ab = ca,两式相加得2 a b = c (a + b) 又 a + b + c = o . 故有(a + b )2=2 a b =0 , a 2+ b 2+4 a b =0由已知 a b = 1. | a |2+| b | 2=4同理 | b | 2= | c | 2=4 , | c | 2+ | a | 2=4 ,| a | 2= | b | 2= | c | 2=2l a | 2= | b | 2= | c | 2=2 , ABC 为正三角形3 3s =2)2=.42b+fc-fr f例 3.V OA 丄 OB , .2i +m j(ni + j)= 2n+m=0 7m +1又 CA =7i +(m+1)j , CB =(n5) i +22 j ,=n 一 52由、 例4.以AB边所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴建立直角坐标系. 记 A： (a , 0) , B (b , 0) , C (0 , c)并记 BC 边上的 高与y轴交点为H (0 , h),则AH = (b , h) , BCyC=(b , c) AC = (a , c) 5OB ， OC 两两夹三项均为实数，且*/ BH AC = (b, h) (a, c) =ab+ch=0.BH 丄 AC.三高AH, CH, BH交于一点.i i ，*例5.在平面内取定一点O,作有向线较OA = a , OB = b , OC = c，则OA,2角相等，均n ,V( a + b + c )2= a 2+ b 2+ c 2+2 a b +2 a c +2 b c222 =12+22+32+2 1 2cos n +2 2 3cos n +2 1 3cos n =3333. | a + b + c | = 3例6.要使a + xb最小，即要使(a +xb ) 2最小.(a +xb ) 2= a 2+x2 b 2+2x a b ，b 2=20,可看作关于x的二次函数，当x=a E亦即ab +xb 2=0, b2 (a+xb )=0,也就是b丄(a+x b )时有最小值.m - n (kl +1 )(1 + kl )2k例 7. Cos600=cosZ m, n =122 =minvk 2 +1 vl + k 21 + k 2k24k+l=0, k=2 朽,纟 Z 所求整数k不存在.例 8 .丁 a = b = a - b:.a 2= b 2=( a b )2= a 2+ b 2 2 a b1 I 故 a b = - |a|a + b = J(a + b)2 = Ja2 + b2 + 2a - b = V3 acosV a , a + b =a a + ba - (a + b) a2 + a - b)2 1 _+ a 22a与a + b的夹角为3Oo 例9.对菱形ABCD，记AB = a,AD = b，则 AC = a + b . BD = b a 其中 a = / AC BD = ( a + b )(b a ) = b 2 a 2= |b|2 a 2=0.AC丄BD即对角钱互相垂直.12例 10. ll 1 =cos120o=22m n =22l +3l )12(l 21 )=2 6 l l1 2 1 2=詁(21 + 31 )2 = u 4 + 9 6 =壬 7v 12cos V m ,_72 1n =77 = - 故m与n夹角为3n .