《根轨迹法》PPT课件.ppt

自动控制原理,杭州电子科技大学 “自动控制原理”精品课程课题组 2007.10,2006年度浙江省精品课程,第四章 根轨迹法,引言 4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 4.3 广义根轨迹 4.4 Matlab绘制根轨迹,引言,什么是线性系统的根轨迹？ 所谓根轨迹，是指当开环系统的某个参数（如开环增益K）由零连续变化到无穷大时，闭环特征根（闭环极点）在复平面上形成的若干条曲线。,研究线性系统根轨迹的原因 一个控制系统的全部性质都取决于其闭环传递函数：稳定性由闭环极点唯一地确定；动态特性由闭环极点、闭环零点共同决定。 因此，在分析研究控制系统的性能时，确定闭环极点、闭环零点在复平面上的位置就显得特别重要。,闭环零点与开环零、极点有关，闭环和开环比例系数之间也有简单的关系，都不难确定。唯有闭环极点的确定比较麻烦。 欲知闭环极点在复平面上的位置，就要求解系统特征方程，当特征方程阶次较高时，计算相当麻烦。 研究系统参数变化对闭环极点位置的影响，对分析、设计控制系统是很有意义的。,根轨迹法 一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年，由W. R. Evans在“控制系统的图解分析”一文中提出）。 已知开环零极点分布，研究一个或几个参数变化对闭环极点位置的影响，从而进一步分析系统的性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。 以前控制系统根轨迹绘制很麻烦，现在使用MATLAB非常方便。,4.1 根轨迹的基本概念,1、根轨迹的基本概念,图 4-1 控制系统框图,(1) 将图4-1所示系统的开环传递函数转化为 上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的标准形式零极点增益形式。 (2) 将两个开环极点p1=0和p2=-2绘于复平面上，并用“”表示。 (3) 求出闭环系统的特征方程和闭环极点,(4).闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4-2表示,图 4-2 二阶系统根轨迹,从图中可以看出 当k=0时，p1、p2与s1、s2重合，即开环极点和闭环极点重合; 当0k1时，s1、s2均为区间(-2,0)内的负实数； 当k=1时， s1s2=-1 ，即两闭环极点重合 当 时， ，即两闭环极点互为共轭; 当 时，将沿着直线 趋于无穷远处.,讨论: 由根轨迹图4-2可分析系统的性能 稳定性无论K取何值，由图4-1表示的控制系统的闭环极点均位于复平面的左半平面，因此系统是闭环稳定的； 动态性能k=1（K=0.5）是此二阶系统由过阻尼状态过渡到欠阻尼状态的分界点，不同的阻尼状态对应的系统动态特性有明显差别； 稳态性能系统属于I型系统，K即为静态速度误差速度系数。如果给定稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。,根轨迹是连续且对称于实轴的，这也是根轨迹的一个特性； 绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参量，但最常用的是系统的开环增益常规根轨迹。,2、闭环零、极点与开环零、极点间的关系,前向通道根轨迹增益,反馈通道根轨迹增益,前向通道增益,开环系统根轨迹增益,前向通道零点,反馈通道零点,前向通道极点,反馈通道极点,m个零点(m=f + l ),n个极点(n= q + h),m个零点(m=f + l ),n个极点(n= q + h),3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。,1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；,2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关；,根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点!,单位反馈系统,1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；,2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。,4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则,绘制根轨迹的基本条件 绘制根轨迹，需要从系统的闭环特征方程入手。设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，其中G(s)和H(s)分别为控制系统的前向通道传递函数和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为,将上式改写成 绘制根轨迹所依据的条件是 幅值条件 相角条件,m个零点、n个极点（nm）,幅值条件,1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关； 2）必要条件,相角条件,1）幅角条件只与开环零、极点有关 2）充要条件,用幅角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定已知根轨迹上某一点K的值！,几点说明： 实际上满足相角条件的任一点，一定可以找到相应的可变参数值，使幅值条件成立。 相角条件也是根轨迹的充要条件。 利用相角条件可确定根轨迹的形状，但利用幅值条件才可求得给定闭环极点所对应的增益K。 进行相角计算时，规定正实轴方向为0，逆时针方向为相角的正方向。 相角条件说明：(由各开环零点指向轨迹点的方向角) (由各极点指向轨迹点的方向角) = 指向正左方。,L(s)的相角,绘制根轨迹的一般规则 绘制系统的根轨迹，首先写出系统的特征方程 然后将此方程中开环传递函数部分改写为零极点增益形式，即特征方程可等价为 上式为绘制根轨迹的标准形式。,规则一 根轨迹各条分支是连续、关于实轴对称 特征方程中的某些系数是连续变化参数K的函数，这些系数也是连续变化的。 系统的特征方程为代数方程，代数方程中的系数连续变化时，代数方程的根也连续变化，所以特征方程的根轨迹是连续的。 由于闭环极点或为实数或为共轭复数，所以根轨迹是对称于实轴的。 仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。,规则二 根轨迹的起点、终点和分支数 系统的根轨迹起点为开环极点，终点为开环零点（或无穷远处）。 由于系统的特征方程有n个根，所以当可变参数K由零变化到无穷时，这n个特征根必然会随K的变化出现n条根轨迹。 根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数，也就是说，根轨迹的分支数等于闭环极点的个数，也等于开环极点的数目（Why？）。,幅值条件,规则三 实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹由位于实轴上的开环极点和零点确定。 根据相角条件可以证明，实轴上根轨迹区段右侧的开环零极点数目之和为奇数。 例4-1 已知一单位负反馈系统的开环传递函数为 。其中，T。试大致绘出其根轨迹。,根轨迹图,规则四 根轨迹的渐近线 如果开环零点的数目m小于开环极点数n，即n m，则有( n m )条根轨迹沿着渐近线终止于无穷远处。渐近线的方位可由下面的方程决定 渐近线与实轴的交点坐标 渐近线与实轴正方向的夹角,当k=0时，对应与实轴有最小夹角的渐近线。 尽管这里假定k可以取无限大，但随着k值的增加，渐近线与实轴正方向的夹角会重复出现，并且独立的渐近线只有(n-m)条。 例4-2 已知一四阶系统的特征方程为 试大致绘制其根轨迹。,根轨迹图,规则五 根轨迹的分离点和会合点 两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又分开的点称为分离点。 一般常见的分离点多位于实轴上，但有时也产生于共轭复数对中。 如果实轴上相邻两极点（或两零点）之间的线段属于根轨迹，则它们之间必存在分离点（或会合点）。 分离点是特征方程的重根，因此有,注意： 利用上式求出的分离点，必须位于根轨迹上，否则应当舍去。检验的方法是分离点所对应的增益K必须大于零！ 实轴上分离点的分离角恒为 90度。,或,例4-3 对于例4-2给出的四阶系统，试确定其分离点坐标。,规则六 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于虚轴上的闭环极点，即特征方程含有纯虚数的根。将s=j代入特征方程，则有 解上式，就可以求得根轨迹与虚轴的交点坐标，以及此交点相对应的临界参数Kc,例4-4 求例4-2所给出的系统根轨迹与虚轴的交点坐标。,规则七 根轨迹的入射角和出射角 所谓根轨迹的出射角（或入射角）指的是根轨迹离开开环复数极点处（或进入开环复数零点处）的切线方向与实轴正方向的夹角，图4-5中的 为出射角， 为入射角。,图 4-5 根轨迹出射角和入射角,由于根轨迹的对称性，对应于同一对极点（或零点）的出射角（或入射角）互为相反数。即有 根轨迹从复数极点pr出发的出射角为 根轨迹到达复数零点zr的入射角为,4.3 广义根轨迹,参数根轨迹 附加开环极点和零点的作用 零度根轨迹,一、参数根轨迹 以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。 绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。,绘制参数根轨迹的方法 写出系统的闭环特征方程：1+G(s)H(s)=0; 变换该方程为：1+G1(s)=0;其中G1(s)称为等效开环传递函数； 按照常规根轨迹法则，再绘制以K*为参变量的根轨迹。,例：对于开环传函为 的负反馈系统，试绘制其以Ks为参变量的根轨迹。 写出系统的闭环特征方程 变形得（关键一步） 等价开环传函为（=10）,二、附加开环极点和零点的作用,结论 增加开环零点可使根轨迹左移，有利于改善系统的稳定性及动态性能； 零点越靠近虚轴，根轨迹变化越显著； 增加开环极点一般使根轨迹右移，不利于系统稳定性和动态特性。,三、零度根轨迹（正反馈系统）,如果系统的特征方程的形式 为1-G(s)H(s)=0,其根轨迹叫零度根轨迹。,此时因为其幅值和相角遵循条件：,4.4 Matlab绘制根轨迹,在MATLAB中提供了绘制系统根轨迹的rlocus( )函数。 已知系统开环传递函数的形式，利用此函数可以方便地绘制出系统的根轨迹,例4-5 设一单位负反馈系统的开环传递函数如下 试绘制该系统的根轨迹。,解 使用MATLAB绘制此根轨迹的程序如下 %ex_4-5 num=1 1; den=conv(1 0,conv(1 2,1 3); G=tf(num,den); rlocus(G) title();xlabel(Re);ylabel(Im); 程序运行结果如图4-6所示。,图 4-6 例4-5的MATLAB仿真结果,例4-6 设单位负反馈控制系统的开环传递函数为 试画出系统的根轨迹图。,解 用MATLAB绘制此系统根轨迹的程序如下 %ex_4-6 num=1 2 4; den=conv(1 0,conv(1 4,conv(1 6,1 1.4 1); G=tf(num,den); rlocus(G) title();xlabel(Re);ylabel(Im); 程序运行结果如图4-7所示。,可见随着参数K的增加，系统根轨迹穿过虚轴进入复平面右半平面，系统不稳定 。,图 4-7 例4-6根轨迹图,本章总结,本章主要内容： 根轨迹的基本概念 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 广义根轨迹 Matlab绘制根轨迹,知识点： 开环传递函数与闭环传递函数的关系 根轨迹绘制的幅值和相位条件 根轨迹绘制的规则，并能绘制简单的根轨迹 如何将参数根轨迹转化为常规根轨迹 附加开环零点和极点对原根轨迹和系统性能的影响 rlocus()函数的使用,4-1,4-2 （第四章完）,Homework-Chapter4,思考题,习题解析 p84 4-2 习题解析 p89 4-5 习题解析 p91 4-6 习题解析 p98 4-11,THANK YOU,