高级统计学1.多元正态分布.ppt

1,第一章 多元正态分布,目录 上页 下页 返回 结束,1.1 多元分布的基本概念,1.2 统计距离,1.3 多元正态分布,1.4 均值向量和协方差阵的估计,1.5 常用分布及抽样分布,2,第一章 多元正态分布,一元正态分布在统计学的理论和实际应用中都有着重要的地位。同样，在多变量统计学中，多元正态分布也占有相当重要的位置。原因是： 许多随机向量确实遵从正态分布，或近似遵从正态分布； 对于多元正态分布，已有一整套统计推断方法，并且得到了许多完整的结果。,目录 上页 下页 返回 结束,3,第一章 多元正态分布,多元正态分布是最常用的一种多元概率分布。除此之外，还有多元对数正态分布，多项式分布，多元超几何分布，多元 分布、多元 分布、多元指数分布等。 本章从多维变量及多元分布的基本概念开始，着重介绍多元正态分布的定义及一些重要性质。,目录 上页 下页 返回 结束,4,第一章 多元正态分布,多元分布的基本概念 统计距离 多元正态分布 均值向量和协方差阵的估计 常用分布及抽样分布,目录 上页 下页 返回 结束,5,1.1多元分布的基本概念,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.1 随机向量,1.1.2 分布函数与密度函数,1.1.3 多元变量的独立性,1.1.4 随机向量的数字特征,6,1.1.1 随机向量,表示对同一个体观测的 个变量。若观测了 个个体，则可得到如下表1-1的数据，称每一个个体的 个变量为一个样品，而全体 个样品形成一个样本。,假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数据是同时观测 个指标（即变量），又进行了 次观测得到的，把这 个指标表示为 常用向量,目录 上页 下页 返回 结束,7,记 它表示第个样品的观测值。竖看表1-1,第j列的元素 表示对第j个变量Xj的n次观测数值。,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.1 随机向量,8,因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:,定义1.1 设 为 个随机变量，由它们组成的向量 称为随机向量。,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.1 随机向量,若无特别说明，本书所称向量均指列向量,9,定义1.2 设 是一随机向量，它的多元分布函数是,式中， ,并记成 。,1.1.2 分布函数与密度函数,描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述随机向量的最基本工具还是分布函数。,目录 上页 下页 返回 结束,10,1.1.2 分布函数与密度函数,目录 上页 下页 返回 结束,定义1.3：设 = ,若存在一个非负的函数 ,使得,对一切 成立，则称 （或 ）有分布密度 并称 为连续型随机向量。,一个 维变量的函数 能作为 中某个随机向量的分布密度，当且仅当,11,1.1.3 多元变量的独立性,目录 上页 下页 返回 结束,注意:在上述定义中， 和 的维数一般是不同的。,（1）若F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数，G(x)和H(y) 分别为X和Y的分布函数，则X与Y独立当且仅当,（2）若(X,Y)有密度f(x, y)，用g(x)和h(y)分别表示X和Y的分布密度，则X和Y独立当且仅当,12,1.1.4 随机向量的数字特征,是一个 维向量，称为均值向量.,目录 上页 下页 返回 结束,当A、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：,1、随机向量 的均值 设 有 个分量。若 存在， 定义随机向量 的均值为,13,1.1.4 随机向量的数字特征,目录 上页 下页 返回 结束,2、随机向量X的协方差阵,称它为p维随机向量X的协方差阵，简称为X的协方差阵。 称|cov(X, X)|为X的广义方差，它是协差阵的行列式之值。,14,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.4 随机向量的数字特征,3、随机向量X 和Y 的协差阵,设 分别为 维和 维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个 矩阵，其元素是 ，即,当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：,15,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.4 随机向量的数字特征,（3）设X为n维随机向量，期望和协方差存在，记 则,对于任何随机向量 来说，其协差阵都是对称阵，同时总是非负定（也称半正定）的。大多数情形下是正定的。,16,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.4 随机向量的数字特征,若随机向量 的协差阵存在,且每个分量的方差大于零，则X的相关阵定义为:,rij也称为分量Xi与Xj之间的（线性）相关系数。,4、随机向量X 的相关阵,17,在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，常需将每个指标“标准化”，即做如下变换,目录 上页 下页 返回 结束,1.1.4 随机向量的数字特征,18,1.2 统计距离和马氏距离,目录 上页 下页 返回 结束,1. 欧氏距离,2. 马氏距离,19,1.2 统计距离和马氏距离,1. 欧氏距离,在多指标统计分析中,距离的概念十分重要,样品间的不少特征都可用距离去描述。 大部分多元方法是建立在简单的距离概念基础上的。即平时人们熟悉的欧氏距离,或称直线距离.如几何平面上的点P=(x1,x2)到原点O=(0,0)的欧氏距离,依勾股定理有,目录 上页 下页 返回 结束,20,1.2 统计距离和马氏距离,但就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。,目录 上页 下页 返回 结束,这里因为，每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。当坐标轴表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的办法是对坐标加权，使得变化较大的坐标比变化小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。,欧氏距离还有一个缺点，这就是当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小竟然与指标的单位有关。,21,1.2 统计距离和马氏距离,目录 上页 下页 返回 结束,例如，横轴x1代表重量（以kg为单位），纵轴x2 代表长度（以cm为单位）。有四个点A、B、C、D见图1.1，它们的坐标如图1.1所示,这时,显然AB比CD要长。,22,1.2 统计距离和马氏距离,目录 上页 下页 返回 结束,现在，如果x2用mm作单位， x1单位保持不变，此时A坐标为（0，50），C坐标为（0，100），则,结果CD反而比AB长！这显然是不够合理的。,23,1.2 统计距离和马氏距离,目录 上页 下页 返回 结束,因此，有必要建立一种距离，这种距离要能够体现各个变量在变差大小上的不同，以及有时存在着的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。看来我们选择的距离要依赖于样本方差和协方差。,因此，采用“统计距离” 这个术语，以区别通常习惯用的欧氏距离。最常用的一种统计距离是印度统计学家马哈拉诺比斯（Mahalanobis）于1936年引入的距离，称为“马氏距离”。,24,1.2 统计距离和马氏距离,目录 上页 下页 返回 结束,下面先用一个一维的例子说明欧氏距离与马氏距离在概率上的差异。,设有两个一维正态总体 。若有一个样品，其值在A处，A点距离哪个总体近些呢？,图1-2,25,1.2 统计距离和马氏距离,目录 上页 下页 返回 结束,由图1-2可看出,从绝对长度来看,A点距左面总体G1近些,即A点到1比A点到2要“近一些”（这里用的是欧氏距离，比较的是A点坐标与1到2值之差的绝对值），,但从概率观点来看，A点在1右侧约41处，A点在2的左侧约32处，若以标准差的观点来衡量，A点离2比A点离1要“近一些”。,显然，后者是从概率角度上来考虑的，因而更为合理些，它是用坐标差平方除以方差（或说乘以方差的倒数），从而化为无量纲数，推广到多维就要乘以协方差阵的逆矩阵-1，这就是马氏距离的概念，以后将会看到，这一距离在多元分析中起着十分重要的作用。,26,1.2 统计距离和马氏距离,2. 马氏距离,设X、Y从均值向量为 ，协方差阵为的总体G中抽取的两个样品。,目录 上页 下页 返回 结束,定义X、Y两点之间的马氏距离为:,定义X与总体G的马氏距离为:,27,1.2 统计距离和马氏距离,设E表示一个点集，d表示距离，它EE 是到0, ) 的函数，可以证明,马氏距离符合如下距离的四条基本公理 :,（2） 当且仅当 ；,（3）,（4）,目录 上页 下页 返回 结束,28,1.3 多元正态分布,多元正态分布是一元正态分布的推广。 迄今为止,多元分析的主要理论都是建立在多元正态总体基础上的,多元正态分布是多元分析的基础。另一方面，许多实际问题的分布常是多元正态分布或近似正态分布，或虽本身不是正态分布，但它的样本均值近似于多元正态分布。 本节将介绍多元正态分布的定义，并简要给出它的基本性质。,目录 上页 下页 返回 结束,29,1.3 多元正态分布,目录 上页 下页 返回 结束,1.3.1,多元正态分布的定义,1.3.2,多元正态分布的性质,1.3.3,条件分布和独立性,30,1.3.1 多元正态分布的定义,|为协差阵的行列式。,目录 上页 下页 返回 结束,定义1.5：若p元随机向量 的概率密度函数为：,则称 遵从p元正态分布，也称X为p元正态变量。记为,31,定理1.1将正态分布的参数和赋于了明确的统计意义。,多元正态分布不止定义1.5一种形式，更广泛地可采用特征函数来定义，也可用一切线性组合均为正态的性质来定义等，有关这些定义的方式参见文献3。,目录 上页 下页 返回 结束,1.3.1 多元正态分布的定义,定理1.1：设 ,则,32,1.3.2 多元正态分布的性质,目录 上页 下页 返回 结束,若正态随机向量 的协方差阵是对角阵, 则X的各分量是相互独立的随机变量。,容易验证， ，但显然 不是正态分布。,2. 多元正态分布随机向量X的任何一个分量子集的分布（称为X的边缘分布）仍然遵从正态分布。而反之则不一定成立，即若一个随机向量的任何边缘分布均为正态，并不能导出它是多元正态分布。,例如，设 有分布密度,33, 1.3.2 多元正态分布的性质,目录 上页 下页 返回 结束,多元正态向量X=（X1,X2,Xp)的任意线性变换仍然遵从多元正态分布。,若设XNp(,) ，而m维随机向量Zm1=AX+b， 其中A=(aij)是mp 阶的常数矩阵，b是m维的常向量。,那么，m维随机向量Z也是正态的，且 ZNm(A+b, AA ) 。 即Z遵从m元正态分布。,34,第一次结束,35,4. 若XNp(, ) ，则 d2若为定值，随着X的变化, 其轨迹为一椭球面，是X的密度函数的等值面。若X给定，则d2为X到的马氏距离。, 1.3.2 多元正态分布的性质,36, 1.3.3 条件分布和独立性,目录 上页 下页 返回 结束,其中，X(1)， (1)为q1，11为qq.,设 , p2,将X、和剖分如下：,我们希望求给定X(2)时X(1)的条件分布，即(X(1) |X (2)的分布。下一个定理指出：正态分布的条件分布仍为正态分布。,37,目录 上页 下页 返回 结束, 1.3.3 条件分布和独立性,定理1.2：设 ，0，则,其中,38,目录 上页 下页 返回 结束, 1.3.3 条件分布和独立性,定理1.3：设 ，0，将X，剖分如下：,则 有如下的条件均值和条件协差阵的递推公式：,其中， ，,39,定理1.2和定理1.3在20世纪70年代中期为国家标准部门制定服装标准时有成功的应用，见参考文献3。在制定服装标准时需抽样进行人体测量，现从某年龄段女子测量取出部分结果如下：,X1：身高，X2：胸围，X3：腰围，X4：上体长，X5：臀围，已知它们遵从N5(, )，其中,服装标准例子,40,服装标准例子,41,服装标准例子,42,再利用（1.30）式得,服装标准例子,43,这说明,若已知一个人的上体的长和臀围,则身高、胸围和腰围的条件方差比原来的方差大大缩小。,此时我们可看到,服装标准例子,44,在定理1.2中，我们给出了对X、和作形如(1.25)式剖分时条件协差阵 的表达式及其与非条件协差阵的关系，令 表示 的元素，则可以定义偏相关系数的概念：,定义1.6：当 给定时， 与 的偏相关系数为：,目录 上页 下页 返回 结束, 1.3.3 条件分布和独立性,45, 1.3.3 条件分布和独立性,在上面制定服装标准的例子中，给定X4和X5时，偏相关系数为：,46,目录 上页 下页 返回 结束, 1.3.3 条件分布和独立性,其中，,证明参见文献3.,定理1.4：设 ，0，将X，剖分如下：,47,1.4 均值向量和协方差阵的估计,上节已经给出了多元正态分布的定义和有关的性质,在实际问题中,通常可以假定被研究的对象是多元正态分布,但分布中的参数和是未知的,一般的做法是通过样本来估计。,目录 上页 下页 返回 结束,48,1.4 均值向量和协方差阵的估计,1. 均值向量的估计,在一般情况下,如果样本资料阵为：,目录 上页 下页 返回 结束,49,1.4 均值向量和协方差阵的估计,即均值向量的估计量,就是样本均值向量.这可由极大似然法推导出来。推导过程参见文献3。,目录 上页 下页 返回 结束,设样品 相互独立,同遵从于p元正态分布 ,而且 ,0,则总体参数均值的估计量是,50,1.4 均值向量和协方差阵的估计,2. 协方差阵的估计,总体参数协差阵的极大似然估计是,目录 上页 下页 返回 结束,51,1.4 均值向量和协方差阵的估计,目录 上页 下页 返回 结束,但 不是的无偏估计，为了得到无偏估计我们常用样本协差阵 作为总体协差阵的估计。,52,1.5常用分布及抽样分布,多元统计研究的是多指标问题，为了了解总体的特征，通过对总体抽样得到代表总体的样本，但因为信息是分散在每个样本上的，就需要对样本进行加工，把样本的信息浓缩到不包含未知量的样本函数中，这个函数称为统计量，如前面介绍的样本均值向量 、样本离差阵 等都是统计量。统计量的分布称为抽样分布.,在数理统计中常用的抽样分布有 分布、 分布和 分布.在多元统计中,与之对应的分布分别为Wishart分布、 分布和Wilks分布.,目录 上页 下页 返回 结束,53,1.5常用分布及抽样分布,1.5.2 分布与 分布,1.5.1 分布与Wishart分布,1.5.3 中心分布与Wilks分布,目录 上页 下页 返回 结束,54,1.5.1 分布与Wishart分布,在数理统计中,若 ( ),且相互独立,则 所服从的分布为自由度为 的 分布(chi squared distribution),记为 .,目录 上页 下页 返回 结束,55,1.5.1 分布与Wishart分布,分布的概率密度：,56,1.5.1 分布与Wishart分布,分布有几个重要的性质:,57,4. 设 ( ),且相互独立, 为 个 阶对称阵,且 (阶单位阵),记 , 则 为相互独立的 分布的充要条件为 .此时 , .,这个性质称为Cochran定理,在方差分析和回归分析中起着重要作用.,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.1 分布与Wishart分布,58,所服从的分布称为自由度为 的 维非中心Wishart分布,记为 ,其中,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.1 分布与Wishart分布,称 为非中心参数,当 时称为中心Wishart分布,记为,59,由Wishart分布的定义知,当 时, 退化为 ,此时中心Wishart分布就退化为 ,由此可以看出, Wishart分布实际上是 分布在多维正态情形下的推广.,下面不加证明的给出Wishart分布的5条重要性质:,相互独立.,和,(1),(2),目录 上页 下页 返回 结束,1.5.1 分布与Wishart分布,60,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.1 分布与Wishart分布,2.若,且相互独立,则,61,特别的,设 和 分别为 和 的第 个对角元,则：,5. 若 , 为任一 元非零常向量,比值,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.1 分布与Wishart分布,62,1.5.2 分布与 分布,在数理统计中,若XN(0,1), Y 2(n),且X与Y相互独立,则称 服从自由度为n的t分布,又称为学生分布(student distribution),记为T t (n).,目录 上页 下页 返回 结束,如果将T平方,即 ,则T2F(1,n),即t(n)分布的平方服从第一自由度为1第二自由度为F的中心分布.,63,中心 分布可化为中心 分布,其关系为:,显然,当 时,有 .,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.2 分布与 分布,64,1.5.3 中心分布与Wilks分布,在数理统计中,若X 2(m), Y 2(n), 且与相互独立,则称 所服从的分布为第一自由度为m,第二自由度为n的中心F分布.记为FF(m,n). F分布本质上是从正态总体N(, 2)随机抽取的两个样本方差的比.,目录 上页 下页 返回 结束,65,所服从的分布称为维数为 ,第一自由度为 第二自由度为 的Wilks 分布,记为,(1.34),定义1.9 设 , , , ,且 与 相互独立,则称随机变量,目录 上页 下页 返回 结束,1.5.3 中心分布与Wilks分布,66,目录 上页 下页 返回 结束,The end! Thanks!,