【材料力学 课件】PPT-第四章 弯曲内力

Chapter 4 Internal forces in beams,第四章 弯曲内力,4-1 基本概念及工程实例 (Basic concepts and example problems),第四章 弯曲内力 (Internal forces in beams),4-3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 (Shear-force shear-force 弯矩图向上为正.,5.梁上的FSmax发生在全梁或各梁段的边界截面处;梁上的Mmax发生在全梁或各梁段的边界截面,或FS = 0 的截面处.,小 结,3.梁上集中力作用处左、右两侧横截面上,剪力（图）有突变,突变值等于集中力的数值.在此处弯矩图则形成一个尖角.,4.梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩（图） 有突变,其突变值等于集中力偶矩的数值.但在此处剪力图 没有变化.,例题9 一简支梁受移动荷载 F 的作用如图所示.试求梁的最大弯矩为极大时荷载 F 的位置.,解 :先设F 在距左支座 A 为 x 的任意位置.求此情况下梁的最大弯矩为极大.,荷载在任意位置时，支反力为,当荷载 F 在距左支座为 x 的任意位置 C 时，梁的弯矩为,令,此结果说明，当移动荷载 F 在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大.,得最大弯矩值,设梁上作用有任意分布荷载 其集度,4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 (Relationships between load,shear force,and bending moment),一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系(Differential relationships between load,shear force,and bending moment),q = q (x),规定 q (x)向上为正.,将 x 轴的坐标原点取在梁的左端.,假想地用坐标为 x 和 x+dx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx 微段.,x+dx 截面处 则分别为 FS(x)+dFS(x) ， M(x)+dM(x) . 由于dx很小，略去q(x) 沿dx的变化.,m-m截面上内力为 FS(x) ,M(x),写出微段梁的平衡方程,得到,略去二阶无穷小量即得,公式的几何意义,（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;,（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;,（3）根据q(x)0或q(x) 0来判断弯矩图的凹凸性.,M(x)图为一向上凸的二次抛物线.,FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.,二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系 (Relationships between load,shear force,and bending moment diagrams),1.梁上有向下的均布荷载,即 q(x) 0,2.梁上无荷载区段，q(x) = 0,剪力图为一条水平直线.,弯矩图为一斜直线.,当 FS(x) 0 时,向右上方倾斜.,当 FS(x) 0 时,向右下方倾斜.,5. 最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或分布载荷发生变化的区段上. 梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用处的一侧.,3. 在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.,4. 在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突 变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.,无荷载,集中力,F,C,集中力偶,M,C,向下倾斜的直线,上凸的二次抛物线,在FS=0的截面,水平直线,一般斜直线,或,在C处有转折,在剪力突变的截面,在紧靠C的某一侧截面,一段梁上的外力情况,剪力图 的特征,弯矩图 的特征,Mmax所在 截面的可 能位置,表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征,向下的均布荷载,在C处有突变,在C处有突变,在C处无变化,三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系(Integral relationships between load, shear force, and bending moment),若在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面无集中力则,等号右边积分的几何意义是x1 , x2两横截面间分布荷载图的面积.,若横截面x= x1，x=x2 间无集中力偶作用则得,式中 M(x1)，M(x2)分别为在x=x1 和 x= x2处两个横截面上的弯矩.,等号右边积分的几何意义是 x1 , x2两个横截面间剪力图的面积.,式中， 分别为在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面上的剪力.,例题10 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN, 有关尺寸如图所示.试用本节所述关系作剪力图和弯矩图.,解：（1）求梁的支反力,将梁分为 AC、CD、DB 三段. 每一段均属无载荷区段.,（2）剪力图,每段梁的剪力图均为水平直线,AC段,DB段,最大剪力发生在DB段中的任一横截面上,CD段,最大弯矩发生在 C 截面,（3）弯矩图,每段梁的弯矩图均为斜直线.且梁上无集中力偶.,（4）对图形进行校核,在集中力作用的C,D 两点剪力图发生突变,突变值F=25.3kN.而弯矩图有尖角.,在AC段剪力为正值，弯矩图为向上倾斜的直线.,在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图为向下倾斜的直线.,最大弯矩发生在剪力改变正、负号的 C截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.,例题11 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m ,如图 所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.,解： （1） 计算梁的支反力,将梁分为 AC、CD、DB 三段. AC和DB上无荷载，CD 段有向下的 均布荷载.,（2）剪力图,AC段 水平直线,CD段 向右下方的斜直线,DB段 水平直线,最大剪力发生在 AC 和 DB 段的任一横截面上.,例题12 作梁的内力图.,解： （1）支座反力为,将梁分为AC、CD、 DB、BE 四段.,（2）剪力图,AC段 向下斜的直线(),CD段 向下斜的直线 ( ),DB段 水平直线 (-),EB段 水平直线 (-),AC段 向下斜的直线(),CD段 向下斜的直线 ( ),F点剪力为零,令其距 A截面的距离为x,x = 5m,（3）弯矩图,CD段,AC段,BE段,（4）校核,解： 支座反力为,FRA = 81 kN FRB = 29 kN MA = 96.5 kNm,例题13 用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图.,将梁分为 AE，EC， CD，DK，KB 五段。,(1) 剪力图,AE段 水平直线,FSA右 = FSE左 = FRA = 81kN,ED 段 水平直线,DK 段 向右下方倾斜的直线,FSK= -FRB = - 29kN,FSE右 = FRA - F = 31kN,KB 段 水平直线,FSB左= - FRB = - 29 kN,设距K截面为 x 的截面上剪力 FS = 0.即,（2）弯矩图,AE，EC，CD 梁段均为向上倾斜的直线,KB 段 向下倾斜的直线,DK段 向上凸的二次抛物线,在 FS= 0 的截面上弯矩有极值,中间铰链传递剪力(铰链左,右两侧的剪力相等)；但不传递弯矩(铰链处弯矩必为零).,+,例题14 已知简支梁的剪力图,作梁的弯矩图和荷载图.已知梁上没有集中力偶作用.,AB 段 没有荷载，在B处有集中力,BC 段 无荷载,CD 段 有均布荷载 q ( ),(2)弯矩图,AB段 向右上倾斜的直线,BC段 向右下倾斜的直线.,CD段 向上凸的二次抛物线.该段内弯矩没有极值.,例题15 已知简支梁的弯矩图,作出梁的剪力图和荷载图.,AB段 因为 M(x) = 常量,剪力图为水平直线,且 FS(x) = 0 .,BC段 FS(x) = 常量 , 剪力图为水平直线,CD段 剪力图为水平直线,且FS(x) = 0,AB段 无荷载,在A处有集中力偶,(2)作荷载图,F = 20kN (),B 处有集中力.,集中力,BC段 无荷载 C处有集中力,集中力 F = 20kN ( ),CD段 无荷载,4-5 按叠加原理作弯矩图 (Drawing bending-moment diagram by superposition method),一、叠加原理 (Superposition principle) 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独 作用于结构而引起的内力的代数和.,二、适用条件 (Application condition) 所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系.即在弹性限度内满足胡克定律.,三、步骤 (Procedure) （1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图; （2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）,例16 悬臂梁受集中荷载 F 和均布荷载 q 共同作用,试按叠加原理作此梁的弯矩图,解: 悬臂梁受集中荷载 F 和均布荷载 q 共同作用， 在距左端为 x 的任一横截面上的弯矩为,F 单独作用,q单独作用,F,q 作用该截面上的弯矩等于F, q 单独作用该截面上的弯矩的代数和,+,-,例题17 图示一外伸梁，a = 425mm , F1、 F2 、 F3 分别为 685 kN,575 kN,506 kN.试按叠加原理作此梁的弯矩图,求梁的最大弯矩.,解：将梁上荷载分开,1.平面刚架的内力 (Internal forces for plane frame members) 剪力 (shear force );弯矩 (bending moment);轴力 (axial force).,平面刚架是由在同一平面内,不同取向的杆件,通过杆端 相互刚性连结而组成的结构.,一、平面刚架的内力图 (Internal diagrams for plane frame members),弯矩图 (bending moment diagram) 画在各杆的受压側,不注明正、负号.,剪力图及轴力图 (shear force and axial force diagrams) 可画在刚架轴线的任一側(通常正值画在 刚架的外側). 注明正,负号.,2、内力图符号的规定 (Sign convention for internal force diagrams),例题18 图示为下端固定的刚架.在其轴线平面内受集中力F1 和 F2 作用，作此刚架的弯矩图和轴力图.,解：将刚架分为 CB，AB 两段,CB 段,FN (x) = 0,M(x) = F1x (0 x a),FS(x) = F1 (+) (0x a),BA 段,FN(x) = F1 （） ( 0 x l ),M(x) = F1a+F2 x ( 0 x l ),FS(x) = F2 (+) ( 0 x l ),二、平面曲杆 (Plane curved bars),轴力 引起拉伸的轴力为正；,弯矩 使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正.,剪力 对所考虑的一端曲杆内一点取矩 产生顺时针转动 趋势的剪力为正;,1、平面曲杆 (Plane curved bars) 轴线为一平面曲线的杆件.内力情况及绘制方法与平面刚架相同.,2、内力符号的确定 (Sign convention for internal force),例19 如图所示的半圆环半径为R,在自由端受到载荷F 的作用 . 试绘制FS图、M图和FN图.,解：建立极坐标系,O为极点,OB极轴,q 表示截面m-m的位置.,第四章结束,