第八章 非正弦周期电路的分析

第八章第八章 非正弦周期电流电路的分析非正弦周期电流电路的分析 产生非正弦周期电流的原因：产生非正弦周期电流的原因：1、激励本身为非正弦周期函数；、激励本身为非正弦周期函数；2、几个不同频率的正弦激励作用于同一线性电路；、几个不同频率的正弦激励作用于同一线性电路；3、单一频率的正弦激励作用于非线性电路。、单一频率的正弦激励作用于非线性电路。u对于周期性的激励，若满足狄里赫利条件，可以利用傅里叶对于周期性的激励，若满足狄里赫利条件，可以利用傅里叶级数分解为一系列不同频率的谐波分量。级数分解为一系列不同频率的谐波分量。u根据叠加定理，线性电路对非正弦周期性激励的稳态响应，根据叠加定理，线性电路对非正弦周期性激励的稳态响应，等于组成激励信号的各谐波分量分别作用于电路时所产生的响等于组成激励信号的各谐波分量分别作用于电路时所产生的响应的叠加。而响应的每一谐波分量可用正弦稳态分析的相量法应的叠加。而响应的每一谐波分量可用正弦稳态分析的相量法求得。求得。谐波分析法谐波分析法主要内容：主要内容：1.周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数2.非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算3.非正弦周期量的有效值、平均功率非正弦周期量的有效值、平均功率8 8 1 1 周期函数的傅里叶级数展开式周期函数的傅里叶级数展开式 周期函数周期函数 f(t)=f(t+kT)(k=1,2,3,)方波方波(a)0 f(t)tT f(t)t0(b)T锯齿波锯齿波(c)f(t)0t周期函数周期函数f(t)若满足狄里赫利条件若满足狄里赫利条件:则则f(t)可展开为傅里叶级数可展开为傅里叶级数 (2)函数函数f(t)在任一周期内只有有限个极大值和极小值；在任一周期内只有有限个极大值和极小值；(3)函数函数f(t)在任一周期内只有有限个不连续点。在任一周期内只有有限个不连续点。(1)函数函数f(t)在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻t0，积分，积分 Tttdttf00 )(存在；存在；1110)sincos(2)(nnntnbtnaatf 傅里叶级数展开傅里叶级数展开 TttdttfTa00 0)(12 TttndttntfTa00 1 cos)(2 TttndttntfTb00 1 sin)(2 T 2 1)sin(sincos111nnnntnAtnbtna 22nnnbaA nnnbaarctan 110)sin(2)(nnntnAAtf 基波基波(fundamental wave)或一次谐波或一次谐波(first harmonic)sin(111 tAn次谐波次谐波(n-th harmonic)1sin()(1)nnAntn 110)sin(2)(nnntnAAtf 20A常数项（直流分量）常数项（直流分量）一次谐波一次谐波二次谐波二次谐波三次谐波三次谐波具有对称性的周期函数的傅里叶级数展开式的具有对称性的周期函数的傅里叶级数展开式的特点：特点：(1)奇函数奇函数(odd function)：f(t)=f(t)波形关于坐标原点对称波形关于坐标原点对称0 ,0 ,020 nnbaa TttndttntfTb00 1)sin()(2 dttntfTT)sin()(412 0 (2)偶函数偶函数(even function)：f(t)=f(t)波形关于纵轴对称波形关于纵轴对称0 ,02 ,0 0 nnaabdttntfTaTttn)cos()(21 00 dttntfTT)cos()(412 0 (3)奇谐波函数奇谐波函数(odd harmonic function)：)2()(Ttftf 后半周对横轴的镜象是前半周的重复后半周对横轴的镜象是前半周的重复 )sin()cos()(111 nnntnbtnatf ),5,3,1()sin(11 ntnAnnn 奇谐波函数的傅里叶级数展开式中只含奇谐波函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波奇次谐波值得指出：值得指出：一个周期函数是否具有半波对称性，仅决一个周期函数是否具有半波对称性，仅决定于该函数的波形。但是，一个周期函数是否定于该函数的波形。但是，一个周期函数是否为奇函数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，为奇函数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，而且和时间起点的选择有关。而且和时间起点的选择有关。7 7 2 2 线性电路对周期性激励的线性电路对周期性激励的稳态响应稳态响应 步骤：步骤：1、将周期性激励分解为傅里叶级数；、将周期性激励分解为傅里叶级数；2、根据叠加定理，求每一谐波源单独作用于、根据叠加定理，求每一谐波源单独作用于电路的响应；电路的响应；3、将各谐波激励所引起的时域响应叠加，即、将各谐波激励所引起的时域响应叠加，即得线性电路对非正弦周期性激励的稳态响应。得线性电路对非正弦周期性激励的稳态响应。例例1.图图a为一个周期性矩形脉冲电流源，用它来激励图为一个周期性矩形脉冲电流源，用它来激励图b所示电路所示电路已知：电路的参数为已知：电路的参数为R=20 ,L=1 mH,C=1000 pF，2T 求此电路的端电压求此电路的端电压u(t)。T T=6.28 s s，pmA2I 。解：解：(1)(1)对周期激励电流进行谐波分析对周期激励电流进行谐波分析 2222 022 )(pTttTtIti 及及此函数波形具有偶函数对称性，故此函数波形具有偶函数对称性，故 bn=0 2 0 1 )cos()(4TndttntiTa)21sin(1 nn dttiTaITT)(1 2 2 2 00 p mA4IT)21sin(1 nnan，71513117531 aaaa0642 aaa电流电流i(t)的傅里叶级数展开式为的傅里叶级数展开式为 ttti11 3cos31 cos4()(mA )7cos71 5cos5111 tt 11111()(cos cos3 4311cos5 cos7)mA57i ttttt 11111sin()sin(3 )423211sin(5 )sin(7 )mA5272tttt 0n1In1315171幅值频谱幅值频谱n1n0/2-/21315171相角频谱相角频谱4 513117111111()sin()sin(3 )423211sin(5 )sin(7 )mA5272i ttttt(2)计算电路对各次谐波的端口等效阻抗计算电路对各次谐波的端口等效阻抗)(1)(1)(11111LjnRCjnLjnRCjnjnZ CRjnLCnLjnR)(1 1211 sradT/10101028.622 661 102)1(1020)(2231njnnjjnZ 00.02kZR3122010()50k2 10jZ jj 1(3)0.37589.95 kZ j 1(5)0.20889.99 kZ j 1(7)0.14690 kZ j (3)求激励源的直流分量及各谐波分求激励源的直流分量及各谐波分量单独作用时的电压响应量单独作用时的电压响应 V 0157.0V 402.000 RIUmA9011 mIV9050)(111 mmIjZU u基波电流单独作用时：基波电流单独作用时：u直流分量单独作用时：直流分量单独作用时：)mA90tsin(11 imA90313 mIu当当3次、次、5次、次、7次谐波单独作用时：次谐波单独作用时：mA90515 mImA90717 mIV 95.179125.0)3(31 3 mmIjZU V 01.00416.0)5(51 5 mmIjZU V 0208.0 )7(71 7 mmIjZU(4)将响应的直流分量及各谐波分量的时间函数式相将响应的直流分量及各谐波分量的时间函数式相叠加，求出电压响应叠加，求出电压响应 )()()()()(75310tutututuUtuV 7sin0208.0)01.0 5sin(0416.0)95.179 3sin(125.0)90 sin(500157.01111 tttt 例例2 下图所示电路，已知下图所示电路，已知=314 rad/s,R1=R2=10 ,L1=0.106 H，L2=0.0133 H，C1=95.6F，C2=159 F，V)3sin210 sin22010()(tttus 求求i1(t)及及i2(t)。解：解：1 1）直流分量电压单独作用）直流分量电压单独作用 A11010 RUIs020 I2）基波分量电压单独作用）基波分量电压单独作用 0)103103(1 2211 jLjCj L1与与C1并联的等效导纳为并联的等效导纳为L1与与C1发生并联谐振，并联处相当于开路发生并联谐振，并联处相当于开路 A451=12211s2111 CjRRUIImmm A)45 sin(1)()(2111 ttiti 3）三次谐波分量电压单独作用）三次谐波分量电压单独作用 L1与与C1并联后与并联后与L2串联串联的的等效阻抗为等效阻抗为 0 3 31 31211 LjLjCj 该串联支路发生串联谐振，相当于短路该串联支路发生串联谐振，相当于短路 A0213s13 eRUImm023 mI A 3sin2)(13tti A0)(23 ti4）当直流分量和各次谐波分量共同作用时：）当直流分量和各次谐波分量共同作用时：)()()(1311101titiIti A 3sin2)45 sin(1 tt )()()(2321202titiIti A)45 sin(1 t 注意注意(1)当激励函数中的直流分量单独作用时，电容相当于当激励函数中的直流分量单独作用时，电容相当于开路，电感相当于短路。开路，电感相当于短路。(2)当激励函数中的各谐波分量分别作用时，由于感抗当激励函数中的各谐波分量分别作用时，由于感抗与谐波次数成正比（与谐波次数成正比（XLn=n1L），容抗与谐波次数成反），容抗与谐波次数成反比比（XCn=1/n1C），因而电路对不同频率的谐波所呈现的，因而电路对不同频率的谐波所呈现的阻抗阻抗(或导纳或导纳)也必然不同。也必然不同。判断电路是否发生谐振判断电路是否发生谐振(3)激励函数中各次谐波分别作用时求得的频域响应，必激励函数中各次谐波分别作用时求得的频域响应，必须变成时域响应才能进行叠加。也就是说，只能用各次谐须变成时域响应才能进行叠加。也就是说，只能用各次谐波的时域函数进行加减，而不可用它们的相量进行加减。波的时域函数进行加减，而不可用它们的相量进行加减。所涉及的理论所涉及的理论 1.傅里叶级数展开傅里叶级数展开 2.相量分析相量分析 3.叠加原理叠加原理 的注意事项的注意事项1.电路中的感抗、容抗是频率的函数，应注意分析电路中的感抗、容抗是频率的函数，应注意分析 电路在某次谐波作用下是否发生谐振；电路在某次谐波作用下是否发生谐振；2.应用叠加定理，响应的直流分量和各次谐波分量应用叠加定理，响应的直流分量和各次谐波分量 应在时域中进行叠加应在时域中进行叠加 8 8 3 3 非正弦周期电流和非正弦周期电流和电压的有效值电压的有效值平均功率平均功率 一一.有效值有效值 周期电流周期电流i(t)的有效值为的有效值为 TdttiTI 0 2)(1011()sin()nmnni tIInt TnnmndttnIITI02110)sin(1 （方均根）（方均根）20 0 201)1(IdtITT 2)(sin 1)2(2 0 122mnTnmnIdttnIT 0)sin(21)3(0 10 TnmndttnIIT )(0)sin()sin(21)4(011npdttptnIITTpnmpmn 122021nnmIII 1220nnII 122021nnmUUU 1220nnUU二二.非正弦周期电流电路中的平均功率非正弦周期电流电路中的平均功率 dttituTdttpTPTT)()(1)(1 0 0 11 0)sin()(nnmntnUUtu 11 0)sin()(nnmntnIIti 00 0 00 1)1(IUdtIUTT 0 1 01(3)sin()0Tn mnU IntdtT )sin()sin(1)2(1 1 0 dttntnIUTnnmnmnT nnnIU cos 0)sin(1)4(0 1 0 TnmndttnUIT )(0)sin()sin(1)5(0 11 npdttptnIUTTpnmpmn 10100cosnnnnnnPPIUIUP 二端网络吸收的平均功率二端网络吸收的平均功率 非正弦周期电流电路的功率因数（非正弦周期电流电路的功率因数（）仍定义为）仍定义为平均功率（平均功率（P）与视在功率（）与视在功率（UI）之比，即之比，即 UIP 非正弦周期电流和电压的有效值非正弦周期电流和电压的有效值平均功率平均功率 类别类别定义式定义式计算式计算式有有效效值值平均平均功率功率 2 01()TIi tdtT 2 01()TUu tdtT 2201nnIII 2201nnUUU 01()()TPu t i t dtT 01nnPPP 000PU I cosnnnnPU I 例例1.已知一无源二端口网络的端口电压和电流分别为已知一无源二端口网络的端口电压和电流分别为V )4 3sin(4.56 2sin6.84)4 sin(141)(ttttu A )4 3sin(5.30)4 sin(4.5610)(ttti试求：试求：(1)电压、电流的有效值；电压、电流的有效值；(2)网络消耗的平均功率和网络的功率因数。网络消耗的平均功率和网络的功率因数。解：解：22211056.430.546.4A2（）222114184.656.4122.9V2（）122021nnmIII 122021nnmUUU3210PPPPP W1.860 )44cos(25.304.56)44cos(24.56141 P0 ,0 20 PP151.04.469.1221.860cos UIP V )4 3sin(4.56 2sin6.84)4 sin(141)(ttttu A )4 3sin(5.30)4 sin(4.5610)(ttti例例2 图示电路中，已知图示电路中，已知=10rad/s (1)求电流源的端电压求电流源的端电压u(t)及其有效值；及其有效值；(2)求电流源发出的平均功率。求电流源发出的平均功率。12()10 10 2sin(245)V,()20 2sinV,()22 2sin(30)Asssuttutti tt 解：解：A）直流分量作用时）直流分量作用时02 21014VU B）基波分量作用时基波分量作用时120 02 301024.5 105 V112410jUjj C）二次谐波分量作用时二次谐波分量作用时2510 6013.8786.31 V285jUjj 1()24.5 2sin(105)Vu tt 2()13.87 2sin(286.31)Vu tt ()22 2sin(30)Asi tt （2）14224.52 cos(10530)040.68WP （1）()1424.5 2sin(105)13.87 2sin(286.31)Vu ttt 2221424.513.8731.44VU 例例3 图（图（a）所示电路中，已知电源）所示电路中，已知电源 u(t)是周期函数，波形如图（是周期函数，波形如图（b）所示，所示，L=1/2mH，C=125/F。求：理想变压器原边电流。求：理想变压器原边电流i1(t)、输出电压输出电压u2及它们的有效值，电源发出的功率。及它们的有效值，电源发出的功率。(a)(b)解：解：由图（由图（b）知）知 sradT/10223 1212cosVut A）直流分量作用时）直流分量作用时01020121.5A80IIU iB）基波分量作用时基波分量作用时i 4/101251021163 C 1102/110233 L1(1)12 0390 A4mIj 0)1(I发生发生LC并联谐振并联谐振2(1)12 06 0 V2mU 11.53cos(90)Ait 26cosVut 12 1.518WP 264.243V2U 22131.54.743A2I I课堂练习：课堂练习：求下图所示电路中各表读数求下图所示电路中各表读数(有效值有效值)及电路吸收的功率。已知：及电路吸收的功率。已知：V)452000sin(2601000sin212030 ttu解：解：A）直流分量作用时）直流分量作用时10301A30I 03020 II1020VU B）基波分量作用时基波分量作用时1120 2sin1000 Vut 4010251000111101010100040104010006213231CCLL L1、C1对基波发生对基波发生并联谐振并联谐振03111 II21120 03 90 A40Ij 11120 0 VU 021 U2030VU C）二次谐波分量作用时二次谐波分量作用时260 2sin(200045)Vut 20102520001212120101020002801040200026213231CCLL L2、C2对二次谐波对二次谐波发生串联谐振发生串联谐振123260 451.8 98.13 A80(20)2060IIjjj 22801.8 98.132.4 98.13 A60jIj 1260 45 VU 22122036 98.13 VUI 222221101112101.82.06AIIII 222222202122032.42.96AIIII22223303132001.81.8AIIII 22222211011122012060135.65VUUUU2222222021223003646.86VUUUU 30 160 1.8 cos(4598.13)94.8WP *8 6 对称三相电路中的高次谐波对称三相电路中的高次谐波 一、非正弦对称三相电压一、非正弦对称三相电压A()()utu t B()()3Tutu tC2()()3Tutu tA()utB()utC()u tT0T0T0三相非正弦周期电压的波形相同，但在时间上依次三相非正弦周期电压的波形相同，但在时间上依次滞后滞后T/3周期。周期。二、傅里叶级数展开二、傅里叶级数展开A 1 1()sin()(1,3,5,21,)n mnnu tUntnk 由于三相发电机具有对称结构，所产生的电压属奇谐波函数，由于三相发电机具有对称结构，所产生的电压属奇谐波函数，仅含有奇次谐波仅含有奇次谐波。B 11()sin()3n mnnTutUnt 1 12sin()3n mnnUntn C 112()sin()3n mnnTutUnt 114sin()3n mnnUntn 12 T当当n1时，时，A11 1 1()sin()mutUt 11 1 11 1 12sin()sin(120)3BmmuUtUt 11 1 11 1 14sin()sin(120)3CmmuUtUt 当当n7、13、6k+1时，时，Ann 1()sin()mnutUnt n 1 n 1 2sin()sin(120)3BnmnmnuUntnUnt n 1 n 1 4sin()sin(120)3CnmnmnuUntnUnt 形成一组正序谐波形成一组正序谐波当当n3时，时，A33 1 3()sin(3)mutUt 33 1 33 1 32sin(33)sin(3)3BmmuUtUt 33 1 33 1 34sin(33)sin(3)3CmmuUtUt 当当n9、15、6k+3时，时，Ann 1()sin()mnutUnt n 1 sin()BnmnuUntn 1 sin()CnmnuUnt形成一组零序谐波形成一组零序谐波当当n5时，时，A55 1 5()sin(5)mutUt 55 1 55 1 52sin(55)sin(5120)3BmmuUtUt 55 1 55 1 54sin(55)sin(5120)3CmmuUtUt 当当n11、17、6k+5时，时，Ann 1()sin()mnutUnt n 1 sin(120)BnmnuUnt n 1 sin(120)CnmnuUnt 形成一组负序谐波形成一组负序谐波正序谐波正序谐波零序谐波零序谐波负序谐波负序谐波三、电路分析（注：三相对称电路）三、电路分析（注：三相对称电路）1.Y-Y三相四线制联接电路三相四线制联接电路正序组分量正序组分量零序组分量零序组分量负序组分量负序组分量3pnlnUU 3pnlnUU 0lnU 线电压中无零序谐波线电压中无零序谐波 相电压有效值相电压有效值13572222 PPPPPUUUUU线电压有效值线电压有效值13572222 lllllUUUUU3lpUU 电路求解思路：电路求解思路：正序、零序、负序分量可取一相计算，正序、零序、负序分量可取一相计算，推出其余两相推出其余两相 0ABCiiii 39153()iii 222039153 IIII中线电流：中线电流：2.Y-Y三相三线制联接电路三相三线制联接电路 1593uuuuoo中点电压即电源零序中点电压即电源零序谐波，负载中不含零谐波，负载中不含零序谐波电流，也不含序谐波电流，也不含零序相电压和线电压零序相电压和线电压就负载而言就负载而言3lpUU 电源的各正序组和负序电源的各正序组和负序组相电压对称组相电压对称电路求解思路：电路求解思路：正序、负序分量可取一相计算，正序、负序分量可取一相计算，推出其余两相推出其余两相 3.三相电源三相电源联接联接各正序谐波及负序谐波电位各正序谐波及负序谐波电位升之和均等于零，而零序谐升之和均等于零，而零序谐波电位升之和为每相三次谐波电位升之和为每相三次谐波电位升的三倍，导致沿电波电位升的三倍，导致沿电源回路产生三次谐波电流源回路产生三次谐波电流 3333333UUIZZ 线电压、线电流中无线电压、线电流中无零序谐波零序谐波 例例 已知已知R=10，L=12.74 mH，基波角频率，基波角频率为为1=314 rad/s，对称三相电压源的，对称三相电压源的A相电压为相电压为 A 1 1 1()(215 2sin40 2sin310 2sin5)Vu tttt 求求iB(t)、iO(t)及其有效值。及其有效值。11(104)10.7721.8ZRjLj 解：解：1、基波单独作用、基波单独作用A1 1()215 2sin Vutt 111215120 A19.96141.8 A10.7721.8BBUIZ 10oI 2、3次谐波单独作用次谐波单独作用A3 1()40 2sin3 Vutt 3 13(1012)15.62 50.19ZRjLj 33340 0 A2.56 50.19 A15.62 50.19BBUIZ 3337.6850.19 AOBII 50OI 3、5次谐波单独作用次谐波单独作用A5 1()10 2sin3 Vutt 22213522219.962.560.4520.13ABBBBIIII515(1020)22.36 63.43ZRjLj 55510 120 A0.45 56.57 A22.36 63.43BBUIZ 4、iB(t)、iO(t)及其有效值及其有效值111()19.96 2sin(141.8)2.56 2sin(350.19)0.45 2sin(556.57)ABitttt 1()7.68 2sin(350.19)AOitt 2221357.68AOOOOIIII