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专练02 平面向量的应用一、基础强化1. 在ABC中,若=+,则ABC是()A.等边三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.直角三角形【参考答案】D 【解析】由=+,得=-+=(-)+=+,=0,C=90,ABC为直角三角形,故选D.2. 在ABC中,C=90,CA=CB=1,则=()A.-1 B. C.1 D.-【参考答案】A 【解析】由题意,得=1,=,则=cos=1=-1.3. 已知(2,1),点C(1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为()A B3 C D3【参考答案】C【解析】因为点C(1,0),D(4,5),所以(5,5),又(2,1),所以向量在方向上的投影为|cos,.4.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是ABC的重心,点P满足=,则P为ABC的()A.重心B.AB边上的中线的三等分点(非重心)C.AB边上的中线的中点D.AB边的中点【参考答案】B【解析】如图所示,设AB的中点是E,连接CE,易得点O在CE上.O是ABC的重心,=+2=(+2).2=,=(4+)=,P在AB边的中线上,是中线的三等分点,且不是重心,故选B.5. (2019东北联考)在ABC中,cos,则ABC一定是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D无法确定【参考答案】A【解析】由cos 得2cos21cos Acos B,AB .6. (2019山东济南外国语学校期中)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知bc,a22b2(1sin A),则A()ABCD【参考答案】C【解析】因为bc,a22bc(1sin A),由余弦定理得,b2c22bccos A2bc2bcsin A,移项得到(bc)22bc(cos Asin A)0,cos0,得到A.7. (2019河南郑州月考)如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得BCD15,BDC30,CD30,并在点C测得塔顶A的仰角为60,则塔高AB等于() A5B15C5D15【参考答案】D【解析】在BCD中,CBD1801530135. 由正弦定理得,所以BC15. 在RtABC中,ABBCtanACB1515.8. 如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30B45C60D75【参考答案】B【解析】依题意可得AD20,AC30,又CD50,所以在ACD中,由余弦定理得cosCAD,又0CAD180,所以CAD45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.9.在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.若渡船要垂直渡过长江,则渡船的航向应为 .【参考答案】北偏西30【解析】如图所示,设渡船速度为,水流速度为,渡船实际垂直过江的速度为.依题意知=12.5,|=25.=+,=+.又,=2512.5cos(BOD+90)+12.52=0,BOD=30,渡船的航向应为北偏西30.10. 若平面四边形ABCD满足+=0,(-)=0,则该四边形一定是 .【参考答案】菱形【解析】由四边形ABCD满足+=0知,四边形ABCD为平行四边形.又(-)=0,即=0,可知该平行四边形的对角线互相垂直,故该四边形一定是菱形.11. 已知在直角三角形ABC中,ACB90,ACBC2,点P是斜边AB上的中点,则_.【参考答案】4【解析】由题意可建立如图所示的坐标系可得A(2,0),B(0,2),P(1,1),C(0,0),则(1,1)(0,2)(1,1)(2,0)224.12.设向量a=(sin x,cos x),b=(-1,1),c=(1,1)(其中x0,).(1)若(a+b)/c,求实数x的值; (2)若ab=,求sin的值.【参考答案】(1)；(2)【解析】(1)由(a+b)/c可得(sin x-1)-(cos x+1)=0,sin x-cos x=2,即2=2,即sin=1,又x0,x-,x-=,x=.(2)由ab=-sin x+cos x=可得2（-sin x+cos x）=,sin=, 又x0,x+,cos=-,sin=sin=-cos=.二、能力提升1. 已知向量a,b满足=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则=()A.2 B.2 C.4 D.12【参考答案】A【解析】 由=3,得|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=9,所以ab=,由向量a在向量b方向上的投影为-2,得=-2,即=4,所以=2,故选A.2. 如图所示,已知正六边形ABCDEF的边长为a,点G为CD的中点,则=.【参考答案】-a2【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系,则AD=2a,则A(-a,0),D(a,0),F,E,C,又由点G为CD的中点,得G,则=,=+=-a2. 3.在矩形中,与相交于点,过点作,垂足为,则ABCD【参考答案】B【解析】如图：由,得：,又,又.故选B.4. 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a,b2,A60,则sin B_,c_.【参考答案】3【解析】由余弦定理得,cos A,解得c3.由正弦定理得,sin B.5. 已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x0,.(1)若a/b,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【参考答案】(1) (2) x=0时,f(x)取得最大值3；x=时,f(x)取得最小值-2【解析】(1)a=(cos x,sin x),b=(3,-),ab,-cos x=3sin x,若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0,tan x=-,又x0,x=.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-)=3cos x-sin x=2cos.x0,x+,-1cos,当x+=,即x=0时,f(x)取得最大值3;当x+=,即x=时,f(x)取得最小值-2.科教兴国5
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