资源描述
一个半径为2米的圆盘靶子,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,且射击都能中靶,记 表示弹着点与圆心的距离.求 的分布函数.,例,其中,其它,由本章3的例求得r.v X 的分布函数是,这是一种特殊类型的随机变量,定义,若 的分布函数能够表为,例,设 的分布函数为,求 的密度函数.,解,即有,的密度函数为,只有有限个点处不可导,连续型r.v分布函数是连续函数,且是绝对连续函数,离散型 r.v,非离散型 r.v,连续型 r.v,奇异型 r.v,r.v 的基本类型,奇异型r.v是 人为构造的r.v,？,能表为可积函数上限积分的连续函数,密度函数的性质,有,在 的连续点处有,几何意义如下,图形在 x 轴上方， 下方图形面积为1,等于曲边梯形面积,则当 充分小时，有,注解：,近似于小矩形面积,解,例,计算概率,设 的密度函数为,确定常数 并求 的分布函数,的分布函数是,问题,设 为连续型 为任意常数,问,？,分析,有,注,对于连续型r.v 有,问题,设 为连续型 为任意常数,则,那么 是否是不可能事件,？,注意分布函数一定连续,几种重要的连续型随机变量,（一）均匀分布,如果 的密度函数为,注,故 的确是密度函数,的图形,有,即 落在 中的概率只与区间长度有关,而与位置无关,这反映了某种“等可能性”,即 在区间 上“等可能取值”,问,若 为常数,则,？,其它,三段木棒能构成,将长度为 2l 的木棒任意截为两段, 求这两段木棒与另一长度为 l 的木棒能构成三角形的概率.,设截下的两段木棒长度分别,故三段木棒能构成的概率为,均匀分布的实际背景,解,则,例,假定在运算中，数据只保留到小数点后第五位,而小数点第五位以后的数字按四舍五入处理.记 表示真值，记 表示舍入后的值，则误差,在用计算机进行数值运算时,由于字长的限制，数据都只保留到一定位数，而最后一位数字按四舍五入处理.通常舍入误差服从均匀分布,定点计算中的舍入误差,例,越大曲线越平,（二）指数分布,如果 的密度函数为,注,故 的确是密度函数,的图形,下方面积为1,的分布函数为,例,指数分布通常用来描述“寿命”的分布,电子元件的寿命； 生物的寿命； 电话的通话时间； 机器的修理时间； 营业员为顾客提供的服务时间； ,指数分布广泛应用于可靠性理论和排队论,指数分布密度函数,为什么各种“寿命”服从指数分布,？,中参数 表示平均寿命 称为失效率,指数分布的重要性质-无记忆性,说明什么？,指数分布与泊松分布的关系,时间轴,在泊松流中,记时间间隔 中出现的质点数为,则 即有,记 表示第一个质点出现的时间，则,即 的分布函数为,（三）正态分布,如果 的密度函数为,其中参数 则称 服从参数为 的,正态分布密度函数的性质,故 确是密度函数,正态分布密度函数的性质,即 关于 对称,当 时,当 时,在 处取极大值,即曲线 以 轴为渐近线,关于 对称 中间高，两头低 样子像座“山”,当参数 发生变化时,曲线会发生怎样的变化?,问,图形向右平移,形状不变,小 大,大 小,图形向左平移,形状不变,小 大,图形变平坦,大 小,图形变尖锐,自然界许多指标都服从或近似服从正态分布,成年人的各种生理指标：身高、体重、血压、视力、智商等,例,一个班的某门课程的考试成绩,例,海浪的高度,例,一个地区的日耗电量,例,各种测量的误差,例,炮弹弹着点,例,一个地区的家庭年收入,例,服从正态分布的指标有什么特点,一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.,为什么叫“正态”分布,正态分布密度呈现“中间高，两头低”的形态，它描述了自然界大量存在的随机现象，所以正态分布是自然界的一种“正常状态 ( normal )”的分布.,正态分布是德国数学家高斯在研究误差理论时的到的，故正态分布也称为高斯分布.,人物介绍 高斯,问题,？,问题,？,O,这是什么曲线?,高尔顿钉板试验,其概率密度和分布函数分别为,可查附表 2求 的值,之间的关系,证,引理,的分布函数为,令, 在70分钟内,走路线 I 及时赶到的概率为,故在这种情况下应该走第二条路线.,解,从某地乘车往火车站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所需时间 第二条路线走环线,路程较远,但意外阻塞少,所需时间 若有70分钟时间可用,问应走哪条路线? 若只有65分钟时间可用,问又应走哪条路线？,例,走路线 II 及时赶到的概率为, 在65分钟内,走路线 I 及时赶到的概率为,故在这种情况下应该走第一条路线.,走路线 II 及时赶到的概率为,解,例,设,求下列概率值：,由引理知,正态r.v的值几乎都落在 内,3原则：,未知参数 是该运动员的真实成绩, 由参数 的 意义知,可用 个评分值的平均数作为估计值,即,在体育比赛中为了保证裁判评分的公正性，往往去掉一个最低分、去掉一个最高分，取余 下分数的平均值作为运动员最后的得分.,然而,解,在某体育比赛中,设裁判给运动员的表演打的分数 位裁判给某一运动员的评分分别为,试问这些分数是否公正？,依据 原则,这几乎是不可能的,故认为分数不公正.,数据具有“稳健性”,注,例,离散型r.v与连续型r.v的形式统一性,改写为,则 与的地位相当,设离散型 的分布律为,设连续型 的密度函数为,则有,例如,连续型r.v 离散型r.v,一般地：,在概率公式中,则公式仍然成立,概率函数,对离散型 表示分布律,即,对连续型 表示密度函数,即有,记,概率函数表述了离散型r.v与连续型r.v的形式统一性,用概率函数来表示，许多公式既适用于离散型也适用于连续型,例2,习题： 3、6,END,
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