章连续时间信号与系统时域分析

章连续时间信号与系统时域分析2.1 常用信号及其信号的基本运算常用信号及其信号的基本运算1、实指数信号实指数信号atKetf)(时间常数越大时间常数越大,指数信号增长或衰减的速率越慢指数信号增长或衰减的速率越慢.指数信号的一个重要特性是它对时间的微分和指数信号的一个重要特性是它对时间的微分和积分仍然是指数形式积分仍然是指数形式.a1:时间常数第二章 连续时间信号与系统的时域分析一、常用信号一、常用信号a=0章连续时间信号与系统时域分析2、正弦信号正弦信号)sin()(tKtfK为振幅为振幅,是角频率是角频率,为初相位为初相位.21:周期fT正弦信号对时间的微分正弦信号对时间的微分和积分仍为同频率的正和积分仍为同频率的正弦信号弦信号.)(tftKettsin00t0章连续时间信号与系统时域分析)sin()cos()(:则其中)(tjKetKeKetfjsKetfttstst欧拉公式欧拉公式:)(21)cos()(21)sin(:则有)sin()cos()sin()cos(tjtjtjtjtjtjeeteejttjtetjte3、复指数信号、复指数信号章连续时间信号与系统时域分析一个复指数信号可分解为实、虚两部分一个复指数信号可分解为实、虚两部分.讨论讨论:S=0,S=,S=j,s=+j四种情况四种情况.虽然不能产生实际的复指数信号虽然不能产生实际的复指数信号,但它概括但它概括了多种情况了多种情况,利用它可使许多运算和分析得利用它可使许多运算和分析得以简化以简化,是一种重要的基本信号是一种重要的基本信号.4、Sa(t)信号信号(抽样信号抽样信号)tsin(t)Sa(t)定义定义:章连续时间信号与系统时域分析Sa(t)函数性质函数性质:1.Sa(t)为偶函数为偶函数章连续时间信号与系统时域分析1)sin(lim)(lim00tttSatt3.2)()(0dttSadttSa2.0)sin(lim)(limtttSatt4.0)(,2tSan、t5.章连续时间信号与系统时域分析5、钟形信号、钟形信号(高斯信号高斯信号)2)(t)tEef章连续时间信号与系统时域分析二、二、信号的基本运算 1 1、信号的、信号的、运算运算 两信号两信号f1()和和f2()的相的相+、指同一时指同一时刻两信号之值对应相加减乘。如刻两信号之值对应相加减乘。如章连续时间信号与系统时域分析例例2-1 （P21）章连续时间信号与系统时域分析2、微分与积分、微分与积分)()(t)()1(tfdttdffty微分微分:积分积分:tdftf)()()1(章连续时间信号与系统时域分析3、平移 将将f(t)f(t t0)，f(n)f(t n0)称为对信号称为对信号f()的平移或移位。若的平移或移位。若t0(或或n0)0，则将，则将f()右移；否则左移。右移；否则左移。如如函数的平移？函数的平移？章连续时间信号与系统时域分析 4、反转反转 将将f(t)f(t)，f(n)f(n)称为对称为对信号信号f()的反转或反折。从图形上看是将的反转或反折。从图形上看是将f()以纵坐标为轴反转以纵坐标为轴反转180o。如。如函数的反转？函数的反转？章连续时间信号与系统时域分析平移与反转相结合 已知已知f(t)如下图所示，请画出如下图所示，请画出f(2-t)方法一：方法一：先平移先平移f(t)f(t+2),再反转再反转f(t+2)f(t+2)章连续时间信号与系统时域分析 方法二：方法二：先反转先反转 f(t)f(t)再平移再平移f(t)f(t+2)=f (t 2)章连续时间信号与系统时域分析5、尺度变换（横坐标展缩）将将f(t)f(a t)，称为对信号称为对信号f(t)的尺度变换。的尺度变换。若若a 1，则波形沿横坐标向原点压缩；若，则波形沿横坐标向原点压缩；若0 a 0例例：描述某系统的微分方程为：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=U U(t)。求该系统的零。求该系统的零输入响应和零状态响应。输入响应和零状态响应。注意此时系数注意此时系数C的求法！的求法！章连续时间信号与系统时域分析 yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6U U(t)并有并有 yzs(0-)=yzs(0-)=0 由于上式等号右端含有由于上式等号右端含有(t)，故，故yzs”(t)含有含有(t)，从而从而yzs(t)跃变，即跃变，即yzs(0+)yzs(0-)，而，而yzs(t)在在t=0连续，即连续，即yzs(0+)=yzs(0-)=0，积分得，积分得（2）零状态响应零状态响应yzs(t)满足满足因此，因此，yzs(0+)=2 yzs(0-)=2对对t0时，有时，有yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6不难求得其齐次解为不难求得其齐次解为Czs1e-t+Czs2e-2t，其特解为常数，其特解为常数3，于是有于是有yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值求得代入初始值求得yzs(t)=4e-t+e-2t+3，t0章连续时间信号与系统时域分析全响应全响应 如果系统的初始状态不为零，在激励如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作的作用下，用下，LTI系统的响应称为全响应，它是零输系统的响应称为全响应，它是零输入响应与零状态响应之和，即入响应与零状态响应之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t)零状态响应零输入响应强迫响应自由响应)()()(111tyecectyectypnjtzsjnjtzijpnjtjjjj章连续时间信号与系统时域分析ttfdiCdttdiLtRi)()(1)()()()()(2)(tftititi 1,0122120,)()(21tetCCtitxVuVLuiAiiiLLxLxx12)0(,12)0()0(1)0()0()0(例例2-12 写出右图示电路的微分方写出右图示电路的微分方程，程，uc(0-)=10,iL(0-)=1A,求求ix(t)。解：根据解：根据KVL有有Us(t)LR+-+-uc(t)C1H21Fi(t)章连续时间信号与系统时域分析2.4 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应一、冲激响应 由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引起的零状态响所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为记为h(t)。h(t)=T0,(t)冲激响应示意图冲激响应示意图 x(0)=0章连续时间信号与系统时域分析)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(tbtbtbtbthathathathmmmmnnn nititUeCthi1)()()()(2)()(2)(3)(tftftytyty 当当t0+时，且时，且n m时时当当nmnm时时h h（t t）表示式中还应含有）表示式中还应含有（t t）及其各阶导数）及其各阶导数例例2-14 求求 的冲激响应。的冲激响应。0)()()()(01)1(1)(thathathathnnn章连续时间信号与系统时域分析)(2)()(2)(3)(ttththth)()()(0)(2)(3)(221tUeCeCththththtt 当当t0+时时)()43()(4,312)(32221212121tUeethCCCCCCCCtt章连续时间信号与系统时域分析)(2)()()2()()(2)()1(tftititftyty)(2)()()2()()(2)()1(tththtthth求下列系统的冲激响应求下列系统的冲激响应)()()()2()()()1(212tCtUeCthtUCethtt解：解：则则章连续时间信号与系统时域分析例例1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t),求其冲激响应求其冲激响应h(t)。解：根据解：根据h(t)的定义有的定义有h”(t)+5h(t)+6h(t)=(t)h(0-)=h(0-)=0先求先求h(0+)和和h(0+)。因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系数平衡法。，故利用系数平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含U U(t)，h(0+)h(0-)，章连续时间信号与系统时域分析 h(t)在在t=0连续，即连续，即h(0+)=h(0-)。积分得。积分得考虑考虑h(0+)=h(0-)，由上式可得，由上式可得h(0+)=h(0-)=0,h(0+)=1+h(0-)=1对对t0时，有时，有h”(t)+5h(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为一齐次解。故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)U U(t)代入初始条件求得代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以所以h(t)=(e-2t-e-3t)U U(t)章连续时间信号与系统时域分析 解解根据根据h(t)的定义有的定义有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=”(t)+2(t)+3(t)(1)h(0-)=h(0-)=0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知，h(t)中含中含(t)故令故令h(t)=a(t)+p1(t)p1(t)为不含为不含(t)的某函数的某函数 h(t)=a(t)+b(t)+p2(t)h”(t)=a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)代入式代入式(1)，有，有例例2 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。章连续时间信号与系统时域分析 整理得整理得 a”(t)+(b+5a)(t)+(c+5b+6a)(t)+p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)=”(t)+2(t)+3(t)利用利用(t)系数匹配，得系数匹配，得a=1，b=-3，c=12 所以所以h(t)=(t)+p1(t)（2）h(t)=(t)-3(t)+p2(t)（3）h”(t)=”(t)-3(t)+12(t)+p3(t)（4）对式对式(3)从从0-到到0+积分得积分得h(0+)h(0-)=3 对式对式(4)从从0-到到0+积分得积分得h(0+)h(0-)=12a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)+5a(t)+b(t)+p2(t)+6a(t)+p1(t)=”(t)+2(t)+3(t)章连续时间信号与系统时域分析 微分方程的特征根为微分方程的特征根为 2，3。故系统的。故系统的冲激响应为冲激响应为 h(t)=C1e2t+C2e3t，t0 代入初始条件代入初始条件h(0+)=3，h(0+)=12 求得求得C1=3，C2=6,所以所以 h(t)=3e2t 6e3t,t 0 结合式结合式(2)得得 h(t)=(t)+(3e2t 6e3t)(t)对对t0时，有时，有h”(t)+6h(t)+5h(t)=0故故h(0+)=3，h(0+)=12章连续时间信号与系统时域分析二、阶跃响应二、阶跃响应阶跃响应示意图阶跃响应示意图*阶跃响应是激励为单位阶跃函数阶跃响应是激励为单位阶跃函数(t)(t)时，系统的零时，系统的零状态响应，如下图所示。状态响应，如下图所示。线性非时变系统g(t)x(0)001t(t)g(t)0t(t)(,0)(tTtgdef用用g(t)表示阶跃响应表示阶跃响应章连续时间信号与系统时域分析 如果描述系统的微分方程是式如果描述系统的微分方程是式 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=f(t)，当当f(t)=f(t)=U U(t)(t)时，有时，有01)(atgp式（式（1 1）的特解为）的特解为)1()()()()()(01)1(1)(tUtgatgatgatgnnn其初始值为其初始值为:0)0()0()0()0()2()1(ggggnn注：除注：除g(n)(t)外？外？章连续时间信号与系统时域分析y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)若微分方程的特征根若微分方程的特征根i i(i=1(i=1，2 2，n)n)均为单均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式根，则系统的阶跃响应的一般形式(nm)(nm)为为 )()1()(01tUaectgnitii若若描述系统的微分方程是式描述系统的微分方程是式可根据可根据LTI系统的线性性质和微积分特性求出阶跃响应：系统的线性性质和微积分特性求出阶跃响应：dttdUt)()(tdxxtU)()(dttdgth)()(tdxxhtg)()(章连续时间信号与系统时域分析 解：系统的微分方程解：系统的微分方程 设图中右端积分器的输出为设图中右端积分器的输出为x(t)，则其输入为，则其输入为x(t)，左端积分器的输入为，左端积分器的输入为x(t)。左端加法器的。左端加法器的输出为输出为 x(t)-3 x(t)-2 x(t)+f(t)即即 x(t)+3 x(t)+2 x(t)f(t)例例2.2-3 如图如图2.2-3 所示的所示的LTI系统，求其阶跃响应系统，求其阶跃响应 y(t)+f(t)-2 3 1 2 x(t)x(t)x(t)章连续时间信号与系统时域分析右端加法器的输出为右端加法器的输出为 y(t)=-x(t)+2 x(t)x(t)+3 x(t)+2 x(t)f(t);（1）y(t)=-x(t)+2 x(t)（2）阶跃响应阶跃响应若设（若设（1）式所述系统的阶跃响应为）式所述系统的阶跃响应为gx(t),则有则有 g(t)=-gx(t)+2 gx(t)章连续时间信号与系统时域分析 gx(t)满足方程满足方程 gx(t)+3 gx(t)+2 gx(t)(t)gx(0_)=gx(0_)=0 其特征根其特征根 11；22，其特解为，其特解为0.5，于是得于是得 gx(t)(C1e-t+C2e-2t+0.5)(t)初始值为初始值为gx(0)=gx(0)=0，代入上式得，代入上式得 gx(0)=C1+C2+0.5=0;gx(0)=-C1-2C2=0解得解得 C1-1；C2章连续时间信号与系统时域分析 所以，所以，gx(t)(-e-t-2t+0.5)(t)求出求出 gx(t)，代入，代入g(t)=-gx(t)+2 gx(t)得得 g(t)=-gx(t)+2 gx(t)(-3e-t+2e-2t+1)(t)解法二：由（解法二：由（1）、（）、（2）式求得系统的微分方）式求得系统的微分方程为：程为：y(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t)当当f(t)=(t)时，有时，有)3()(2)()(2)(3)(ttththth0)0()0(hh先求先求h(0+)和和h(0+)章连续时间信号与系统时域分析 令：)6()()()5()()()()4()()()()(210trthtrtathtrtbtath由（由（4）式从）式从0-到到0+积分得积分得5)0()0(hh将上三式代入（将上三式代入（3）式得）式得)(2)()(2)(3)(3)()()(210tttrtrtatrtbta23;1baa5;1ba5)0(h由（由（5）式从）式从0-到到0+积分得积分得1)0(h章连续时间信号与系统时域分析可以求得系统的冲激响应为可以求得系统的冲激响应为 h(t)=(3e-t-4e-2t)(t)0)(2)(3)(ththth当当t0,有有所以所以ttececth221)(5)0(h1)0(h由由)()123()()(2teedxxhtgttt章连续时间信号与系统时域分析2.5 卷积积分 一、信号的时域分解与卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分 1.信号的时域分解信号的时域分解f(t)f(0)f1f2f3fk02kt0f(t)t2k有始信号分解为冲激信号的叠加有始信号分解为冲激信号的叠加f（t）ff1 1(t)+f(t)+f2 2(t)+f(t)+fk k(t)+(t)+章连续时间信号与系统时域分析)()()()()()(lim)()1()()()(0000ttfdtfktkftfktUktUkftfkk)()()()()(ttfdtftf)1()()()()2()()()()()()0()(21ktUktUkftftUtUftftUtUftfk章连续时间信号与系统时域分析2.任意信号作用下的零状态响应任意信号作用下的零状态响应根据根据h(t)的定义：的定义：(t)h(t)由时不变性：由时不变性：(t-)h(t-)由齐次性：由齐次性：f()(t-)f()h(t-)由叠加性：由叠加性：章连续时间信号与系统时域分析 解解：yzs(t)=f(t)*h(t)例例：f(t)=e t,（-t)，h(t)=(6e-2t 1)U(t)，求yzs(t)。当t t时，U(t-)=0章连续时间信号与系统时域分析二、二、卷积积分的定义 已知定义在区间（已知定义在区间（，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分，则定义积分为为f1(t)与与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为的卷积积分，简称卷积；记为f(t)=f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分为积分变量，变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。)(*)()()()(thtfdthftyzs例例2-16 (P36)章连续时间信号与系统时域分析 求解卷积的方法可归纳为：求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。三者常常结合起来使用。章连续时间信号与系统时域分析三、卷积积分的图解法三、卷积积分的图解法卷积的定义：卷积的定义：dthfthtfty)()()()()()()()()(ththhht平移翻转1）将）将f(t)和和h(t)中的自变量由中的自变量由t改为改为，成为函数成为函数的自变量；的自变量；卷积的计算步骤：卷积的计算步骤：2）把其中一个信号翻转、平移；）把其中一个信号翻转、平移；章连续时间信号与系统时域分析4）若）若t是一固定时刻是一固定时刻t1，则，则dthftyf)()()(11其值其值yf(t1)正是正是t1时刻时刻f()h(t1-)曲线下的面积。曲线下的面积。3）将）将f()与与h(t)相乘；对乘积后的图形积分相乘；对乘积后的图形积分,得到任意时刻得到任意时刻t的卷积积分。的卷积积分。dthfty)()()(章连续时间信号与系统时域分析)(tft)(tht)(h)()(thft)()(),()(),(*)(tUethtUtfthtft计算)(f)(h01)(*)(0)(tedethtfttt例例1章连续时间信号与系统时域分析例例2：计算：计算y(t)=p1(t)p1(t)。)()(11tpp0.5t5.0t 5.01t1t5.0t 5.0)()(11tpp01t1a)t 1b)11 t 0tdttyt1)(5.05.0)(1tp0.5-0.51t)(1py(t)=0章连续时间信号与系统时域分析t 5.0t5.0)()(11tpp10 t1t5.0t 5.0)()(11tpp1t111-1)()(11tptptc)0 t 1tdttyt1)(5.05.0d)1 t y(t)=0章连续时间信号与系统时域分析结论结论1、积分上下限是两信号重叠部分的边界，下限、积分上下限是两信号重叠部分的边界，下限为两信号左边界的最大者，上限为两信号右边为两信号左边界的最大者，上限为两信号右边界的最小者。界的最小者。2、卷积后信号的时限等于两信号时限之和。、卷积后信号的时限等于两信号时限之和。3、卷积后的起点、卷积后的起点=起点起点+起点起点 卷积后的终点卷积后的终点=终点终点+终点终点 卷积后的宽度卷积后的宽度=宽度宽度+宽度宽度章连续时间信号与系统时域分析练习练习1：U(t)U(t)练习练习2：计算：计算y(t)=f(t)h(t)。)(tft101)(tht201)(tyt20113tt3=r(t)章连续时间信号与系统时域分析四、卷积的性质四、卷积的性质 1)交换律交换律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2)分配律分配律 f1(t)+f2(t)*f3(t)=f1(t)*f3(t)+f2(t)*f3(t)3)结合律结合律 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)4)位移特性位移特性 已知已知 f1(t)*f2(t)=f(t)则则:f1(t-t1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2)5)展缩展缩)(1)()(21atfaatfatf（一）卷积的代数律（一）卷积的代数律章连续时间信号与系统时域分析)()(2211ttfttfdttftf)()(2211dxxtttfxfxt)()(21211)(21tttf)()(21atfatfdtafaf)()(21dxxatfxfaxa)()(121)(1atfa位移特性证明：位移特性证明：展缩特性证明：展缩特性证明：章连续时间信号与系统时域分析例：利用位移特性及例：利用位移特性及U(t)U(t)=r(t)，计算，计算y(t)=f(t)h(t)。)(tft101)(tht201)(tyt20113tt3y(t)=f(t)h(t)=U(t)U(t-1)*U(t)U(t-2)=U(t)*U(t)-U(t-1)*U(t)-U(t)*U(t-2)+U(t-1)*U(t-2)=r(t)r(t 2)r(t 1)+r(t 3)章连续时间信号与系统时域分析f(t)*(t)=f(t)（二）卷积的微分与积分（二）卷积的微分与积分f1(t)*f2(t)=f(t)若若f1(1)(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)=f(1)(t)微分特性微分特性f(t)*(n)(t)=f(n)(t)f1（j）(t)*f2（i-j）(t)=f（i）(t)章连续时间信号与系统时域分析)()()()()1(tfdftUtft)()()()(2)1(121tftftftf等效特性等效特性)()()1(12tftf)1(21)()(tftf积分特性积分特性f1（-1）(t)*f2(t)=f1(t)*f2（-1）(t)=f（-1）(t)dtgftgtfthtfthtftyzs)()()()()()()()()()1(LTI系统系统杜阿密尔积分杜阿密尔积分章连续时间信号与系统时域分析（三）含有奇异信号的卷积（三）含有奇异信号的卷积 f(t)*(t t1)=f(t t1)f(t)*(t)=f(t)(t-t1)*(t t2)=(t-t1 t2)f1(t-t1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2)f(t)*(t)=f(t)f(t)*（n）(t)=f（n）(t)()()()()1(tfdfttft章连续时间信号与系统时域分析例例1：已知：已知 y(t)=f1(t)f2(t)，求，求y(t)。解：解：y(t)=y(t)(t)=f1(t)f2(t)(t)例例2：已知：已知 y(t)=f1(t)f2(t)，求求y(1)(t)。解：解：y(1)(t)=y(t)u(t)=f1(t)f2(t)u(t)=f1(t)f2(t)=f1(t)f2(t)=f1(1)(t)f2(t)=f1(t)f2(1)(t)章连续时间信号与系统时域分析例例3：利用等效特性，计算：利用等效特性，计算y(t)=f(t)h(t)。)(tht201)(tyt20113tt3)1()(ththt201311已知已知 f(t)=(t)(t 2)dtththtyt)2()()(0f(t)h(t)=h(t)h(t 2)章连续时间信号与系统时域分析2.6 连续系统的时域分析连续系统的时域分析系统全响应系统全响应y(t)yx(t):齐次微分方程齐次微分方程 齐次解齐次解代入初始条件代入初始条件yx(t)yf(t):微分方程微分方程h(t)f(t)*h(t)=yf(t)例例2-20 （P43）例例2-21 （P44)例例2-22 （P45）章连续时间信号与系统时域分析例例2-23 电路如图，已知电路如图，已知f(t)=(1+e-3t)U(t),uc(0-)=1V,求求uc(t)11F+-uc(t)解：解：)()()(tftutucc)()(,1,1)0()0()()(1,01tUetuCuutUCetutxcctx（1）零输入响应）零输入响应（2）零状态响应）零状态响应uf(t)1)冲激响应冲激响应h(t)章连续时间信号与系统时域分析)()(1)()()()()(tUethCtUCethtththttdeedtUeUethtftutttf)(03)(3)1()()()1()(*)()(2)零状态响应零状态响应uf(t)（3）全响应：）全响应：uc(t)=ux(t)+uf(t)