数学同步优化指导北师大版选修22课件：本章整合提升3

精 品 数 学 课 件北 师 大 版第三章导数应用第三章导数应用本章整合提升本章整合提升1函数的导数与函数的单调性的关系设函数yf(x)在某个区间内可导，(1)若f(x)0，则函数yf(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则函数yf(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则函数yf(x)在这个区间内为常函数2函数的极小值和极大值(1)函数极小值的概念函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小；f(a)0；在点xa附近在左侧f(x)0，右侧f(x)0；则点xa叫作函数yf(x)的极小值点，f(a)叫作函数yf(x)的极小值(2)函数极大值的概念函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大；f(b)0；在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0；则点xb叫作函数yf(x)的极大值点，f(b)叫作函数yf(x)的极大值；极小值点与极大值点统称为极值点，极小值与极大值统称为极值3极值与最值的区别(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值开区间(a，b)上的连续函数f(x)在(a，b)上最值、极值情况有如下几种可能情况：没有极值，无最大值无最小值有极大值无极小值，有最大值无最小值有极小值无极大值，有最小值无最大值有极大值、极小值，极大值、极小值即为最大值、最小值4解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义以上过程用框图表示如下：讨论函数的单调性及求单调区间的方法有三种：根据图像；根据函数的单调性的定义；利用导数利用导数讨论单调性和求单调区间具有普遍的指导意义应注意：确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点；专题一求函数的单调区间命题“如果f(x)0，则函数是增函数”的逆命题不成立，当f(x)在(a，b)内为增函数时，f(x)0，如f(x)x3.由于f(x)0时，f(x)可能恒为0，f(x)也就恒为常数，故由f(x)0不能得到f(x)是单调函数因此，课本上关于单调性的结论在解题时要注意，它并非充要条件已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；已知a为实数，f(x)(x24)(xa)(1)求导数f(x)；(2)若f(1)0，求f(x)在2,2上的最大值和最小值利用导数研究函数的极值要注意：(1)可导函数f(x)在点x0取得极值的充分必要条件是f(x)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同f(x0)0是x0为极值点的必要不充分条件(2)极值点也可以是不可导的，如函数f(x)|x|在极小值点x00处不可导(3)求一个可导函数的极值时，常常把使f(x0)0的点x0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然专题二求极值、最值问题已知函数f(x)ax1ln x(aR)(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，对x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围；当a0时，4a212a(a2)0，解得0a3.函数f(x)在R上不存在极值时，a(，03，)【点评】本题将极值不存在问题转化为判定一元二次方程(a0)无不等实根的问题，充分体现了转化思想在解决数学问题中的应用解决生活中的优化问题时应注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大(小)值(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间专题三利用导数解决实际问题 在高为H、底面半径为R的圆锥内作一个内接圆柱，问圆柱底面半径r为多大时，圆柱体积最大？思路点拨本题的关键是画出轴截面，建立圆柱体积与底面半径r的函数关系式，利用导数求函数的最大值解析：设圆柱底面半径为r、高为h、体积为V，在圆锥的轴截面ABC(如右图所示)中，【点评】解决此类题的关键是分析几何体的几何特征，选择适当的量建立关于面积或体积的目标函数，然后利用导数求解当x6 000时，l取得极大值函数只有一个点使l0，且函数在该点有极大值，函数在该点取得最大值要使利润最大，应生产6 000件产品阶段质量评估(三)谢谢观看！谢谢观看！