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课时作业14抛物线的简单几何性质基础巩固一、选择题1过抛物线C：y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1x26，那么|AB|()A8 B10C6 D42抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是()A. B.C. D33已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|4，则直线AF的倾斜角等于()A. B.C. D.4若直线y2x与抛物线x22py(p0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A5p B10pC11p D12p5已知点P在抛物线x24y上，则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A(2,1) B(2,1)C1， D1，二、填空题6已知点F为抛物线y24x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为_7已知抛物线y2x，则弦长为定值1的焦点弦有_条8已知A(2,0)，B为抛物线y2x上一点，则|AB|的最小值为_三、解答题9已知直线x2y10被焦点在y轴上，顶点在原点的抛物线截得的弦长为，求此抛物线的方程10已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2x上，O为坐标原点，顶点A到抛物线的焦点F的距离等于，求AOB的面积能力提升11设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6C7 D812设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点若|FQ|2，则直线l的斜率等于_13已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.14设点P(x，y)(y0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M0，的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：ykx1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|2，求实数k的值课时作业14抛物线的简单几何性质1解析：根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到抛物线准线的距离，所以|AB|x1x2p628.答案：A2解析：设抛物线yx2上一点为(m，m2)，该点到直线4x3y80的距离为|4m3m28|53m2322035，故当m23时，取得最小值，为43.答案：A3解析：设P(x1，y1)，由题意得F(1,0)，所以|PF|x114x13，所以y123，所以A(1,23)，所以kAF230113，所以倾斜角为23.答案：B4解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x24pxp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24p，y1y29p.直线过抛物线的焦点，|AB|y1y2p10p.答案：B5解析：根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和最小，只需点P到点Q(1,2)的距离与点P到准线的距离之和最小，过点Q(1,2)作准线的垂线，交抛物线于点P，此时距离之和最小，点P的坐标为1，14.答案：D6解析：由抛物线定义得：xA15，xA4，又点A位于第一象限，因此yA4，从而kAF404143.答案：437解析：因为通径的长2p为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a，若a2p，则焦点弦存在两条；若a2p，则焦点弦存在一条；若a2p，则焦点弦不存在由y212x知p14，则通径长2p12，因为112，所以弦长为定值1的焦点弦有2条答案：28解析：设点B(x，y)，则xy20，所以|AB|(x2)2y2(x2)2xx23x4x32274.所以当x32时，|AB|取得最小值，且|AB|min72.答案：729解析：设抛物线方程为x2ay(a0)，由x2ay，x2y10消去y，得2x2axa0.直线与抛物线有两个交点，(a)242a0，即a0或a8.设直线与抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2a2，x1x2a2，y1y212(x1x2)，|AB|(x1x2)2(y1y2)254(x1x2)254(x1x2)24x1x2145(a28a).|AB|15，145(a28a)15，即a28a480，解得a4或a12，抛物线方程为x24y或x212y.10解析：AOB是等边三角形，A、B在抛物线y2x上，顶点A，B关于抛物线的对称轴(x轴)对称，不妨设A(y0，y0)(y00)，则B(y0，y0)由|AF|y014134，解得y03，y03，AOB的边长|AB|2y023，AOB的面积为12(23)23233.11解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)由已知可得直线的方程为y23(x2)，即x32y2，由y24x，x32y2得y26y80.由根与系数的关系可得y1y26，y1y28，x1x232(y1y2)45，x1x2(y1y2)2164，F(1,0)，FMFN(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y245188，故选D.答案：D12解析：方法一设直线l的方程为xmy1(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由xmy1，y24x，消去x整理得y24my40，由根与系数关系得y1y24m，y1y24，则x1x2m(y1y2)24m22，所以Q(2m21,2m)由F(1,0)及|FQ|2知，(2m)2(2m211)22，解得m21，故直线l的斜率等于1(此时直线AB与抛物线相切，为满足题意的极限情况)方法二注意到|FQ|2，正好是抛物线通径长的一半，所以点Q为通径的一个端点，其坐标为(1,2)或(1，2)，这时A，B，Q三点重合，直线l的斜率为1.答案：113解析：设直线l：y32xt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F34，0，故|AF|BF|x1x232.又|AF|BF|4，所以x1x252.由y32xt，y23x可得9x212(t1)x4t20，则x1x212(t1)9.从而12(t1)952，得t78.所以l的方程为y32x78.(2)由AP3PB可得y13y2.由y32xt，y23x可得y22y2t0，所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x213.故|AB|4133.14解析：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|y，由题意知|PM|PN|12， x2y122y12，化简得x22y.故点P的轨迹方程为x22y.(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立ykx1，x22y，消去y化简得x22kx20，则x1x22k，x1x22.|AB|1k2(x1x2)24x1x21k24k2826，k43k240，又k20，k21，k1.
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