直线倾角与斜率

必修2 课题：直线的倾斜角与斜率一、 内容和内容解析本节是解析几何第一课时。解析几何的基本思想和方法在这一节中都得到适当的体现，教学内容有倾斜角、斜率的概念，还包含了坐标法、数形结合思想等。直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。本课涉及两个概念倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。综上，从解析几何的基本方法坐标法的基本思想考虑，斜率概念是本课时的核心概念。二、目标和目标解析（1）、理解直线的倾斜角和斜率的定义；掌握斜率公式，并会求直线的倾斜角和斜率.（2）、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力。（3）、帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣。教学重点：使学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法；理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。教学难点：直角坐标系下刻画直线的几何要素的认识倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法斜率概念本质的认识。三、教学、与学习方法教法上本着“教是为了不教”的教学思想，主要采用自学、阅读、问题探究式教学与学习方法。通过鼓励学生阅读课本，引导学生捕捉数学问题并解决问题，让学生自主探索与合作交流相结合，使学生从懂到会到悟，提高解决问题的能力。同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率。四、教学过程设计知识背景在平面几何里，我们直接依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。现在我们采用另一种研究方法：坐标法。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。本章首先在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离等。解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。本课时我们将研究最基础的知识直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。（设计意图：使学生了解学习的新内容的特点及意义。）环节一：展示自学阅读名言（设计意图：通过声情并茂的激励语，鼓励学生认真阅读，大胆尝试！）环节二：自学、阅读、思考指导学生自学、阅读教材第90页-93页思考问题：1.通过自学了解到有哪些概念？2. 能否谈谈你对这些概念是如何理解的？3.发现哪些问题？能否尝试解决？（设计意图：初步尝试阅读方式，提出粗放问题，使学生学会通过自学阅读获取知识信息，明确本部分内容的重点，加深对概念的理解）环节三：概念形成（一） 倾斜角概念的形成问题1 平面几何中，确定直线的条件是什么？对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？ （设计意图：引导学生复习初中学过的相关知识，寻找本课时学习内容的固着点、生长点。）问题2 直线的倾斜角是如何定义的？学生给出直线的倾斜角的定义，指出倾斜角的意义llOyx图2：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角图2中直线l的倾斜角为锐角，直线l的倾斜角为钝角。当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0o。这个定义也可这样给出：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的最小正角叫做直线l的倾斜角当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0o，因此直线的倾斜角的取值范围为0o180o 启发性讲解：（借助于信息技术演示）可以发现，过一个点的直线有无数条，再借助坐标轴，给定直线与坐标轴的交角，那么直线就唯一确定了。一般的，我们以水平线x轴为基准，这也符合我们日常表示物体倾斜程度的习惯。因此我们lOyx图1约定图1中的角表示直线的倾斜程度，把它叫做直线的倾斜角。你能指出图中直线的倾斜角吗？问题3：由定义，倾斜角的范围是什么？思考：1.是否平面内每一条直线都有一个确定的倾斜角？2倾斜程度相同的直线，其倾斜角有何关系？3倾斜程度不同的直线，其倾斜角有何关系？4平面内任何一条直线是否都有倾斜角？ 倾斜角的意义：平面内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不等。因此，直线的倾斜角表示平面内一条直线的倾斜程度。确定直线位置的的几何要素：直线上一点以及他的倾斜角，二者缺一不可。（设计意图：研究的重点是定义的形成，通过这个问题引导学生研究所有直线与其倾斜角的关系，将定义具体化，全面化，同时得到倾斜角的意义。）（二）斜率概念的形成问题4：直线的斜率是如何定义的？定义：倾斜角不是的直线，它的正切叫做这条直线的斜率记作 ，即 。当倾斜角时，直线的斜率不存在。思考：1.直线的斜率能否反映直线的倾斜程度？ 2.是否所有的直线都有斜率？选取一些数据如倾斜角为：30 o，150 o，60 o，120 o等，计算相应直线的斜率。并分析直线的倾斜角不同时，直线的斜率取值是否也不同，在此基础上总结斜率的意义。（提示：当为锐角时，tan（180 o-）=-tan。）倾斜角是90 o的直线没有斜率；倾斜角不是90 o的直线都有斜率；倾斜角不同，直线的斜率也不同。斜率大于0的直线的倾斜角为锐角，并且斜率越大倾斜角越大；斜率小于0的直线的倾斜角为钝角，并且斜率越小倾斜角越大。因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。（设计意图：引导学生通过有代表性的具体实例的分析，利用“提示”中的知识，结合初中学过的正切值，了解斜率取值的特点，渗透分类讨论点思想总结出斜率的意义。）（三）直线斜率的坐标计算法确定直线的两个条件点和倾斜角（或斜率）中的点可以用坐标表示，倾斜角已经代数化为斜率。在引言中已经谈到，解析几何的基本方法就是坐标法，因此要利用倾斜角和斜率对直线进行进一步的代数化的研究必须建立斜率的坐标表示方法。问题5：根据斜率定义的过程，你能否将斜率坐标化？原问题转化为：已知直线l上两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) （其中x1x2）的坐标，如何求出直线P1 P2的斜率k？（设计意图：逐步实践坐标法。）分析：解决这个问题需要分类求解，首先是对于特殊直线，与x轴垂直或平行（重合）的直线进行分析求解。对于其他直线分类的依据是两点在直线上位置以及直线的倾斜角是锐角还是钝角。所以二级分类共得到四种不同的情况，如图4所示。分类求解。解决的具体思路是：先就图4（1）求解，再变式为图4（2），比较异同求解；之后就图4（3）求解，再变式为图4（4），类比求解。OP1P2yxQ(1)OP1P2yxQ(3)OP21P1yxQ(2)OP2P1yxQ(4) 图4解：若直线的方向向上时，当为锐角时，在中，当为钝角时，在中，结果：综上所述，我们得到经过两点的直线的斜率公式是：。思考：1.上述公式的适用范围是什么？2.与所取的点的坐标是否有有关，与所取点的先后顺序是否有关？（设计意图：辨析公式。）问题6：关于斜率，你还有其它认识吗?（设计意图：加强知识间的联系，深化对斜率的认识）环节四：应用理解例1如图5，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。yABxOC 图5（设计意图：巩固本课时所学的基本知识。）例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。（设计意图：通过逆向思维，进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用和数形结合思想。）练习1.判断正误：（1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （2）直线的倾斜角越大，斜率也越大 （3）平行于x轴的直线的倾斜角是或 2. 如图所示，直线的斜率分别为，则：（ ） D环节五：归纳小结问题7：通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些困难？可以从知识，方法，数学思想，经验等方面谈谈。知识方面：倾斜角的定义，斜率的定义和利用坐标求斜率的公式及其适用范围；方法：坐标法；数学思想：数形结合，分类讨论，化归等数学思想；经验：今天所学的知识都是源于已有的知识经验，倾斜角是角概念基础上学的，斜率是在坡度、单调性、平均速度概念基础上进一步坐标化得到的。所以在学习过程中要注意知识间的联系。环节六课后作业练习1 完成教材3.1.1之后的练习，写在书上即可。练习2 习题3.1A组15题。写在作业本上（设计意图：通过灵活应用达到理解本课时所学内容的目的。）