全国通用高考数学二轮复习第二篇熟练规范中档大题保高分第27练坐标系与参数方程练习文

第27练坐标系与参数方程明考情坐标系与参数方程是高考必考题，以选做题形式出现，基础性知识考查为主，中低档难度.知考向1.极坐标与直角坐标的互化.2.参数方程与普通方程的互化.3.极坐标与参数方程的综合应用.考点一极坐标与直角坐标的互化要点重组把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则1.已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.2.已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为C，点P的极坐标为，求CP的长.解由4cos ，得24cos ，即x2y24x，即(x2)2y24，圆心C(2，0)，又由点P的极坐标为，可得点P的直角坐标为(2，2)，CP2.3.在极坐标系中，曲线C1：(cos sin )1与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，求a的值.解(cos sin )1，即cos sin 1对应的普通方程为xy10，a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2，得a.4.在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos3和sin28cos ，直线l与曲线C交于点A，B，求线段AB的长.解coscos cos sin sin cos sin 3，直线l对应的直角坐标方程为xy6.又sin28cos ，2sin28cos ，曲线C对应的直角坐标方程是y28x.解方程组得或所以A(2，4)，B(18，12)，所以AB16.即线段AB的长为16.考点二参数方程与普通方程的互化要点重组常见曲线的参数方程(1)过定点P(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数).(2)圆心在P(x0，y0)，半径等于r的圆的参数方程为(为参数).(3)椭圆1的参数方程为(为参数).(4)抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数).方法技巧参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制.5.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，直线l经过点P(1，2)，倾斜角.(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值.解(1)圆C的标准方程为x2y216.直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数).(2)把直线l的参数方程代入x2y216，得2216，t2(2)t110.所以t1t211，即|PA|PB|11.6.已知椭圆C：1，直线l：(t为参数).(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标.解(1)椭圆C的参数方程为(为参数)，直线l的普通方程为xy90.(2)设P(2cos ，sin )，则|AP|2cos ，点P到直线l的距离d.由|AP|d，得3sin 4cos 5，又sin2cos2 1，得sin ，cos .故P.7.(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数).设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.解直线l的方程化为普通方程为xy0，椭圆C的方程化为普通方程为x21.联立方程组解得或A(1，0)，B.故AB.8.在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，曲线C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，).所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.考点三极坐标与参数方程的综合应用方法技巧解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解.9.(2017全国)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，M为l3与C的交点，求M的极径.解(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m，得l2的普通方程l2：y(x2).设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)，所以C的普通方程为x2y24(y0).(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)，联立得cos sin 2(cos sin ).故tan ，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4，得25，所以l3与C的交点M的极径为.10.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为24cos 30，0，2.(1)求C1的直角坐标方程；(2)曲线C2的参数方程为(t为参数)，求C1与C2的公共点的极坐标.解(1)把2x2y2，xcos 代入曲线C1的极坐标方程24cos 30，0，2，可得x2y24x30，故C1的直角坐标方程为(x2)2y21.(2)由曲线C2的参数方程为(t为参数)，可知此直线经过原点，倾斜角为，因此C2的极坐标方程为或(0).将代入C1的极坐标方程，可得2230，解得；将代入C1的极坐标方程，可得2230，解得，舍去.故C1与C2的公共点的极坐标为.11.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(1，0)，B，若A，B都在曲线C1上，求的值.解(1)因为C1的参数方程为(为参数)，所以C1的普通方程为y21.由题意知曲线C2的极坐标方程为2acos (a为半径)，将D代入，得22a，所以a2.所以圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，所以C2的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)曲线C1的极坐标方程为2sin21.即2.所以，.所以.12.(2017全国)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.解(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标是(3，0)，.(2)直线l的普通方程是x4y4a0，故C上的点(3cos ，sin )到l距离d.当a4时，d的最大值为 .由题设得，所以a8；当a0)，M的极坐标为(1，)(10)，由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0).(2)设点B的极坐标为(B，)(B0).由题设知|OA|2，B4cos .于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 4cos |sin 2cos 2|22.当2即时，S取得最大值2，所以OAB面积的最大值为2.5.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：26cos 10sin 90.(1)将曲线C1化成普通方程，将曲线C2化成参数方程；(2)判断曲线C1和曲线C2的位置关系.解(1)(t为参数)，tx4，代入y52t，得y52(x4)，即y2x3，曲线C1的普通方程是y2x3.将，cos x，sin y代入曲线C2的方程26cos 10sin 90，得x2y26x10y90，即(x3)2(y5)225.设x35cos ，y55sin 得曲线C2的参数方程为(为参数).(2)由(1)知，曲线C1是经过点P(4，5)的直线，曲线C2是以O(3，5)为圆心，5为半径的圆.|PO|15，点P(4，5)在曲线C2内，曲线C1和曲线C2相交.