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第四章 导数的应用问题洛必塔法则、函数的性质和图像1、认识中值定理、洛必塔法则2、基本掌握用导数研究函数的性质和绘制函数的图像的方法3、掌握利用洛必达法则求极限的方法4、了解业余数学家费马的事迹及其对数学的贡献1、拉格朗日中值定理2、洛必塔法则求极限的方法3、函数的极大值和最值教学目标教学重点教学难点：1、用导数研究函数的性质2、利用导数绘制函数的图像教学时数：8学时教学内容1联结局部与整体的纽带中值定理2计算不定式极限的一般方法洛必达法则3用导数研究函数的性质单调性、极值和 最大最小值业余数学家之王费马1 联结局部与整体的纽带中值定理 中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系，因而称为中值定理。中值定理既是用微分学解决实际问题的理论基础，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型，因而也称为微分基本定理。1.1费马定理1.1.1函数的极值 设函数 在点 的某邻域内有定义,如果对于该领域内任意异于 的 值,都有:)(xfy 0 x0 xx)()(0 xfxf)()(0 xfxf或罗尔罗尔(Rolle)定理定理 若函数若函数)(xf在在续，续，在开区间在开区间),(ba内可导，内可导，且在区间端点的函数值且在区间端点的函数值相等，相等，即即),()(bfaf 则在则在),(ba内至少有一点内至少有一点),(ba 使使.0)(f,ba上连上连闭区间闭区间例如例如，).1)(3(32)(2 xxxxxf在在3,1 上连续，上连续，在在)3,1(上可导，上可导，且且,0)3()1(ff),1(2)(xxf取取),3,1(1(1 则有则有.0)(f1.1费马定理 如果函数在点处有极值且在处可导，则必有0()0fx罗尔罗尔(Rolle)定理定理 若函数若函数)(xf在在续，续，在开区间在开区间),(ba内可导，内可导，且在区间端点的函数值且在区间端点的函数值相等，相等，即即),()(bfaf 则在则在),(ba内至少有一点内至少有一点),(ba 使使.0)(f,ba上连上连闭区间闭区间注：注：一般情形下，一般情形下，定理结论中导数函数的零点定理结论中导数函数的零点不易找到的不易找到的.罗尔定理的三个条件罗尔定理的三个条件缺一不可，缺一不可，举举举例说明举例说明是是完完罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:易见函数易见函数)(xf断断,不满足闭区间连续的条件不满足闭区间连续的条件,10,0,1|)(xxxxxf1.在闭区间在闭区间 0,1 的左端点的左端点0 x处间处间尽管尽管)(xf 在开区间在开区间(0,1)内内存在存在,且且,1)1()0(ff切线切线.但显然没有水平但显然没有水平罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:2.10,01,)(xxxxxf我们在第二章第一节中已证明过我们在第二章第一节中已证明过处是不可导的处是不可导的,因此不满足在开区间可导的条件因此不满足在开区间可导的条件,虽然虽然)(xf在在1,1 内是连续的内是连续的,且有且有),1()1(ff 但是没有水平切线但是没有水平切线.)(xf在在0 x函数函数罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:3.,)(xxf 1,0 x函数函数)(xf虽然满足在闭虽然满足在闭区间区间0,1上连续上连续,在开区在开区间间(0,1)内可导的条件内可导的条件,但但),1()0(ff 显然也没有水平切线显然也没有水平切线.完完1.2拉格朗日中值定理)()()(fabafbf),(ba 设函数 满足要求:)(xfy(1)在闭区间a,b上连续(2)在开区间(a,b)内可导那么在开区间(a,b)内至少存在一点，使得拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理注注:拉格朗日公式拉格朗日公式的增量的增量精确地表达了函数在一个区间上精确地表达了函数在一个区间上与函数在该区间内某点处的导数之间的关系与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.推论 如果函数 在区间（a,b）内的导数恒为零，那么 是区间（a,b）内的常数函数。)(xf)(xf推论推论1如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数恒为零，上的导数恒为零，那么那么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数.证证 在区间在区间I上任取两点上任取两点),(,2121xxxx 在区间在区间,21xx上上得得).()()()(212121xxxxfxfxf 由假设由假设,0)(f于是于是),()(21xfxf 再由再由21,xx的任意性，的任意性，)(xf知知在区间在区间I上上的函数值都相等，的函数值都相等，即即)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数.应用拉格朗日中值定理，应用拉格朗日中值定理，任意点处任意点处完完柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理闭区间闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且且)(xg 在在),(ba内每一点处均不为零内每一点处均不为零,有一点有一点),(ba 使得使得)()()()()()(gfbgagbfaf 这是推导洛必达法则的理论基础这是推导洛必达法则的理论基础如果函数如果函数)(xf及及)(xg在在那么在那么在),(ba内至少内至少2 计算不定式极限的一般方法洛必塔法则 本节将利用导数作工具，给出计算两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的不定式的极限的一般方法，即洛必塔法则。洛必达法则洛必达法则若当若当ax(或或)x时时,两个函数两个函数)(xf与与)(xg都趋于零或都趋于无穷大都趋于零或都趋于无穷大,则极限则极限)()(lim)(xgxfxax 称为称为00或或 型型未定式未定式.例如例如,xxxsinlim0);00(20cos1limxx);00(bxaxxsinlnsinlnlim0).(定理定理 设设(1)函数函数)(xf及及)(xg都趋于都趋于零零;(2)(xfax 时时,当当a的某领域内的某领域内(点点a本身可除外本身可除外),在点在点定理1:如果函数 和 满足:2.1两个基本类型不定式,0)(,)()()2(xgxgxf且存在和1.1.1 型不定式)(xf)(xg,0)(,0)(,)1(xgxfxax时或当),()()(lim)3(或为无穷大存在极限xgxf那么)()(lim)()(limxgxfxgxf00洛必达法则洛必达法则注注:1.上述定理仍然成立上述定理仍然成立;x时时,当当2.也有与上述也有与上述定理完全类似的结论定理完全类似的结论:我们把这种在一定条件下我们把这种在一定条件下导导法则法则.型未定式型未定式ax(或或),x对对通过对分子分母分别求通过对分子分母分别求再求极限来确定未定式的值的方法再求极限来确定未定式的值的方法称为称为洛必达洛必达完完例1 用洛必塔法则证明公式:1sinlim0 xxx11coslimsinlim00 xxxxx证：例220cos1limxxx求解：212coslim2sinlimcos1lim0020 xxxxxxxx例3 求xxxxx33123limxxxxx33123lim解：0201333lim221xxx,0)(,)()()2(xgxgxf且存在和定理2:如果函数 和 满足:)(xf)(xg,)(,)(,)1(xgxfxax时或当),()()(lim)3(或为无穷大存在极限xgxf那么)()(lim)()(limxgxfxgxf1.1.2 型不定式例4 求).(lnlim Nnxxnx解：,lnnxx，x时当属于型不定式，依定理2 有.01lim1limlnlim1nxnxnxnxnxxxxxxx1arctan2lim例5 求解：,lnnxx，x时当分式为 型不定式。所以当00，x时依定理1可得.1lim111lim2222xxxxxx原式化成了型不定式，运用定理2得.11lim22limxxxx原式例例6解解求求.xxxeexxxsin2lim0 xxxeexxxsin2lim0 xeexxxcos12lim0 xeexxxsinlim0 xeexxxcoslim0 .2 完完例例7 7解解求求)00(1arctan2lim型型.xxx xxx1arctan2lim 1 22111limxxx 221limxxx 注注:若求若求，为自然数为自然数)(1arctan2limnnnn 则可利用则可利用上面求出的上面求出的函数极限函数极限,得得11arctan2lim nnn 完完例例8解解求求.xxxlncotlnlim0 xxxlncotlnlim0 xxxx1)sin1(cot1lim20 xxxxcossinlim0 xxxxxcos1limsinlim00.1 完完例例9解解求求)()0(lnlim .nxxnx原式原式11lim nxnxxnxnx1lim.0 例例10解解求求 .limxnxex.为正整数，为正整数，)0(n反复应用洛必达法则反复应用洛必达法则n次次,得得原式原式xnxenx 1lim xnxexnn 22)1(lim xnxen !lim.0 注注:对数函数对数函数、xln幂函数幂函数、nx指数函数指数函数)0(xe均为均为当当 x时的时的无穷大无穷大,但它们增大的速度很不但它们增大的速度很不一样一样,其其增大速度比较增大速度比较:对数函数对数函数幂函数幂函数指数函数指数函数.完完例例11解解求求.)21ln()cos1(3sin3lim0 xxxxx 当当0 x时时,221cos1xx,xx2)21ln(故故)21ln()cos1(3sin3lim0 xxxxx 303sin3limxxxx 2033cos33limxxx xxx23sin3lim0.29 完完例例12解解求求)0(lim2 .xxex对于对于)0(型型,可将乘积化为可将乘积化为除的形式除的形式,即化为即化为00或或 型的未定式来型的未定式来计算计算.xxex2lim 2limxexx xexx2lim 2limxxe.完完例例13求求)()tan(seclim2 .xxx 解解可利用通分化为可利用通分化为00型的未定型的未定式式对于对于 型型,来来计算计算.)tan(seclim2xxx )cossincos1(lim2xxxx xxxcossin1lim2 xxxsincoslim2 .010 完完例例14求求)0(lim00.xxx 解解xxxxxexln00limlim xxxelnlim0 xxxe1lnlim0 2011limxxxe 0e.1 00,1,0 型型步骤步骤 0010取对数取对数 ln01ln0ln0.0 完完3用导数研究函数的性质单调性、极值和最值 我们已经学会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的极值以及函数的最大值和最小值。但是这些方法使用范围狭小，并且有些需借助某些特殊技巧，因而不具有一般性。本节将以导数为工具，介绍解决上述几个问题的既简便又具有一般性的方法。3.1函数的单调性定理：设函数 在区间（a,b）内可导，则该函数在区间（a,b）内单调增加（单调减少）的充要条件是：)(xfy),(),0)(0)(baxxfxf处成立只在个别点而xxf0)(单调区间的求法单调区间的求法问题问题:如何确定函数在定义域内各部分区间函数如何确定函数在定义域内各部分区间函数的单调性的单调性.定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.注意注意:导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,均可能是单调均可能是单调区间的分界点区间的分界点.方法方法:用方程用方程0)(xf的根的根来划分函数来划分函数)(xf的定义区间的定义区间,然后判断区间内导然后判断区间内导数的符号数的符号.)(xf不存在的点不存在的点及及完完例1 求函数4)1()(2 xxf 的单调区间解：函数 的定义域是)(xf),(由0)1(2)(xxf由得驻点1当0)(xf时，1x当0)(xf时，1x所以函数 的单调减少区间是)(xf),(单调增加区间是).,1(若函数 在区间（a,b）内的导数为正(或为负),即推论)(xfy),0)(0)(xfxf或则该函数在区间（a,b）内单调增加（或单调减少）。函数极值的定义函数极值的定义定义定义内的一个点内的一个点.对于该邻域内的对于该邻域内的设函数设函数在区间在区间内有定义内有定义,)(xf),(ba如果存在着点如果存在着点 的一个邻域的一个邻域,0 x任何点任何点,x除了点除了点 外外,0 x)()(0 xfxf 均成立均成立,称称)(0 xf是函数是函数)(xf的一个的一个极大值极大值;就就对于该邻域内的对于该邻域内的如果存在着点如果存在着点 的一个邻域的一个邻域,0 x任何点任何点,x除了点除了点 外外,0 x)()(0 xfxf 均成立均成立,称称)(0 xf是函数是函数)(xf的一个的一个极小值极小值;就就函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取使函数取得得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.完完是是),(ba0 x函数极值的求法函数极值的求法定理定理1(必要条件必要条件)设设)(xf在点在点0 x处可导处可导,取得极值取得极值,则则.0)(0 xf定义定义使导数为零的点使导数为零的点(即方程即方程 的实根的实根)0)(xf且在且在0 x处处)(xf叫做函数叫做函数 的的驻点驻点.注注:可导函数可导函数 的极值点必定是它的驻点的极值点必定是它的驻点,)(xf但函但函数的驻点却不一定是极值点数的驻点却不一定是极值点.例如例如,3xy ,0|0 xy但但 不是极值点不是极值点.0 x定理定理2(第一充分条件第一充分条件)邻域内连续并且可导邻域内连续并且可导设函数设函数)(xf在点在点0 x的某个的某个)(0 xf (导数导数 也可以不存在也可以不存在),函数极值的求法函数极值的求法定理定理2(第一充分条件第一充分条件)邻域内连续并且可导邻域内连续并且可导设函数设函数)(xf在点在点0 x的某个的某个)(0 xf (导数导数 也可以不存在也可以不存在),(1)邻域内邻域内,0)(xf在点在点0 x的右的右则则)(xf在在0 x处取得处取得极大值极大值;(2)邻域内邻域内,0)(xf在点在点0 x的右的右则则)(xf在在0 x处取得处取得极小值极小值;(3)(xf 不变号不变号,则则)(xf在在 处没有处没有极值极值.0 x0 x;0)(xf如果在点如果在点 的左邻域内的左邻域内0 x;0)(xf如果在点如果在点 的左邻域内的左邻域内0 x如果在点如果在点 的邻域内的邻域内,证证 由极值的定义和定理的条件即可推得结果由极值的定义和定理的条件即可推得结果.综上所述综上所述,可将求函数极值的步骤总结如下可将求函数极值的步骤总结如下:函数极值的求法函数极值的求法证证 由极值的定义和定理的条件即可推得结果由极值的定义和定理的条件即可推得结果.综上所述综上所述,可将求函数极值的步骤总结如下可将求函数极值的步骤总结如下:(2)(1)(3)确定极值确定极值点点;(4)完完);(xf 求导数求导数)(xf 点点;kx及使及使不存在的不存在的求驻点求驻点,)(xf kx检查检查 在在 左右的正负号左右的正负号,求出函数极值求出函数极值.（1）在点 的邻域内可导；判别法则：设函数 满足3.2函数的极值)(xfy 0 x（2）,0)(0 xf那么(1)若在 左侧附近 ，在 右侧附近 ，则 为极大值；0 x0)(xf0 x0)(xf)(0 xf(2)若在 左侧附近 ，在 右侧附近 ，则 为极小值；0 x0)(xf0 x0)(xf)(0 xf(3)若在 左右两侧 同号，则 不是极值；0 x)(0 xf)(xf例例2 求出函数求出函数593)(23 xxxxf的极值的极值.解解)3)(1(3963)(2 xxxxxf令令,0)(xf得驻点得驻点.3,121 xx列表讨论如下：列表讨论如下：所以所以,极大值极大值,10)1(f极小值极小值.22)3(fx)(xf )(xf极小值极小值极大值极大值)1,()3,1(3),3(1 完完 00例3 求函数：)31()1()(3xxxf的极值点和极值解：由2)1(4)(xxxf得驻点0,021xx;0)(0 x，fx时当01x为极小点,极小值为31)0(f;0)(10 x，fx时当;0)(1x，fx时当12x不是极小值。（1）在点 存在二阶导数；设函数 满足0 x（2）点 是驻点，即,0)(0 xf0 x)(xfy 那么判别法则(1)若 ，则 为极大值；0)(0 xf)(0 xf(2)若 ，则 为极小值；0)(0 xf)(0 xf(3)若 ，则不能判别 是否为极值，改用判别法则)(0 xf0)(0 xf例4 求函数：xxxf3)(3的极值点和极值解：由,012)1(,012)1(ff11x根据判别法则可知，12x是函数的极大点，极大值为033)(22xxxf得驻点1,121xx由)3(6)(3xxxf得;4)1(f是函数的极小点，极小值为;4)1(f例例5 求函数求函数1)1()(32 xxf的极值的极值.解解由由,0)1(6)(22 xxxf得驻点得驻点,11 x).15)(1(6)(22 xxxf因因,06)(xf值值,极小值为极小值为.0)0(f因因,0)1()1(ff故用定理故用定理3无法判别无法判别.考察一阶导数考察一阶导数 在驻点在驻点)(xf 及及 左右邻近的符号左右邻近的符号:11 x13 x.1,032 xx故故 在在)(xf0 x处取得极小处取得极小当当 取取 左侧邻近的值时左侧邻近的值时,x1;0)(xf当当 取取 右侧邻近的值时右侧邻近的值时,x1;0)(xf例例5 求函数求函数1)1()(32 xxf的极值的极值.解解 考察一阶导数考察一阶导数 在驻点在驻点)(xf 左右邻近的符号左右邻近的符号:11 x13 x当当 取取 左侧邻近的值时左侧邻近的值时,x1;0)(xf当当 取取 右侧邻近的值时右侧邻近的值时,x1;0)(xf及及因因 的符号没有改变的符号没有改变,)(xf 值值.同理同理,也没有极值也没有极值.)(xf1 x在在处处)(xf1 x故故在在处没有极处没有极如图所示如图所示.完完3.3函数的最大值和最小值定义：若函数 在其定义域 a,b 上的函数值满足：)(xf,)(Mxfm 则m和M分别称为函数 的最小值和最大值。)(xf最大值最小值的求法最大值最小值的求法若函数若函数 在在 上连续上连续,)(xfba,除个别点外处处可导除个别点外处处可导,并且至多有有限个导数为零的点并且至多有有限个导数为零的点,上的最大值上的最大值与最小值存在与最小值存在.则则 在在)(xf,ba步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点、求区间端点、驻点及不可导点的函数值驻点及不可导点的函数值,比较大小比较大小,哪个大哪个就是最大值哪个大哪个就是最大值,小哪个小哪个就是最小值就是最小值.哪个哪个注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是则这个极值就是(最大值或最小值最大值或最小值).最值最值完完例例6求求14123223 xxxy的在的在 上上4,3 的最大值与最小值的最大值与最小值.解解),1)(2(6)(xxxf解方程解方程,0)(xf得得.1,221 xx计算计算;23)3(f;34)2(f;7)1(f;142)4(f最大值最大值,142)4(f最小值最小值;7)1(f比较得比较得完完例7小学生接受新概念时接受能力函数为：.30,0,436.21.0)(2ttttG问t为何值时学生学习兴趣激增或减退？何时学习兴趣最大？解：),13(2.06.22.0)(tttG由0)(tG得唯一驻点13t;)(,0)(13单调增加时当tGt，Gt;)(,0)(13单调减少时当tGt，Gt可见第13分钟时小学生兴趣最大。要用铁皮做一个容积为V的圆柱形牛奶筒，问底圆半径为何值时用料最省？例8解 设奶筒表面积为S，半径为r，高为h，所以.22)(2rhrrSS得代入上式消去得由,22hrVhhrV).,0(,22)(2rrVrrS322,024)(VrrVrrS得令.2,044)(33处取极小值在得VrSrVrS业余数学家之王费马 费马(1601-1665)是一位对我们有教益的法国数学家，出身于皮革之家，求学期间没有留下值得传诵的奇闻轶事，30岁时获得法学学士学位，毕业后担任律师。费马的社会工作非常繁忙，但他酷爱数学，利用全部业余时间，从事数学研究。费马在笛卡尔几何学发表之前，就于1629年发现了解析几何的基本原理，建立了坐标法，是解析几何的发明人之一。业余数学家之王费马 费马善于思考，特别善于猜想，但不善于动手。他有超人的直觉能力，提出了数论中的许多猜想，人们也称费马是“猜想数学家”。费马性情谦和内向，好静成癖，无意构制鸿篇巨著，更无意抛头露面，付梓刊印。
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