概率论与数理统计第4讲.ppt

此幻灯片可在网址http:/上下载,第4讲,概率论与数理统计讲义,第四节 独立性,一, 独立性1. 两个事件的独立性设A,B是试验E的二事件, P(A)0, 一般说来, 条件概率P(B|A)P(B), 即A的发生对于B发生的概率是有影响的. 实际问题也有可能出现P(B|A)=P(B)的情形.,例1 袋中有6个白球, 2个黑球, 从中有放回地抽取两次, 每次取一球, 记A=第一次取到白球, B=第二次取到白球, 则有,因此P(B|A)=P(B). 类似地可算出,一般地, 设A与B是试验E的两个事件, 且P(A)0, 若P(B|A)=P(B), 则认为B与A独立. 由条件概率的定义,可得P(AB)=P(A)P(B)(1) 我们可以用(1)式作为事件的独立性的定义.,定义1 设A,B是二事件, 如果满足等式P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A,B相互独立, 简称A,B独立.当P(A)0时, 事件A,B相互独立的充要条件为P(B|A)=P(B); 若P(A)=0, 则事件A与任一事件B相互独立.,独立事件往往跟独立试验有关, 就是说, 有两个试验设计得互不牵扯, 相互无关, 则由这两个试验拼成的一个试验中, 各个试验各自产生的事件相互独立,例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次, 设甲射中目标的概率为0.5, 乙射中目标的概率为0.6, 求目标被击中的概率.解 设A,B分别表示甲,乙击中目标, 则AB表示目标被击中, 由于A,B独立, 故P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.6-0.50.6=0.8,利用定理1, 可得例2的另一种解法:,应当指出的是, 事件的独立性与事件的互不相容是完全不同的两个概念. 事实上, 由定义可以证明, 在P(A)0, P(B)0的前提下, 事件A,B相互独立与事件A,B互不相容是不能同时成立的.,2. 多个事件的独立性下面将独立性的概念推广到三个及其以上的事件的情形定义2 设A1,A2,A3是三个事件, 如果满足等式,则称事件A1,A2,A3相互独立.,一般, 设A1,A2,An是n(n2)个事件, 如果对其中任意2个, 任意3个,任意n个事件的积事件的概率, 都等于各事件的概率之积, 则称事件A1,A2,An相互独立.另外, 称无穷多个事件A1,A2,An,相互独立, 是指其中任意有限多个事件都相互独立.与两个事件的情形类似, 在实际应用时, 往往根据问题的实际意义来判断多个事件的独立性. 如果各个事件是相互独立的, 则许多概率问题的计算可以大为简化.,利用数学的归纳法, 可把定理1推广至有限多个事件的情形:定理2 如果n(n2)个事件A1,A2,An相互独立, 则将其中任何m(1mn)个事件改为相应的对立事件, 形成的n个新的事件仍相互独立.,定理3 若A1,A2,An是n个相互独立的事件, 则这n个事件中至少有一个发生的概率为,独立性的概念在理论上的作用我们将逐渐会看到. 归纳前面的讨论, 现在至少我们看到它可以简化概率的计算:(1) 计算n个相互独立的事件A1,A2,An的积事件的概率, 可简化为P(A,A2An)=P(A1)P(A2)P(An)(2) 计算n个相互独立的事件A1,A2,An的和事件的概率, 可简化为,除了总起来讲相互独立外, 以后还要用到A1,A2,.,An两两相互独立的概念. 这就是说, A1,A2,.,An中任意两个都是相互独立的. A1,A2,.,An总起来讲相互独立当然保证它们两两相互独立; 但A1,A2,.,An两两相互独立并不保证它们总起来讲相互独立.,二事件独立的图示,事件A:,事件B:,A,B,0.6,0.5,A,B,另一种表示办法：,事件A:,事件B:,A,0.6,0.5,综合：,A,B,三事件A，B，C相互独立的情况:(假设它们的发生概率都是0.5),A,B,C,事件A,事件B,事件C,综合起来看:,A,B,C,两两独立却不是相互独立的情况,A,B,事件A,事件B,事件C,C,综合起来看,A,B,C并不相互独立:,A,B,C,另一种两两独立却不是相互独立的情况,A,B,事件A,事件B,事件C,C,C,综合起来看,A,B,C并不相互独立:,A,B,C,C,例3(保险赔付) 设有n个人向保险公司购买人身意外保险(保险期为1年), 假定投保人在一年内发生意外的概率为0.01,(1) 求保险公司赔付的概率:,例3(保险赔付) 设有n个人向保险公司购买人身意外保险(保险期为1年), 假定投保人在一年内发生意外的概率为0.01,(1) 求保险公司赔付的概率;解 (1) 记Ai=第i个投保人出意外(i=1,2,n), A=保险公司赔付,则由实际问题可知, A1,A2,An相互独立, 且,因此,(1) 求保险公司赔付的概率:P(A)=1-(0.99)n,注意到P(A)0.5(0.99)n0.5, 两边取对数得 nln(0.99)ln0.5, 因0.991,ln(0.99)是负数, 所以,即当投保人数n69人时, 保险公司有大于一半的概率赔付.,例4 设有电路如下图所示, 其中1,2,3,4为继电器接点, 设各继电器接点闭合与否是相互独立的, 且每一继电器接点闭合的概率均为p, 求L至R为通路的概率.,解 设Ai=第i个继电器闭合(i=1,2,3,4), A=L至R是通路, 于是 A=A1A2A3A4利用A1,A2,A3,A4的独立性, 得到P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=2p2-p4,例5 根据以往记录的数据分析, 某船只运输某种物品损坏的情况共有三种: 损坏2%(记这一事件为A1), 损坏10%(记这一事件为A2), 损坏90%(记这一事件为A3), 且P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A3)=0.05, 设物品件数很多, 取出一件后不影响后一件取的是否为好品的概率, 现从已被运输的物品中随机地取3件, 发现这三件都是好的(记这一事件为B), 试求P(A1|B).,解 在被运输的物品中, 随机取3件, 相当于在物品中抽取3次, 每次取一件, 作不放回抽样. 由于抽取一件后, 不影响后一件是否为好品的概率, 已知当A1发生时, 一件产品是好品的概率为1-2%=98%, 由独立性可知, 随机取3件, 它们都是好品的概率为0.983, 即P(B|A1)=0.983同样P(B|A2)=0.93, P(B|A3)=0.13.又P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A3)=0.05.A1A2A3构成划分, 由贝叶斯公式可得,P(B|A1)=0.983同样P(B|A2)=0.93, P(B|A3)=0.13.又P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A3)=0.05.A1A2A3构成划分, 由贝叶斯公式可得,二, 主观概率对于任一随机试验E所确定的事件A, 概率的公理化定义给出了概率P(A)所必须满足的最基本的性质. 但是, 如何去测量和理解它, 一直存在各种看法. 比如, 有从频率的角度来理解的(如我们本书中所主要采用的观点), 也有从主观信念的角度来理解的(如贝叶斯学派的主观概率), 等等. 在实际应用中, 我们认为不能把这些观点看作是绝对对立的, 而应该认为它们是相互补充, 相辅相成的.,和有些教材不一样, 我们把随机试验分成了可重复进行的和不可重复进行的两种. 对可重复进行的随机试验, 可借助于频率方法确定概率或估计概率, 并给概率以频率解释. 随着计算机技术和计算机模拟方法的发展, 这种方法在经济管理, 科学技术等方面的应用越来越普遍和广泛. 但对不可重复的随机试验, 概率的内涵和概率的测量和确定与经典的情况就有很大的差异.,在现实生活中, 不可重复的试验普遍存在. 例如, 一只飞船上天之后是否会坠毁; 医生给一个病人动手术是否会成功; 一个新产品上市后的表现如何, 等等. 这些试验都是不可重复进行的, 但是我们仍然可以讨论诸如事件A=飞船上天后不会坠毁, B=医生给一个病人动手术成功, C=新产品上市后盈利等的概率有多大. 只不过由于这时的试验不可重复进行, 这些概率已无频率解释, 也不能用频率方法来确定或估计.,对于不可重复进行的试验, 只要符合概率的公理化定义的三个基本条件, 我们就可以定义概率, 称之为主观概率, 它的确定或是依赖于经验所形成的个人信念, 或是依赖于对历史信息的提炼, 概括和应用. 例如一个国家根据自己的航天技术的水平和飞船的设计参数, 可以判断出飞船上天后坠毁的概率为1/105; 一个外科医生根据他多年的临床经验认为病人手术成功的概率为0.95; 企业经理根据多年积累的经营经验和当时的市场信息及市场走向, 可综合得出开发的新产品上市后的盈利的概率为0.75.,由此可见, 主观概率的确定虽然带有很大的个人成份, 但并不是完全的臆测, 并且主观概率在一定的条件下, 还可使用贝叶斯公式加以修正.在试验不可重复进行的情况下, 无法使用频率方法确定事件的概率, 因此, 主观概率至少是频率方法及古典方法的一种补充. 有了主观概率, 至少可以使人们在频率观点不适用时也能谈论概率, 且能使用概率统计方法解决相应的实际问题.确定主观概率的方法有很多, 下面举例说明其中一种方法.,例6 某商店经理要知道一种新品种的牛奶畅销(记为事件A)的概率是多少, 以决定是否向生产该牛奶的厂家订货及订多少. 他了解了该牛奶的质量和顾客对饮料的口味需求信息, 再基于他多年成功销售的经验, 认为事件A发生的可能性是A发生的可能性的三倍, 即P(A)=3/4.这种方法是基于对立事件的比较, 是确定主观概率的一种方法.另外,还有专家咨询法, 它可以集中多个专家的经验和智慧, 以较好地确定主观概率.,事件运算的最小项,任给n个事件A1,A2,An, 取这n个事件中的每一个,然后将其中的一些取逆, 再将这n个事件中取逆的和不取逆的事件相积得到的事件, 称为这n个事件的一个最小项. 给定n个事件可产生多个不同的最小项, 各个最小项之间是互斥的. 而这n个事件能够逻辑上构成的任何事件, 可以由若干个最小项的并构成.,例, 二事件A与B可组成四个最小项为,从图形上看, 这四个最小项代表了四个区域,A,B,0,1,2,3,而三个事件A, B, C可组成8个最小项为,这8个最小项可以和所有的3位二进制数一一对应,一般地,n个事件A1,A2,An共可组成2n个最小项, 每个最小项可以和一个n位二进制数对应, 如果此二进制数的第i位为0, 对应在此最小项中的Ai取逆, 而第j位为1对应在此最小项中的Aj不取逆. 例如, 假设n=4, 则有4个事件A1, A2, A3, A4, 则它们组成的最小项有,等等.,作业:第34页(老版第33页)开始习题1-4, 第6,7,8题,