《结构力学》详细解析.ppt

第 3 章,静定结构的受力分析,3-1 梁的内力计算的回顾,一、截面上内力符号的规定：,轴力 截面上应力沿杆轴切线方向的合力，使杆产生伸长变形为正, 画轴力图要注明正负号。,剪力 截面上应力沿杆轴法线方向的合力, 使杆微段有顺时针方向转动趋势的为正，画剪力图要注明正负号。,弯矩 截面上应力对截面形心的力矩之和, 不规定正负号。弯矩图画在杆件受拉一侧，不注符号。,二、计算截面内力的截面法, 将拟求内力的截面断开，选取外力少的部分作隔离体受力图。, 先求支座反力（悬臂结构除外）, 用隔离体平衡条件求出末知内力。（要求熟练掌握求内力的简捷方法）,轴力= 截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。,剪力= 截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面形心顺 时针转动，投影取正否则取负。,弯矩= 截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩及外力矩 产 生相同的受拉边。,截面内力算式：,画隔离体受力图应注意以下几点：,1、隔离体与其周围的约束全部切断，而以相应的约束力代替。,4、不要漏画力。受力图上的力包括荷载和约束力。,2、约束力要符合约束的性质。切断链杆，截面上加轴力；切断受弯杆，截面上加轴力、剪力和弯矩；去掉可动饺支座、固定饺支座、固定支座时分別加一个、二个、三个支座反力。,3、受力图中只画隔离体本身所受到的力，不画隔离体施加给周围的力。,5、未知力假设为正号方向，数值是代数值。巳知力按实际方向画。未知力计算得到的正负号就是实际的正负号。,三、荷载、内力之间的关系,q(x), 微分关系：, 积分关系,梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包围的面积。,梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包围的面积。,四、几种典型弯矩图和剪力图,1、集中荷载作用点 M图有一夹角，荷载向下夹角亦向下； F Q 图有一突变，荷载向下突变亦向下。,2、力偶作用点 M图有一突变，力矩为顺时针向下突变； F Q 图没有变化。,3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸； F Q 图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜,五、内力图形状特征,4.无何载区段,5.均布荷载区段,6.集中力作用处,平行轴线,斜直线,FQ = 0 区段M 图平行于轴线,M 图,备注,二次抛物线 凸向即q指向,FQ = 0 处， M达到极值,发生突变,F,出现尖点，尖点指向即F的指向。,集中力作用截面剪力无定义,7.力偶作用处,无变化,发生突变,两直线平行,m,力偶作用面弯矩无定义,3、具有定向连结的杆端剪力等于零，如无横向荷载作用，该端弯矩为零。,2、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结点无 m 作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。,图,1、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。,六、分段叠加法作弯矩图, 首先计算两端控制截面的弯矩值，并用虚线连接；, 在两控制截面弯矩值作出的虚线上，叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。,七、简易法作内力图,控制点: 端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。,基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。,利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值或利用积分关系定值。,8,1）、简支梁情况,弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合,M(x)=M(x)+M (x),竖标M，如同M、M一样 垂直杆轴AB，而不是垂直 虚线AB。！,9,2)、直杆情况,(b),因此，结构中的任意直杆段都可以采用叠加法作弯矩图，作法如下：,首先求出两杆端弯矩，连一虚线， 然后以该虚线为基线， 叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。,10,4kNm,4kNm,4kNm,2kNm,4kNm,4kNm,6kNm,4kNm,2kNm,（1）集中荷载作用下,（2）集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,（1）悬臂段分布荷载作用下,（2）跨中集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,七、简易法作内力图,控制点: 端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。,基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。,利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值或利用积分关系定值。,M 图（kN.m）,FQ 图（kN）,例：用简易作图法作图示梁的内力图。,分析,该梁为简支梁，内力控制截面为：A、C、D、F、G、B。,解：, 先计算支座反力, 求控制截面的内力值,取AC部分为隔离体，可计算得：,取GB部分为隔离体，可计算得：,叠加法作DF 段的弯矩图：确定截面D、F 的弯矩值竖标，连接虚线；在虚线中点叠加8 kNm，三点连成曲线即得。,13,D,F,16kN.m,Q图（kN）,7,36.1,H,x,CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。,均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！,M图（kN.m）,由 QH=QCqx=0 可得： xQC/q9/42.25(m) MHMC+(CH段Q图的面积） 26+92.252 36.1（kN.m),3-2 静定多跨梁,一、多跨静定梁的几何组成特性,多跨静定梁从几何组成特点看，可以区分为基本部分和附属部分。,二、分析多跨静定梁的一般步骤,对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将支座C 的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座 C 的反力反向加在基本部分AC 的C 端作为荷载，再进行基本部分AC 的受力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。,如上图所示梁，其中 AC 部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个几何不变部分，称它为基本部分；而CE 部分就需要依靠基本部分AC才能保证它的几何不变性，相对于AC 部分来说就称它为附属部分。,注意：,从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上产生内力和弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和弹性变形。,因此，多跨静定梁的内力计算顺序可根据作用于结构上的荷载的传力路线来决定。,40,40,20,50,10,20,40,50,构造关系图,FQ 图（kN）,M 图（kNm）,例3-2-3 求 x 的值，使梁正、负弯矩相等。,BD跨为基本部分，AB跨为附属部分。,解：,AB跨跨中弯矩 ME 为：,BD跨支座C负弯矩 MC 为：,令 ME = MC 得：,对于BD杆：,CD跨最大弯矩为：,3-3 静定平面桁架,桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点上时，杆件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，是最理想的一种结构形式。,1、桁架的特点组成,理想桁架：, 桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点；, 各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；, 荷载和支座反力都作用在结点上,主应力、次应力,实际桁架：,桁架的分类（按几何组成）, 简单桁架, 联合桁架, 复杂桁架,空间桁架,组成桁架的所有杆件轴线 都在同一平面内,组成桁架的杆件轴线 不在同一平面内,平面桁架,按空间形式可分为:,2-5 平面静定桁架,1、结点法,结点上各力组成平面汇交力系，其平衡条件为：, 尽量建立独立方程（一个方程只含一个未知量）；, 避免使用三角函数：, 结点受力图上，已知力按实际方向画，未知轴力先假设为拉力 （箭头背离结点）画出。,2、计算桁架内力的方法,分析时的注意事项：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,A,B,C,D,例3-5.1：试指出图示静定桁架中的轴力为零的杆件（零杆）。,例3-5.2：用结点法求图示桁架中各杆轴力。,解：,(1) 支座反力,(2) 判断零杆,FyA= FyB = 30kN () FxA=0,见图中标注。,(3)求各杆轴力,取结点隔离体顺序为：A、E、D、C。,结构对称，荷载对称，只需计算半边结构。,-67.08,-44.72,-22.36,60,60,20,0,0,结点A,（压）,结点E,0,结点D,将FNDF延伸到F结点分解为FxDF 及FyDF,结点C,2、截面法,在桁架中将待求轴力的杆件连同有关杆件切断，选受力较少的部分为隔离体，其上各力组成平面一般力系，其平衡条件为：,FN 1,D,FN2,例题5-3.4：试求(a) 图示静定桁架中CD、DI、I J 杆的轴力。,解: 求支座反力：, 由图中(b)所示隔离体受力图的平衡方程求轴力,练习3-5.1：试求图示静定桁架中1、2、3 杆的轴力。,FN 1,FN2,C,结点D：,D,支座反力：,截面-：, 截面只截断彼此不交于同一点(或不彼此平行)的三根杆件，则其中每一根杆件均为单杆。, 截面所截杆数大于3，但除某一杆外，其余各杆都交于同一点(或都彼此平行)，则此杆也是单杆。,截面单杆的概念：,上列各图中，杆1，2，3均为截面单杆。,1,1,1,1,2,3,1,2,3,1,2,3,O,截面单杆的轴力可根据截面隔离体的平衡条件直接求出。,截面单杆的性质：,1,1,FRB,。,k,F,。,k,F,特殊截面：,对于联合桁架，应首先切断联系杆。,例3-4-3 求图示静定桁架中轴力FN1、FN2、FN3、FN4 。,解： 本题为对称结构对称荷载。 零杆如图示。, 求轴力FN2。,结点C, 求轴力FN3 。,0,0,0,0,0,0,2.5FP,2.5FP,取截面 II 以左为隔离体：, 求轴力FN1、FN4 。,取截面 II 以左为隔离体：,图示为对称荷载的情况， 结点 A 在对称轴上。,下图为对称结构、对称荷载的情况， 但结点A不在对称轴上。,有关对称结构的讨论：,Fy0 FN1 FN2 = 0 Fx0 FN3 FN4,Fy0 FN1 -FN2,下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，图（c）是具有部分铰结点的刚架。,3-4 静定平面刚架,刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整体，使结构有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。,(d),刚架结构优点：, 内部有效使用空间大； 结构整体性好、刚度大； 内力分布均匀，受力合理。,1、平面刚架结构特点：, 悬臂刚架, 三铰刚架, 基附型刚架,2、常见的静定刚架类型, 简支刚架,刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。,一、求支座反力,在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。,试计算图 (a) 所示简支刚架的支座反力，并绘制、F Q 和 F N 图。,二、绘制内力图, 分段：根据荷载不连续点、结点； 定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状； 求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值； 画图：画 M 图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。F Q、F N 图要标、号；竖标大致成比例。,求出各控制截面的内力值求杆端力并画杆单元弯矩图。例如AB杆：,作AB杆段 M 图时，看作是受横向荷载和B端外力偶作用的简支梁(图C)。 画M图时，将 B 端弯矩竖标画在受拉侧，连以虚直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图，如图(d)示。,解：,求支座反力：,练习3-3.1：试计算图示简支刚架的支座反力，并绘制、F Q 和 F N 图。, 求出各控制截面的内力值画内力图,杆CD中点弯矩为：,例3-3.2 作图示平面刚架内力图。,解： 求支座反力, 求出各控制截面的内力值画内力图,杆CD中点弯矩为：,练习3-3.2 ：作图示平面刚架内力图。,FAy=30kN,FBx=1kN,FBy=2kN,解：, 支座反力, 求出各控制截面的内力值画内力图, 作M图,取右图示BDE部分为隔离体：,取CD部分为隔离体：, 作FQ 图,杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求解，本题剪力很容易用投影方程求得。,杆DE中点弯矩为：, 作FN 图,各杆轴力可以用投影方程求解。也可根据剪力图， 取各结点为隔离体，用投影方程求轴力。,-1,-30, 校核,例3-3.3: 作图(a)示三铰刚架内力图。,解： 支座反力,三铰刚架有四个支座反力，可利用三个整体平衡条件和中间铰结点C 处弯矩等于零的局部平衡条件，共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。,ql/8,由CEB部分平衡 (图b) 示：,由整体平衡：,注意：,三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键所在。,(2) 作M 图,AD杆：,(内侧受拉),(3) 作F Q、FN 图,作出剪力图和轴力图如下图示。,AD杆中点弯矩为：,例3-3.4: 作图示三铰刚架内力图。,解：,(1) 支座反力,考虑整体平衡:,由BEC部分平衡：,1.5kN,1.385kN,考虑整体平衡:,(2) 作M 图,斜杆DC中点弯矩为：,(3) 作F Q 图,斜杆可用力矩方程求剪力，竖杆、水平杆用投影方程求剪力。,对于DC杆：,对于EC杆：,竖杆AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。,剪力图见右下图：,(4) 作FN 图,各杆均用投影方程求轴力。,结点D：,结点E：,杆DC：,轴力图见下图：,例3-3.5: 作图示平面刚架内力图。,解：,ACD为附属部分， 其余为基本部分。, 支座反力,考虑刚架整体平衡：,考虑附属部分ACD：,= 8kN,= 1kN, 作M 图,M 图 （kN m）,8,8,4,取DE为隔离体：,= 12kN,= 1kN,= 24kNm,FQ图 （kN）,1,1,30,2,FN 图 （kN）, 作FQ 图,杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求解，本题剪力很容易用投影方程求得。, 作FN 图,各杆轴力可以用投影方程求解。 也可以根据剪力图， 选取各结点为隔离体，用投影方程求轴力。,3,1,16,14,2,2,1,组合结构是指结构中既有梁式杆，又有只受轴力作用的二力杆。梁式杆的任一截面有弯矩、剪力和轴力作用。在用截面法取隔离体时，不能随意切断梁式杆，可以切断二力杆，也可以拆开铰结点，如下图示。,3-5 组合结构,钢筋混凝土,型钢,钢筋混凝土,型钢,例3-5-1 作图示组合结构内力图。,解：,结构对称荷载对称。,1）求支座反力：,2）求FNDE ：取截面 II 以左为隔离体。,6kN,6kN,结点D：,3） 求梁式杆的内力M、FQ、FN 。,取FC段作隔离体：,求MF,求FC杆的剪力和轴力：,取AF段作隔离体：,M图（kNm）,0.75,0.75,0.75,C,A,F,FQ图（kN）,1.246,1.246,1.744,1.744,C,A,F,FN 图（kN）,15.16,15.2,14.95,C,A,F,14.91,4) 结构内力如下图示。,15kN,-3.5kN,15.4kN,拱 桥,3-6 三铰拱,三铰拱式结构广泛应用于实际工程建设中：桥梁、渡槽、屋架等。,三铰拱的构造特征为：杆轴通常为曲线，三个刚片（包括基础）用不在同一直线上的三个铰两两相连组成三铰拱结构。,三铰拱的受力特征为：在竖向荷载作用下，拱脚处产生水平推力；因此拱轴任一截面轴力FN 比较大，弯矩较小。,通常 在11/10之间变化， 的值对内力有很大影响。,(拉杆),(跨度),(矢高),(拱脚),(拱顶),拱有时用拉杆来承受水平推力，称为拉杆拱。,(跨度),(矢高),(拱脚),(拱顶),拱的分类：,两铰拱,无铰拱,超静定拱,三铰拱的竖向支座反力恰好等于相应简支梁竖向支座反力，水平推力FH 等于相应简支梁截面C 的弯矩 MC除以拱高 f 。,1、三铰拱的支座反力与内力,如图示三铰拱与相应简支梁。先取整体为隔离体，求竖向反力：,再取半边拱为隔离体，求水平反力：, 支座反力,推力F H 只与三个铰的位置及荷载有关，与各铰间的拱轴线形状无关，即只与高跨比 fl 有关。当荷载和拱的跨度不变时，推力F H 与拱高 f 成反比，即 f 大则F H 小，反之 f 小则F H 大。, 剪力的计算公式,正负号：使拱内侧纤维受拉的为正，反之为负。, 弯矩的计算公式,相应简支梁D截面的弯矩,取AD段为隔离体,正负号规定：同梁、刚架等, 轴力的计算公式,正负号规定：使截面受的轴力为正。,为截面D处拱轴切线的倾角（为锐角，在左半拱取正，而在右半拱取负）,三铰拱的受力特点,1）在竖向荷载作用下有水平反力。,2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多。,3）拱内有较大的轴向压力。,例3-6.1：三铰拱及其所受荷载如图示，拱的轴线为抛物线方程,试计算反力并绘制内力图。,解： 计算支座反力,0,4,8,相应水平梁,相应水平梁整体平衡：, 内力计算,以截面6为例：,以截面6为例：,相应水平梁,1.5,2.0,1.5,0.0,0.5,0.5,0.71,0.40,0.00,0.49,1.00,0.49,1.79,0.70,0.40,1.79,M 图 (kN m),F Q 图 (kN),F N 图 (kN),9.19,7.80,6.70,6.06,6.06,7.80,5.81,7.60,7.78,6.00, 绘制内力图,相应水平梁,图 (kN m),2.0,2、三较拱的压力线,三铰拱某截面 D的弯矩、剪力、轴力已求出，其合力FRD 可以确定。,由此看出，确定截面内力的问题归结为确定截面一边所有外力的合力之大小、方向及作用线的问题。,定义：三铰拱每个截面内力的合力作用点的连线，即三铰拱的压力线。, 截面D形心到FRD 作用线之距离。 FRD 作用线与截面D轴线切线的夹角。,截面的弯矩、剪力、轴力与其合力FRD 的关系按下式计算：,12,23,A,B,C,12,23,F,G,H, 确定各截面合力的大小和方向,数解,绘力多边形,射线, 确定各截面合力 的作用线,索多边形：,压力线,截面合力的大小由力多边形确定，合力作用线由压力线确定。,压力线,o,如果是分布荷载，压力线呈曲线； 如果是集中荷载，压力线呈多边形。,压力线可以描述拱的工作状况。各截面内力可利用索多边形和力多边形或用公式求得。,画压力线步骤：,过 A 作 FRA 的延长线交 FP1 于D ，过 D 作射线 12 的平行线交 FP2 于E，过 E 作射线 23 的平行线交 FP3 于 F，则 FB 必为 FRB 的作用线。,3、拱的合理轴线,在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理轴线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。,它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。令,在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁的弯矩纵标值成比例。,从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。,对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为：,压力线可以描述拱的工作状况。各截面合力 F R 若都沿拱轴切线方向作用是最理想的情况，此时各截面内只有均匀分布的正应力，拱处于轴心受压状态，如果在拱的设计中能获得上述结果，拱的经济效果将最好。,例3-6.2：设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。,解： 由式,列出简支梁的弯矩方程,拱的推力为：,所以拱的合理轴线方程为：,注 意 *合理轴线对应的是一组固定荷载。,例3-6.3：设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是园弧曲线。,拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为常数。,因 F N 为一常数，q 也为一常数，所以任一点的曲率半径 R 也是常数，即拱轴为园弧。,例3-6.4：设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设填土的容重为 ，拱所受的分布荷载为 。,qc+.f,f,x,y,y*,倒悬链线方程,静定结构的受力分析，主要是利用平衡方程计算支座反力和杆件内力。作出结构的内力图。,隔离体分析是受力分析的基础。先从结构中截取隔离体，将未知的反力和内力暴露出来，使其成为隔离体上的外力，而后应用平衡方程计算约束反力和内力。,1、隔离体的形式、约束力及独立平衡方程,3-7 隔离体方法及其截取顺序的优选,隔离体的形式：结点（铰结点、刚结点、组合结点），杆件，某部分。, 隔离体的形式, 约束力的类型,选取隔离体时，在截断约束处暴露出来的约束力成为隔离体的外力。,截断链杆有一个约束力（截面上的轴力）。,截断梁式杆（或截断简单刚结）一般有三个约束力（截面上的轴力、剪力和弯矩）。,截断可动饺支座、固定饺支座、固定支座时分別加一个、二个、三个支座反力。,截断简单铰结一般有两个约束力。, 隔离体的独立平衡方程,取铰结点为隔离体两个独立平衡方程。,取刚结点和组合结点为隔离体三个独立平衡方程。,取某部分（内部几何不变）为隔离体三个独立平衡方程。,对隔离体的平衡方程应当进行优选，使求解时尽量不解或少解联立方程。,最优情况是：每建立一个新的平衡方程，只含一个新的未知量。,2、计算的简化和隔离体截取顺序的优选,掌握了结构的受力特点，就能简化计算。, 截断链杆截面上只有轴力；截断梁式杆截面上有轴力、剪力和弯矩。, 对称结构： 在对称荷载作用下变形是对称的，其反力和内力也是对称的；在反对称荷载作用下变形是反对称的，其反力和内力也是反对称的；故只计算半边即可。, 在桁架计算中，能识别出零杆或单杆，常可使计算简化。, 三铰斜杆刚架仅受竖向荷载作用时，可利用三铰拱的内力公式计算斜杆的剪力和轴力。, 基附型结构：多跨静定梁区分为基本部分和附属部分。多跨或多层静定刚架、多跨静定桁架也可区分为基本部分和附属部分。,基附型结构应先计算附属部分，然后计算基本部分。,3-8 刚体体系的虚功原理,计算静定结构内力的另一个普遍方法 虚功原理，它等价于平衡方程。,实功和虚功：, 实功,力 在由该力引起的位移 上所作 的功称为实功。即,右图中，外力是从零开始线性增大至 ，位移也从零线性增大至 。也称为静力实功。, 虚功,力FP1 在由非该力引起的位移上所作的功叫作虚功。,右图简支梁，先加上 ，则两截面1、2 之位移分别为 、 。,然后加 ，则1、2 截面产生新的位移 和 。,实功：,虚功：,“虚”强调作功的力与位移无关。,表述：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。,两种应用:,虚设位移 虚位移原理求静定结构的反力和内力。,虚设力系 虚力原理求刚体体系的位移。,1、虚功原理,第一种应用：虚设位移，求未知力。,解：扛杆是一个可变体系，可绕 C 点自由转动，如图(b)示。把这个刚体位移取作虚位移，可得出虚功方程为：,例：图(a)示扛杆，其中B端作用巳知荷载FP ，求扛杆平衡时在A端需加的未知力。,设 表示位移 和 之间的比例系数：,通常取 (数值为1), 这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程，即,几点说明：, 求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。, 虚位移与实际力状态无关，故可虚设。,用虚功原理求解问题的方法称为虚功法。,小结：, 求解问题直接，不涉及约束力。, 虚功原理（这里用虚位移原理）的特点是用几何方法解决平衡问题。,A,B,C,D,E,F,a,解：, 建立虚功方程, 几何关系,有虚位移 d 时，b 和 c 的变化,由于,例3-15：求机构平衡时在B点需加的力 FX = ?,以 d 作为位移参数, 解方程求FX,FX,FX,2、应用虚功原理求静定结构的约束力单位位移法,例：求图 (a) 示简支梁 A 端的支座反力。,构造相应的虚位移状态如图(b)示。,解：去掉 A 端约束并代以反力 FX,力系在虚位移上所作的虚功总和恒等于零。得出虚功方程为,FP,FX,单位位移法的一般公式：,例3-17：试求图示梁截面 C 的弯矩。,例3-18：试求图示梁截面 C 的剪力。,