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概率统计,1.1 随机事件的基本概念,一、 随机试验与事件,I. 随机试验,1. 随机试验 把对某种随机现象的一次观察、观测或测量称为一个试验。如果这个试验在相同的条件下可以重复进行，且每次试验的结果事前不可预知，则称此试验为随机试验，也简称为试验，记为E。 注：以后所提到的试验均指随机试验。,概率统计,对于随机试验,仅管在每次试验之前不能预知其试验结果，但试验的所有可能结果所构成的集合却是已知的。,称试验所有可能结果所构成的集合为样本空间,记为S。,2. 样本空间,样本空间的元素, 即随机试验的单个结果称为样本点。,概率统计,II. 随机事件 把样本空间S的任意一个子集称为一个随机事件，简称事件。常用大写字母 A,B,C 等表示。 特别地，如果事件只含一个试验结果 (即样本空间中的一个元素)，则称该事件为基本事件；否则为复合事件。,概率统计,注意： (1).由于样本空间S包含了所有的样本点,且是 S自身的一个子集。故,在每次试验中S总 是发生。因此, 称S必然事件。 (2).空集不包含任何样本点，但它也是样本空 间S的一个子集，由于它在每次试验中肯定 不发生，所以称为不可能事件。,注意: 只要做试验,就会产生一个结果,即样本空 间S中就会有一个点(样本点)出现。当 结果A时，称事件A发生。,概率统计,（四）事件间的关系及其运算,1、事件的关系,包含,等价,互斥 （互不相容）,对立 (互逆),概率统计,2、事件的运算,事件的并（和）,事件的积 （交）,事件的差,概率统计,3、事件的运算法则,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配合律,(4) 互补律,(5) 对偶律 （德莫根律）,概率统计,1.2 概率,（一）概率的通俗定义,定义1 随机事件A发生的可能性（或机会）的大小，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。,注意：随机事件的特点： 随机性：在每次试验中发生或不发生是随机的； 统计规律性：在每次试验中发生或不发生的可能性（或机 会）的大小是确定的（或在大量重复试验中试验结果呈现 出某种统计规律性）。,概率统计,频率：设在相同条件下的n 次重复试验中，随机事件A发生了m 次，则称 为事件A在n次试验中发生的频率。,频率稳定性（随机事件的统计规律）：,在大量重复试验中，随机事件A发生的频率fn(A)稳定地在某固定常数(或稳定中心)p 附近摆动，并且,这种现象称为频率稳定性（随机事件的统计规律）。,（二）概率的统计定义,概率统计,定义2 随机事件A的频率fn(A)的稳定中心p称为随机事件A发生的概率，记为P(A)p。,概率统计定义的意义与缺点,1）当试验次数n充分大时，常用频率去近似代替概率；,2）根据频率性质去推断相应的概率性质；,3）缺点：粗糙，模糊，不利于进行数学理论分析。,（三）概率的古典定义,1、古典概型：,具有以下特征的随机现象（或实验）称为古典概型,概率统计,（1）基本事件（或样本点）的个数有限，即 1,2,n （2）每个基本事件的出现是等可能的，即,古典概型中概率的计算公式,记：n样本空间所包含的基本事件数 k事件A所包含的基本事件数,概率统计,4、概率的性质,两两互斥，则,有限可加性,逆概公式,概率统计,一般加法公式,或：P(B)=P(AB)+P(B AB),一般减法公式,概率统计,例 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲、乙二类问题的 概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王,解 事件A 、B分别表示“能答出甲、乙类问题”,(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率； (2) 至少有一类问题能答出的概率； (3) 两类问题都答不出的概率。,(2),(3),(1),概率统计,1.6 事件的独立性,概率统计,一、事件的相互独立性,(一) 两个事件的独立性,注意独立与互斥的区别.,概率统计,1. 三事件两两独立的概念,(二) 多个事件的独立性,定义,概率统计,2. 三事件相互独立的概念,定义:,概率统计,设 A1，A2 ， ，An为n 个事件， 若对于任意k(1kn), 及 1i 1 i 2 i kn,3. n 个事件的独立性,定义,若事件 A1，A2 ， ，An 中任意两个事件相互独立，即对于一切 1 i j n, 有,定义1.11,概率统计,两个结论,概率统计,n 个独立事件和的概率公式:,设事件 相互独立,则,也相互独立,即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.,结论的应用,概率统计,则“ 至少有一个发生”的概率为,P(A1An) =1- (1-p1 ) (1-pn ),类似可以得出：,=1- p1 pn,概率统计,例1:随机事件A,B,C发生的概率相同都是0.25,A与B独,立,A与C互不相容, 求A,B,C都不发生的概率.,例2:若事件A与B是对立事件,则二者的逆事件一定是:,(A)相容事件 (B)相互独立事件,(C)相互不独立事件 (D)互为对立事件,例3:随机事件A与B互不相容,且 ,则P(A)=?,概率统计,例4: 从1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数中随机地取3个数,则至少有一个奇数的概率是:,概率统计,设A、B为互斥事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。,设A、B为独立事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0 ， 4. P(AB)=P(A)P(B)。,例5：,概率统计,例6：填空：,1、设 是两个事件，,2、设 是两个事件，,概率统计,例7、某小组有20名射手，其中一、二、三级射手分别 为5、6、9名又一、二、三级射手在比赛中射中目标 的概率分别为0.85、0.64、0.45，今随机选一人参加 比赛，试求该人在比赛中射中目标的概率。（2分）,概率统计,例 8: 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。飞 机被一人击中而落的概率为0.2, 被两人击中而落的概率为0.6, 若被三人击中, 飞机必定被击落。求：飞机被击落的概率。,设B=飞机被击落， Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3。,由全概率公式， 得 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3),则 B=A1BA2BA3B，,解:,概率统计,可求得,为求P(Ai ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3。,将数据代入计算，得 P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14。,概率统计,于是 ， P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B |A3),=0.458，,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458。,
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