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CHAPTER 10 COMPRESSIBLE FLOW THROUGH NOZZLES, DIFFUSERS, AND WIND TUNNELS 通过喷管、扩压器和风洞的可压缩流 10.1 引言 要观察超音速下飞行器的升力、阻力的产生及绕飞行器流动的流场细节，包括激波、膨胀波的构型，可以采用以下两种方法： （）Conduct flight tests using the actual vehicle 进行实际飞行器的飞行试验 （）Run wind-tunnel tests on a small-scale model of the vehicle 用飞行器的缩小模型进行风洞实验,尽管飞行试验能够提供真实飞行环境下的真实结果，但其代价非常昂贵，更重要的原因是在飞行器没有得到充分验证时进行这样的飞行试验是极其危险的。因此，在一个型号进行飞行试验前, 必须对该型号飞行器的性能进行风洞实验验证,通过在地面上进行风洞实验得到大量的超音速空气动力学数据。,在这一章我们将讨论流通过管道的可压缩流的基本气动特性，这些相关基础知识对于高速风洞，火箭发动机、喷气发动机等的设计至关重要。对于全面认识可压缩流动的特性也是必不可少的。 通过对管道内可压缩流的研究，我们主要回答如下问题: (1) How do we produce a uniform flow of supersonicgas in a laboratory environment? 如何在风洞中产生均匀的超音速流动？ (2) What are the characteristics of supersonic wind tunnels? 超音速风洞的特征是什么？,Development of the governing equations for quasi-one-dimensional flow (准一维流动控制方程的推导),Nozzle flows(喷管流动),Difusers(扩压器),Supersonic wind tunnels (超音速风洞),图10.3 第十章的路线图,10.2 GOVERNING EQUATIONS FOR QUASI-ONE-DIMENSIONAL FLOW （准一维流的控制方程） 什么是准一维流？ 如图10.4b所示, 流管面积变化不太剧烈（the area variation is moderate）, y、z方向的速度分量与x方向相比很小, 这样的流场变量可被假设为只是x的函数, 即气流在每一个x站位是均匀的。这样的流动，满足A=A(x), p=p(x),= (x), u=u(x)等等，被定义为准一维流动。,注意，严格讲来， 图10.4b所示的流动是三维流动，准一维流只是对变截面管内真实三维流动的近似。,Fig.10.5 Finite control volume for quasi-one-dimensional flow 准一维流有限控制体,Fig.10.5 Finite control volume for quasi-one-dimensional flow,连续方程:,(10.1),动量方程 在定常、无粘、忽略体积力作用的假设下, 积分形式的动量方程可以写成：,(10.2),(10.3),对应x方向分量：,Fig.10.5 Finite control volume for quasi-one-dimensional flow,Fig.10.5 Finite control volume for quasi-one-dimensional flow,dA,(10.5),把上面的积分结果代入我们前面已给出的x方向动量方程：,(10.3),得：,整理得：,能量方程： 在无粘、绝热、定常并忽略体积力的假设下，积分形式的能量方程可以写成：,(10.6),应用于图10.5所示的控制体，我们得到：,(10.7),即：,(10.8),(10.9),(10.10),(10.11),(10.12),状态方程:,对于量热完全气体焓与温度的关系为:,将控制方程归纳如下:,(10.1),(10.5),(10.9),(10.11),(10.12),只要知道1截面处的 ,以上五个方程就可以确定2截面处的5个未知数 。,或,在给出准一维流动求解方法之前，我们将应用于前面所得到的积分形式控制方程推导准一维流动的微分(differential)形式控制方程，并借助微分形式的控制方程推导出准一维流动的面积-速度关系式(area-velocity relation), 以了解准一维流动的一些重要物理特性。 准一维流动的微分(differential)形式控制方程的推导：,(10.14),微分形式连续方程：,方程（10.5）应用于右图所示的无限小控制体上。气流在站位1，面积为A处流入控制体， p、 、u分别为此站位的压强、密度和速度； 在站位2流出控制体，x坐标增加了dx，面积为A+dA，压强、密度、速度分别为p+dp、 +d 、u+du。,(10.15),对照方程:,得:,我们忽略所有微分的乘积， 即高阶微分量，得：,(10.16),(10.17),(10.18),我们将微分形式的连续方程 (10.14)展开，,(10.16)-(10.17)得:,方程（10.18）是定常、无粘、准一维流动的微分形式动量方程，这一方程也被称为欧拉方程。,同乘以速度u:,将准一维流动微分形式的控制方程（differential form of the governing equations）归纳入下：,微分形式的能量方程可由（10.9）式直接微分求得：,(10.19),(10.19),(10.14),(10.18),注意准一维流动与真正一维流动的区别： 真正一维流动连续方程为：,下面我们用以上的微分形式控制方程推导出准一维流动的面积-速度关系式(area-velocity relation)，并用面积-速度关系式来研究准一维流动的一些物理特性。 将方程（10.14） 展开并同除以 得：,（10.20）,因为我们要得到面积-速度关系式，因此我们要想办法将上式中的 用du、dA的函数来表示。 方程（10.18）( )可改写为：,（10.21）,假设目前没有激波出现，那么我们研究的无粘、绝热流动是等熵的,满足：,（10 .22),由第八章知识，我们知道：,即：,（10 .23),为推导清楚起见，我们将前面导出的关系式归纳如下：,(10.20),(10.21),(10.22),(10.23),将,代入 （10.20)式得：,(10.25),(10.25),This equation is very important, it tells the following information: 1、For (subsonic flow), the quantity in parentheses in Eq. (10.25) is negative. Hence, an increase in velocity (positive du ) is associated with a decrease in area (negative dA) . Likewise, a decrease in velocity (negative du) is associated with an increase in area( positive dA). 对于 （亚音速流动），（10.25）式中括号内的值为负，因此速度的增加（正的du）与面积的减小（负的dA）相联系。同样，速度的减小（负的du）与面积的增加（正的dA）相联系。,对于亚音速可压缩流动，要使流动速度增加，我们必须使管道截面收缩；要使速度减小，我们必须使管道扩张。,Convergent,Divergent,结论：Subsonic compressible flow is qualitatively ( but not quantitatively ) similar to incompressible flow.亚音速可压缩流动定性地（但不是定量地）与不可压缩流动相似。,2、For M1 (supersonic flow), the quantity in parentheses in Eq.(10.25) is positive. Hence, an increase in velocity (positive du ) is associated with an increase in area (positive dA) . Likewise, a decrease in velocity (negative du) is associated with a decrease in area( negative dA). 对于M1 (超音速流），（10.25）式中括号内的值为正，因此速度的增加（正的du）与面积的增加（正的dA）相联系。同样，速度的减小（负的du）与面积的减小（负的dA）相联系。,对于超音速流动，要使流动速度增加，我们必须使管道截面扩张；要使速度减小，我们必须使管道截面收缩。 结论：They are the direct opposite of the trends for subsonic flow. 与亚音速流变化趋势完全相反。,Convergent,Divergent,为什么在亚音速流中, 要使速度增大,必须缩小截面积,而在超音速流动中要使速度增大，必须增大截面积A呢？ 由我们刚才推导出的密度与速度关系就可以明显看出:,很明显，由上式可以看出， 在亚音速时,密度下降比速度增大慢,为保证质量守恒方程式 得到满足, 要使速度增大面积A必须减小; 而在超音速时,密度下降比速度增大快得多，为保证质量守恒方程式 得到满足，必须增大截面积A。,3. For M=1( sonic flow), Eq. (10.25) shows that dA=0 even though a finite du exists. Mathematically, this corresponds to a local maximum or minimum in the area distribution. Physically, it corresponds to a minimum area, as discussed below. 对于M=1(音速流), (10.25)式指出即使du为有限值，仍对应dA=0。在数学上，这对应于截面积分布函数A(x)达到当地最大或最小。在物理上，如我们下面讨论的那样，M=1只能对应于管道面积最小处。,想像我们要使静止气体等熵地加速为超音速流。我们得出的结论告诉我们，首先应通过收缩管道在亚音速段加速气体；然而，一旦达到音速，我们必须通过扩张管道进一步将气流加速至超音速。因此，要在管道的出口处产生超音速气流，必须将管道设计成如下图所示的收缩-扩张管道（convergent-divergent duct)；并且马赫数等于1只可能出现在最小截面积处。喷管的最小截面积处也被称为喉道(throat)。,这种通过收缩-扩张管道产生超音速气流的方法是瑞典工程师拉瓦尔在十九世纪末首先实现的，因此这种先收缩后扩张的喷管也被称为拉瓦尔管。,重要结论： Sonic flow can only occur at a throat or minimum area of the flow. 音速流只可能出现在喉道或最小截面积处 。,本节课小结: 1. 给出了准一维流动的定义。 2.推导了准一维流动的积分形式控制方程。 3.推导了准一维流动的微分形式控制方程。 4.推导了重要的面积-速度关系式(10.25)并分析了其内在的物理意义。,FIGURE 10.8 Illustration and comparison of a supersonic nozzle and a supersonic diffuser 超音速喷管与超音速扩压器的说明与比较,10.3 NOZZLE FLOWS(喷管流动）,这一节，我们将沿路线图（9.3）的左半支，对通过喷管的可压缩流动进行仔细研究。首先，我们将推导一个重要的方程，此方程将流动马赫数、喷管截面面积与音速喉道面积的比联系起来，我们称之为面积-马赫数关系式 （ area-Mach number relation ） 。.,考虑如图10.9所示的管道。假设气流在喉道处达到音速,此时喉道面积为A*，那么此处的马赫数和速度分别由M*、u*表示，且M*=1、u*=a*。在管道其他任意截面处，其面积、马赫数、速度如图10.9所示分别用A 、M、 u表示。在A*和A之间应用连续方程（10.1），我们得到,推导面积-马赫数关系式示意图,(10.26),因为：,所以：,其中 、 分别是滞止密度和滞止音速，在任意等熵流动中二者均保持为常数。将上式平方后，我们得到如下公式：,由前几章的知识，我们有下列关系式：,将上面公式代入,得：,整理上式，我们得到：,(10.32),书上的推导方法：,（10.30）,由,及,得：,即：,(10.32),（10.27）,(10.32)式非常重要，被称为面积-马赫数关系式。这一关系式具有非常重要的意义. 它指出， ； 即管道内任一截面处的马赫数是当地截面面积与音速喉道面积之比的函数（The Mach number at any location in the duct is a function of the ratio of the local duct area to the sonic throat area） 由（10.25）式我们知道，A必须大于或至少等于A*。AA*的情况对于等熵流动是不可能存在的。因此，(10.32)式中，AA*。 对于一个给定的A/A*，(10.32)式对应两个马赫数：一个亚音速速值，一个超音速值。( Eq. (10.32) yields two solutions for M at given A/A* -a subsonic value and a supersonic value. ),在后面我们将要解释，对于两个马赫数解，在实际问题中应取哪个解取决于喷管入口和出口处的压力比。 (Which value of M that actually holds in a given case depends on the pressures at the inlet and exit of the duct, as explained later.),采用数值迭代求解方法可以求出（10.32）式的全部解。附录A以列表形式给出了马赫数与A/A*的对应关系。 观察附录A，我们可以看到，当M1时，随马赫数的增大A/A*增大，即管道是扩张的。这和我们上一节对收缩-扩张管道的讨论完全一致。而且，有附录A可看出，M是的A/A*双值函数，如A/A* =2，我们可以查出M=0.31或M=2.2。,(10.32),;,M=f(A/A*)的数值解法： M1, 采用如下迭代公式：,M1, 采用如下迭代公式：,例如：对于A/A*=2, 设M0=0.5 ,则M1=0.3350 ； M2=0.3093 ；M3=0.3063 ；M4=0.3059 ；M5=0.3059。所以： M0.31,例如：对于A/A*=2, 设M0=1.5 ,则M1=1.9114 ； M2=2.0932 ；M3=2.1610 ；M4=2 . 1848 ；M5=2.1929； M6=2.1958。所以： M2.2,一旦马赫数分布已知，其他流动参数就很容易得到。例如，我们可以求出A/A*和压强的关系：,面积比与马赫数、压强比的函数关系如后图所示。 从图中，我们可以更直接地看出马赫数是面积比的双值函数。,补充图：,考虑如图10.10所示的一给定截面积分布的收缩-扩张管道。假设入口处的面积比Ai/A*是一个很大的值，且入口处气流来自一个储存静止气体的储气罐，储气罐的压强和温度分别为p0和T0 。因为管道的截面积分布A=A(x)是已知的，所以，在任意位置的A/A*值均为已知。喉道面积由A*表示，出口处的面积由Ae表示，出口处的马赫数和静压分别由Me和表示pe。假设气流等熵地通过喷管加速,在扩张段膨胀为超音速流。此时的出口马赫数与压强分别为Me=Me,6 ， pe=pe,6 。（采用下标6的原因在后面内中很明显）。对于这种情况，喉道处的流动为音速，且At=A*。通过管道的流动特性由A/A*确定如下：,（1）由（10.32）式或附录A可求得当地马赫数，其为x的函数。对于给定的截面积分布A=A(x)，我们知道相应的A/A*，然后由附录A的前一部分（M1）查出扩张段的超音速马赫数值。左图给出了沿整个喷管的马赫数分布. （2）一旦知道了马赫数分布,与其相对应的温度、压力、密度等变化由附录A得出。参见左图。,讨论：对于图10.10的等熵流动，我们再次强调这一结论-沿喷管的马赫数分布、进而由马赫数决定的压强、温度、密度等的分布只依赖于当地的面积比A/A*。这是分析喷管内准一维超音速等熵流动的关键。 我们知道，通过喷管的流动是不可能自动发生的，只有入口与出口存在压力差，才会存在通过喷管的流动。即出口压力必须小于入口压力，也就是pep0。并且，如果我们希望得到图10.10给出的超音速流动，出口处的压强pe必须精确地等于pe,6。如果出口处的压力pe不等于pe,6 ，那么通过喷管的流动要么在喷管内、要么在喷管外将不同于图10.10。,问题: What will happen if the ?,FIGURE. 10.11 Isentropic subsonic flow,考虑如图10.11所示的收缩-扩张管道中的质量流量。随着出口压力的降低，在喉道处的速度增加，因此质量流量增加。质量流量可将方程（10.1）在喉道处应用来得到，即 。当pe降低，ut增加，t降低，因为ut增加幅度比t降低的幅度大得多，所以，质量流量 是增加的，如图10.12所示。当pe=pe,3 时，气流在喉道处达到了音速，此时 。如果进一步降低出口压力，使pepe,3 ，喉道处的条件具有一个新的特性，即在喉道处的流动参数保持不变。在10.2节中，我们已经知道，喉道处的马赫数不能超过1，因此，随着出口压力进一步降低至小于pe,3时，质量流量保持不变。质量流量随出口压力的变化如图10.12所示。,FIGURE 10.12 Variation of mass flow with exit pressure; illustration of choked flow 质量流量随出口压力的变化；壅塞流的说明,在这个意义上，喉道处和喉道之前的流动变为“冻结”的，即保持不变的。一旦流动在喉道处达到音速，扰动就不能向喉道之前的收缩段逆向传播。因此，在喷管收缩段的流动不再与出口压力相联系，并且此段流动没有办法感受到出口压力还在继续降低。一旦流动在喉道达到音速，不管pe降低到多少，质量流量仍然保持不变，我们称这种流动为“壅塞”流（choked flow)。这是可压缩流流过管道的一个重要特征，我们将进一步讨论这个问题。,FIGURE 10.13,当pepe,3又远大于pe,6时，出口压力远大于保证整个扩张管道为等熵超音速流所需的出口压力,(The exit pressure is too high to allow an isentropic supersonic flow throughout the entire divergent section.)这时，在喉道下游会形成一道正激波。,FIGURE. 10.14,What is the back pressure?（什么是反压？） The surroundings downstream of the exit is defined as the back pressure, denoted by . 出口下游的环境压力被定义为反压，用 表示。 When the flow at the nozzle exit is subsonic, the exit pressure must equal the back pressure, because a pressure discontinuity cannot be maintained in a steady subsonic flow. That is, when the exit flow is subsonic, the surrounding back pressure is impressed on the exit flow. 当出口流动是亚音速时，,So, instead of stating that we reduced the exit pressure , and observed the consequences, we could just as well have stated that we reduced the back pressure . 因此，当我们说降低出口压力 时，我们也可以说我们降低了反压 。,总结: 当驻室压强 和驻室温度 给定时, 对于给定面积分布得收缩-扩张管道, 其内流动由出口反压 决定。 当 时 ,管内流动对应无数多个亚音速等熵解，每个不同的解与一个不同的反压pB相联系。 当 时 , 管内流动对应无数多个非等熵解，喉道下游存在一道位置（强度）由出口反压pB决定的正激波。 当 时 ,管内流动除出口处外对应超音速等熵解，喷管出口处存在强度由出口反压pB决定的斜激波。 当 时 ,只有一种可能的超音速等熵流动如图10.10所示 . 当 时 ，管内流动和 时完全相同，但出口处存在膨胀波。,用喉道处参数表示喷管流量计算公式的推导：,当喉道处Mt=1, 则At=A*, 流量达到最大值。,The maximum mass flow is achieved when the sonic flow is achieved at the throat. The maximum mass flow is,The derivation is as following :,